考研數(shù)學(xué)(一、二、三)真題及答案解析

2016考研數(shù)學(xué)（一）真題及答案解析 考研復(fù)習(xí)最重要的就是真題，所以跨考教育數(shù)學(xué)教研室為考生提供2016考研數(shù)學(xué)一的真題、答案及部分解析，希望考生能夠在最后沖刺階段通過(guò)真題查漏補(bǔ)缺，快速有效的備考。一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）設(shè)是數(shù)列下列命題中不正確的是（ ）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則【答案】（D）（2）設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)特解，則（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出。故選A。（3）若級(jí)數(shù)在處條件收斂，則與依次為冪級(jí)數(shù)的（ ）（A）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)（B）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)（C）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)（D）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】（A）【解析】因?yàn)榧?jí)數(shù)在處條件收斂，所以，有冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，的收斂半徑也為，即，收斂區(qū)間為，則收斂域?yàn)?，進(jìn)而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)，故選A。（4）下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】（A），存在，則收斂。(B)收斂，所以（B）收斂。（C），因?yàn)榉謩e是收斂和發(fā)散，所以發(fā)散，故選（C)。（D)，所以收斂。（5）設(shè)矩陣，若集合，則線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】有無(wú)窮多解，即，從而當(dāng)時(shí)， 從而時(shí)有無(wú)窮多解當(dāng)時(shí)，從而時(shí)有無(wú)窮多解所以選D.（6）二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由已知得，從而，其中，均為初等矩陣，所以選A。（7）若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】排除法。若，則，而未必為0，故，故錯(cuò)。若，則，故錯(cuò)。（8）設(shè)總體為來(lái)自該總的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，則（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上)（9）_.【答案】【解析】 (10) _.【答案】【解析】 (11) 若函數(shù)有方程確定，則_.【答案】【解析】對(duì)兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo)，并將這個(gè)代入，得到，所以。（12）設(shè) 是由 與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則 【答案】 【解析】由對(duì)稱(chēng)性，其中 為平面 截空間區(qū)域 所得的截面其面積為 所以：(13) 階行列式【答案】【解析】按第一行展開(kāi)得（14）設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則【答案】.【解析】由故獨(dú)立。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）設(shè)函數(shù)若與在時(shí)為等價(jià)無(wú)窮小，求的值。【解析】由題意，（16）計(jì)算二重積分，其中?！窘馕觥?，其中，則。（17）已知函數(shù)曲線(xiàn) 求 在曲線(xiàn) 上的最大方向?qū)?shù)【解析】因?yàn)檠刂荻鹊姆较虻姆较驅(qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模 模為此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù) 在約束條件 下的最大值，即為條件極值問(wèn)題。本問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為對(duì) 在約束條件 下的最大值，構(gòu)造函數(shù)故最大值為3.（18）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于0，若對(duì)任意的，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式?！窘馕觥拷獾茫悍蛛x變量可得：因?yàn)?所以 綜上 19、已知曲線(xiàn)的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為計(jì)算曲線(xiàn)積分【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程（20）向量組 是 的一個(gè)基， （）證明為 的一個(gè)基；（）當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量 在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.【解析】（）證明： 是 的一個(gè)基線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即又=3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，為 的一個(gè)基（）由已知設(shè)有非零解，所以從而（21）設(shè)矩陣相似于矩陣。（1） 求的值。（2） 求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣?！窘馕觥浚?）由（2） 由（1）得，其中特征值，當(dāng)時(shí)，解方程的基礎(chǔ)解系為；當(dāng)時(shí)，解方程的基礎(chǔ)解系為，從而，因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以令可逆，即，使得。（22） 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，對(duì)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀(guān)測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀(guān)測(cè)值出現(xiàn)為止，記的觀(guān)測(cè)次數(shù)。（1） 求的概率分布。（2） 求?！窘馕觥浚?），所以的概率分布為（2）令，（23） 設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為隨機(jī)樣本。（1） 求的矩陣估計(jì)量；（2）求的最大似然估計(jì)量?！窘馕觥浚?）。（2）設(shè)為觀(guān)測(cè)值，則，取。2016年考研數(shù)學(xué)二真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，是階無(wú)窮小，是階無(wú)窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應(yīng)該選（B）2下列曲線(xiàn)有漸近線(xiàn)的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)于，可知且，所以有斜漸近線(xiàn)應(yīng)該選（C）3設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在上（ ）（A）當(dāng)時(shí)， （B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)， （D）當(dāng)時(shí)，【分析】此題考查的曲線(xiàn)的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對(duì)曲線(xiàn)在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話(huà)，可以直接做出判斷 顯然就是聯(lián)接兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程故當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是凹的，也就是，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對(duì)曲線(xiàn)在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話(huà)，可令，則，且，故當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是凹的，從而，即，也就是，應(yīng)該選（D）4曲線(xiàn) 上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）【詳解】 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率公式，曲率半徑本題中，所以，對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處，所以，曲率半徑應(yīng)該選（C）5設(shè)函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）【詳解】注意（1），（2）由于所以可知，6設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足及，則（ ）（A）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上【詳解】 在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以在D內(nèi)必然有最大值和最小值并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn)，也就是，在這個(gè)點(diǎn)處，由條件，顯然，顯然不是極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上所以應(yīng)該選（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應(yīng)該選（B）8設(shè) 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)，向量，線(xiàn)性無(wú)關(guān)是向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（，），對(duì)任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，但線(xiàn)性相關(guān)；故選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上）9 【詳解】10設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 【詳解】當(dāng)時(shí)，由可知，即；為周期為4奇函數(shù)，故11設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則 【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以12曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 【詳解】先把曲線(xiàn)方程化為參數(shù)方程，于是在處，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即13一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上，若其線(xiàn)密度，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo) 【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)14設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是三、解答題15（本題滿(mǎn)分10分）求極限【分析】先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限【詳解】16（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)滿(mǎn)足微分方程，且，求的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到，這是一個(gè)可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即 令，得，且可知；當(dāng)時(shí)，可解得，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，可解得，函數(shù)取得極小值17（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)平面區(qū)域計(jì)算【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可得18（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿(mǎn)足若，求的表達(dá)式【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達(dá)式為19（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因?yàn)椋约矗?）