1411立體幾何中的數(shù)量運(yùn)算.doc

高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評(píng)指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（常考規(guī)律總結(jié)），Level C為競(jìng)賽（拓展的課外知識(shí)）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 郵箱：anson_專題： 立體幾何中的數(shù)量運(yùn)算考綱要求：內(nèi)容ABC141 柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體 142 柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積 基本框架：空間幾何體柱體棱柱圓柱正棱柱、長(zhǎng)方體、正方體臺(tái)體棱臺(tái)圓臺(tái)錐體棱錐圓錐球三棱錐、四面體、正四面體直觀圖側(cè)面積、表面積三視圖體積長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等& 基本知識(shí)點(diǎn)（Level A）【1】多面體有關(guān)概念（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱（2）多面體的對(duì)角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線（3）凸多面體：把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體【2】棱柱（1）棱柱的分類： 按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱 按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，（2）棱柱的性質(zhì)： 棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形 與底面平行的截面是與底面對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形 過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形【3】平行六面體（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體（3）性質(zhì)： 平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； 平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； 平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和； 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和【4】棱錐的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比【5】正棱錐（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐特別地，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體（2）性質(zhì)： 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等 正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形【6】正多面體：（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊【7】柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征1棱柱（1）掌握棱柱的定義、分類，理解直棱柱、正棱柱的性質(zhì)（2）掌握長(zhǎng)方體的對(duì)角線的性質(zhì)（3）平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及它們的特有性質(zhì)（4）各側(cè)面的面積和思考：對(duì)于特殊的棱柱，又如何計(jì)算？（5），特殊的棱柱的體積如何計(jì)算？2棱錐（1）棱錐的定義、正棱錐的定義（底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心）（2）相關(guān)計(jì)算：各側(cè)面的面積和，3球的相關(guān)概念球的截面性質(zhì)（重點(diǎn)），球面距離4正多面體掌握定義和正多面體的種數(shù)（是哪幾個(gè)？）【8】空間幾何體的三視圖和直觀圖（1）三視圖：正視圖：從前往后； 側(cè)視圖：從左往右；俯視圖：從上往下（2）畫三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等（3）直觀圖：斜二測(cè)畫法，使，所確定的平面表示水平平面（4）斜二測(cè)畫法的步驟： 平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸； 平行于軸的線長(zhǎng)度變半，平行于，軸的線長(zhǎng)度不變（5）用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟： 畫軸； 畫底面； 畫側(cè)棱； 成圖（6）利用斜二測(cè)畫法畫出直觀圖與實(shí)際圖形面積比成關(guān)系_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為 答案：【9】作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行【10】棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比【11】空間幾何體的表面積與體積名稱表面積（也稱全面積） 側(cè)面積體積棱柱棱錐各個(gè)面面積之和圓柱（柱體）圓錐（錐體）圓臺(tái)（臺(tái)體）球& 拓展知識(shí)點(diǎn)（Level B）【1】幾何體中數(shù)量運(yùn)算導(dǎo)出結(jié)論數(shù)量運(yùn)算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對(duì)角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì)1在長(zhǎng)方體中體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球直徑；棱長(zhǎng)總和為；全(表)面積為，體積；體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則有，體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為，則有，2在正三棱錐中側(cè)棱長(zhǎng)相等（側(cè)棱與底面所成角相等）頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；側(cè)棱兩兩垂直（兩對(duì)對(duì)棱垂直） 頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；斜高長(zhǎng)相等（側(cè)面與底面所成角相等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心3在正四面體中設(shè)棱長(zhǎng)為，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系：全面積；體積；對(duì)棱間的距離；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑；正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值CBAA4在立方體中設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，全面積為，體積，內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，與十二條棱均相切的球半徑為，則：，且S 小結(jié)：立方體承載著諸多幾何體的位置關(guān)系特征，只要作適當(dāng)變形，如切割、組合、扭轉(zhuǎn)等處理，便可產(chǎn)生新幾何體貌似新面孔，但其本原沒變所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時(shí)，如果一般識(shí)圖角度受阻，不妨嘗試根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會(huì)有意想不到的效果5在球體中球是一種常見的簡(jiǎn)單幾何體球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)球面是到球心的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面球面上兩點(diǎn)間的距離，是過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)”，因?yàn)榇讼议L(zhǎng)既是球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關(guān)系是掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：（1）計(jì)算線段的長(zhǎng)；（2）計(jì)算球心角的弧度數(shù)；（3）用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng)S 注意：“經(jīng)度是小小半徑所成角，緯度是大小半徑的夾角” & 深化知識(shí)點(diǎn)（Level C）【1】幾個(gè)基本公式 （1）弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)，0）； 扇形面積公式：； （2）圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角公式： （3）圓臺(tái)側(cè)面展開圖（扇環(huán)）的圓心角公式： 經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的最大截面的面積為（圓錐的母線長(zhǎng)為，軸截面頂角是）：【2】歐拉定理（歐拉公式） （簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù))（1）各面多邊形邊數(shù)和的一半特別地，若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系：（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系：【3】四面體的相關(guān)性質(zhì)1立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為；個(gè)面角之和為，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為2直角四面體有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形（在直角四面體中，記、分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高）在直角四面體中，、兩兩垂直，令，則：（1）底面三角形為銳角三角形； （2）直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；（3）； （4）空間勾股定理：；（5）；（6）外接球半徑3等腰四面體對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體（在等腰四面體中，記，體積為，外接球半徑為，內(nèi)接球半徑為，高為），則有等腰四面體的體積可表示為；等腰四面體的外接球半徑可表示為；等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為；4球的組合體（1）球與長(zhǎng)方體的組合體長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)