考研數(shù)學(一、二、三)真題及答案解析

2016考研數(shù)學（一）真題及答案解析 考研復習最重要的就是真題，所以跨考教育數(shù)學教研室為考生提供2016考研數(shù)學一的真題、答案及部分解析，希望考生能夠在最后沖刺階段通過真題查漏補缺，快速有效的備考。一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）設是數(shù)列下列命題中不正確的是（ ）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則【答案】（D）（2）設是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出。故選A。（3）若級數(shù)在處條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的（ ）（A）收斂點，收斂點（B）收斂點，發(fā)散點（C）發(fā)散點，收斂點（D）發(fā)散點，發(fā)散點【答案】（A）【解析】因為級數(shù)在處條件收斂，所以，有冪級數(shù)的性質，的收斂半徑也為，即，收斂區(qū)間為，則收斂域為，進而與依次為冪級數(shù)的收斂點，收斂點，故選A。（4）下列級數(shù)發(fā)散的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】（A），存在，則收斂。(B)收斂，所以（B）收斂。（C），因為分別是收斂和發(fā)散，所以發(fā)散，故選（C)。（D)，所以收斂。（5）設矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】有無窮多解，即，從而當時， 從而時有無窮多解當時，從而時有無窮多解所以選D.（6）二次型在正交變換下的標準形為，其中，若，在正交變換下的標準型為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由已知得，從而，其中，均為初等矩陣，所以選A。（7）若為任意兩個隨機事件，則（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】排除法。若，則，而未必為0，故，故錯。若，則，故錯。（8）設總體為來自該總的簡單隨機樣本，為樣本均值，則（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請將答案寫在答題紙指定位置上)（9）_.【答案】【解析】 (10) _.【答案】【解析】 (11) 若函數(shù)有方程確定，則_.【答案】【解析】對兩邊分別關于求偏導，并將這個代入，得到，所以。（12）設 是由 與三個坐標平面所圍成的空間區(qū)域，則 【答案】 【解析】由對稱性，其中 為平面 截空間區(qū)域 所得的截面其面積為 所以：(13) 階行列式【答案】【解析】按第一行展開得（14）設二維隨機變量服從正態(tài)分布則【答案】.【解析】由故獨立。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）設函數(shù)若與在時為等價無窮小，求的值?！窘馕觥坑深}意，（16）計算二重積分，其中。【解析】，其中，則。（17）已知函數(shù)曲線 求 在曲線 上的最大方向導數(shù)【解析】因為沿著梯度的方向的方向導數(shù)最大，且最大值為梯度的模 模為此題目轉化為對函數(shù) 在約束條件 下的最大值，即為條件極值問題。本問題可以轉化為對 在約束條件 下的最大值，構造函數(shù)故最大值為3.（18）設函數(shù)在定義域上的導數(shù)大于0，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式?！窘馕觥拷獾茫悍蛛x變量可得：因為 所以 綜上 19、已知曲線的方程為，起點為，終點為計算曲線積分【解析】由題意假設參數(shù)方程（20）向量組 是 的一個基， （）證明為 的一個基；（）當k為何值時，存在非零向量 在基與基下的坐標相同，并求所有的.【解析】（）證明： 是 的一個基線性無關，即又=3線性無關，為 的一個基（）由已知設有非零解，所以從而（21）設矩陣相似于矩陣。（1） 求的值。（2） 求可逆矩陣，使為對角矩陣。【解析】（1）由（2） 由（1）得，其中特征值，當時，解方程的基礎解系為；當時，解方程的基礎解系為，從而，因為線性無關，所以令可逆，即，使得。（22） 設隨機變量的概率密度為，對進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)為止，記的觀測次數(shù)。（1） 求的概率分布。（2） 求?！窘馕觥浚?），所以的概率分布為（2）令，（23） 設總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為隨機樣本。（1） 求的矩陣估計量；（2）求的最大似然估計量?！窘馕觥浚?）。（2）設為觀測值，則，取。2016年考研數(shù)學二真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，是階無窮小，是階無窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應該選（B）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應該選（C）3設函數(shù)具有二階導數(shù)，則在上（ ）（A）當時， （B）當時，（C）當時， （D）當時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷 顯然就是聯(lián)接兩點的直線方程故當時，曲線是凹的，也就是，應該選（D）【詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應該選（D）4曲線 上對應于的點處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）【詳解】 曲線在點處的曲率公式，曲率半徑本題中，所以，對應于的點處，所以，曲率半徑應該選（C）5設函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）【詳解】注意（1），（2）由于所以可知，6設在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內部具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，則（ ）（A）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內部；（C）的最大值點在區(qū)域D的內部，最小值點在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點在區(qū)域D的內部，最大值點在區(qū)域D的邊界上【詳解】 在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以在D內必然有最大值和最小值并且如果在內部存在駐點，也就是，在這個點處，由條件，顯然，顯然不是極值點，當然也不是最值點，所以的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上所以應該選（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應該選（B）8設 是三維向量，則對任意的常數(shù)，向量，線性無關是向量線性無關的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無關，則（，），對任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無關而當時，對任意的常數(shù)，向量，線性無關，但線性相關；故選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設為周期為4的可導奇函數(shù)，且，則 【詳解】當時，由可知，即；為周期為4奇函數(shù)，故11設是由方程確定的函數(shù)，則 【詳解】設，當時，所以12曲線的極坐標方程為，則在點處的切線方程為 【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程，于是在處，則在點處的切線方程為，即13一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上，若其線密度，則該細棒的質心坐標 【詳解】質心坐標14設二次型的負慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是三、解答題15（本題滿分10分）求極限【分析】先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限【詳解】16（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標準形式得到，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即 令，得，且可知；當時，可解得，函數(shù)取得極大值；當時，可解得，函數(shù)取得極小值17（本題滿分10分）設平面區(qū)域計算【詳解】由對稱性可得18（本題滿分10分）設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，滿足若，求的表達式【詳解】設，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對應非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達式為19（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因為，所以即（2）令，則可知，且，因為且單調增加，所以從而， 也是在單調增加，則，即得到20（本題滿分11分）設函數(shù)，定義函數(shù)列，設是曲線，直線所圍圖形的面積求極限【詳解】，利用數(shù)學歸納法可得，21（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積【詳解】由于函數(shù)滿足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)又因為，從而可知，得到令，可得且當時，曲線所成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積為22（本題滿分11分）設，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個基礎解系；（2） 求滿足的所有矩陣【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎解系（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應的三列分別為，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)23（本題滿分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設 ，分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一定可以對角化且；所以B的個特征值也為；對于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對應重特征值的特征向量應該有個線性無關，進一步矩陣B存在個線性無關的特征向量，即矩陣B一定可以對角化，且從而可知階矩陣與相似2016年考研數(shù)學（三）真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =_，b =_.