令，則可知，且，因?yàn)榍覇握{(diào)增加，所以從而， 也是在單調(diào)增加，則，即得到20（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，設(shè)是曲線(xiàn)，直線(xiàn)所圍圖形的面積求極限【詳解】，利用數(shù)學(xué)歸納法可得，21（本題滿(mǎn)分11分）已知函數(shù)滿(mǎn)足，且，求曲線(xiàn)所成的圖形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積【詳解】由于函數(shù)滿(mǎn)足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)又因?yàn)?，從而可知，得到令，可得且?dāng)時(shí)，曲線(xiàn)所成的圖形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2） 求滿(mǎn)足的所有矩陣【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個(gè)基礎(chǔ)解系（2）顯然B矩陣是一個(gè)矩陣，設(shè)對(duì)矩陣進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為，即滿(mǎn)足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)23（本題滿(mǎn)分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設(shè) ，分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個(gè)特征值為；而且A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以一定可以對(duì)角化且；所以B的個(gè)特征值也為；對(duì)于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對(duì)應(yīng)重特征值的特征向量應(yīng)該有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，即矩陣B一定可以對(duì)角化，且從而可知階矩陣與相似2016年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上）(1) 若，則a =_，b =_.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.(3) 設(shè)，則.(4) 二次型的秩為 .(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來(lái)自總體和的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且， ，則(A) x = 0必是g(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn). (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線(xiàn)性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量. (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿(mǎn)足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答題(本題共9小題，滿(mǎn)分94分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15) (本題滿(mǎn)分8分)求.(16) (本題滿(mǎn)分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿(mǎn)足，x a , b)，.證明：.(18) (本題滿(mǎn)分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.(19) (本題滿(mǎn)分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿(mǎn)分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), () 不能由線(xiàn)性表示;() 可由唯一地線(xiàn)性表示, 并求出表示式; () 可由線(xiàn)性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿(mǎn)分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.(22) (本題滿(mǎn)分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. (23) (本題滿(mǎn)分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量;() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; () 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2016年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評(píng)注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t，.【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)橛谑嵌涡偷木仃嚍?,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因?yàn)? 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來(lái)自總體和的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因?yàn)?, ,故應(yīng)填 .【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過(guò)換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x (-d , 0)時(shí)，f (x) = -x(1 - x)，當(dāng)x (0 , d)時(shí)，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過(guò)舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明4個(gè)命題的正確性.【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因?yàn)楦淖?、增加或減少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n )，所以發(fā)散.(4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度.(12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又 與等價(jià), 故, 即, 故選(D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型.(13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線(xiàn)性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量. B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B).【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.(14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿(mǎn)足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得. 故正確答案為(C).【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說(shuō)它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿(mǎn)分94分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15) (本題滿(mǎn)分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無(wú)窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】=.【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.(16) (本題滿(mǎn)分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱(chēng)性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】令，由對(duì)稱(chēng)性，.所以，.【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱(chēng)性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算. (17) (本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿(mǎn)足，x a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 .因此 .【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18) (本題滿(mǎn)分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當(dāng)10 P 1，于是，故當(dāng)10 P 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式： ，(收益對(duì)價(jià)格的彈性).(19) (本題滿(mǎn)分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.【詳解】(I) ，易見(jiàn) S(0) = 0，.因此S(x)是初值問(wèn)題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問(wèn)題與微分方程問(wèn)題，2002年考過(guò)類(lèi)似的題.(20)(本題滿(mǎn)分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), () 不能由線(xiàn)性表示;() 可由唯一地線(xiàn)性表示, 并求出表示式; () 可由線(xiàn)性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線(xiàn)性表示的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組是否有解的問(wèn)題即易求解.【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*)記. 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有.() 當(dāng)時(shí), 有 .可知.故方程組(*)無(wú)解, 不能由線(xiàn)性表示.() 當(dāng), 且時(shí), 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時(shí)可由唯一地線(xiàn)性表示, 其表示式為 () 當(dāng)時(shí), 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無(wú)窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線(xiàn)性表示,