(2) 設函數(shù)f (u , v)由關系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.(3) 設，則.(4) 二次型的秩為 .(5) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_.(6) 設總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設f (x)在(- , +)內有定義，且， ，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關. (9) 設f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. (10) 設有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). (11) 設在a , b上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得 f (a).(B) 至少存在一點，使得 f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D (12) 設階矩陣與等價, 則必有(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . (13) 設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. (14) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.(18) (本題滿分9分)設某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性( 0)；(II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內變化時，降低價格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.(20)(本題滿分13分) 設, , , , 試討論當為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.(22) (本題滿分13分) 設，為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關系數(shù) ; () 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設為來自總體的簡單隨機樣本,() 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量;() 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; () 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 2016年考研數(shù)學（三）真題解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.(2) 設函數(shù)f (u , v)由關系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達式，再求偏導數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.(3) 設，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質即可.【詳解】令x - 1 = t，.【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對應的矩陣的秩, 亦即標準型中平方項的項數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因為于是二次型的矩陣為 ,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因為, 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因為 , ,故應填 .【評注】本題是對常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征的考查.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內有界.【詳解】當x 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內有界. (8) 設f (x)在(- , +)內有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關. D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性.(9) 設f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側的二階導數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導點. 當x (-d , 0)時，f (x) = -x(1 - x)，當x (0 , d)時，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內的一階導數(shù)的符號來判斷. (10) 設有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質來說明4個命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n )，所以發(fā)散.(4)是錯誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評注】本題主要考查級數(shù)的性質與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設在a , b上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得 f (a).(B) 至少存在一點，使得 f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度.(12) 設階矩陣與等價, 則必有(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型.(13) 設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. B 【分析】 要確定基礎解系含向量的個數(shù), 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因為基礎解系含向量的個數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎解系僅含一個解向量, 即選(B).【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系、線性方程組解的結構等多個知識點的綜合考查.(14) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得. 故正確答案為(C).【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質, 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可.【詳解】=.【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應充分利用等價無窮小替換來簡化計算.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分)設f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，將積分不等式轉化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 .因此 .【評注】引入變限積分轉化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18) (本題滿分9分)設某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性( 0)；(II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導.【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當10 P 1，于是，故當10 P 0時，需求量對價格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式： ，(收益對價格的彈性).(19) (本題滿分9分)設級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.【分析】對S(x)進行求導，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題.(20)(本題滿分13分) 設, , , , 試討論當為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設有數(shù)使得 . (*)記. 對矩陣施以初等行變換, 有.() 當時, 有 .可知.故方程組(*)無解, 不能由線性表示.() 當, 且時, 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當時, 對矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示,