實變函數(shù)試題庫參考答案.doc

實變函數(shù)試題庫及參考答案（完整版）選擇題1,下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ）A、全體自然數(shù) B、0,1 之間的實數(shù)全體 C、0, 1上的實函數(shù)全體 D、全體大個子2、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ） A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、全體小個子 D、x：x1 3、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ） A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、x：x1 D、全體胖子4、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ） A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、x：x1 D、全體瘦子5、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ） A、全體小孩子 B、全體整數(shù) C、x：x1 D、全體實數(shù) 6、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（ ） A、全體實數(shù) B、全體大人 C、x：x1 D、全體整數(shù) 7、設, I為全體實數(shù), 則= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、(-, +) D、(1, +)8、設, , 則= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、0, 1 D、-1, 19、設, , 則= ( ) A、(0, 1) B、0, 1 C、0, 1 D、(0, +)10、設, , 則= ( ) A、1, 2 B、(1, 2) C、 (0, 3) D、(1, 2)11、設, , 則= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、012、設, , 則= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、013、設, , ,則( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 114、設, , , 則( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 115、設, , 則( ) A、 B、0, n C、R D、(0, )16、設, , 則( ) A、(0, 1) B、(0, ) C、0 D、17、設, , , 則( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )18、設, , , 則 ( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )19、設A 、B 、C是三個集合, 則A-(A-B)= ( ) A、B B、A C、AB D、AB20、設A 、B 、C是三個集合, 則A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC21、設A 、B 、C是三個集合, 則A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC22、設A 、B 、S是三個集合, 且, , 則= ( ) A、 B、 C、 D、23、設A 、B 、S是三個集合, 且, , 則= ( ) A、 B、 C、 D、24、設A 、B 、C是三個集合, 則A-(B-C) = ( ) A、 AC-B B、 A-B-C C、 (A-B)(AC) D、 C-(B-A)25、集合E的全體內(nèi)點所成的集合稱為E的 ( ) A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包26、集合E的全體聚點所成的集合稱為E的 ( ) A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包27、集合E的全體邊界點和內(nèi)點所成的集合是E的 ( ) A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包28、E-E所成的集合是 ( ) A、開核 B、邊界 C、外點 D、E的全體孤立點29、E的全體邊界點所成的集合稱為E的 ( ) A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包30、設點P是集合E的邊界點, 則 ( ) A、P是E的聚點 B、P是E的孤立點 C、P是E的內(nèi)點 D、P是的邊界點31、設, 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(0, 1) B、(, 1) C、0, 1 D、(0, 2)32、設, , 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(-1, ) D、(-1, 2)33、設, , 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(0, 1) B、(3, 4) C、(0, 4) D、 (1, 4)34、設, , 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(0, 1) B、(0, 3) C、(0, 4) D、(1, 4)35、設, , 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(1, 2) D、(1, 4)36、設, , 則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間: ( ) A、(, ) B、(1, 2) C、(0, 1) D、(-1, 0)37、若 ，則下列命題錯誤的是： ( ) A、 B、AB C、 D、38、若, 則下列命題正確的是：（） A、 B、 AB=C C、 D、A的孤立點B的孤立點=C的孤立點39、若, 則下列命題錯誤的是：（） A、 B、 C AB C、 D、A的孤立點B的孤立點=C的孤立點40、設 是A的余集，則下列命題正確的是：（） A、 B、 C、C(A)（CA）D、41、設AB=C, 則下列命題正確的是：（） A、 B、 C、ABC D、A的孤立點B的孤立點=C的孤立點42、 (2-4-1-2) 下列命題錯誤的是：（） A、是閉集B、A是閉集 C、是閉集 D、 是閉集43、若A 是閉集，B是開集，則AB是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷44、若A 是開集，B是閉集，則AB是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷45、若是一開集列，則是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷46、若是一開集列，則是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷47、若是一閉集列，則是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷48、若是一閉集列，則是：（） A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷 49、若，則（ ）A、0 B、1 C、2 D、3 50、下述結(jié)論（ ）正確.A、 B、 C、 D、 51、下列說法正確的是（ ）A、在（0，1）有限 B、在無界C、，在0，1有限 D、，在0，1有界 52、函數(shù)列在0，1上（ ）于0.A、a，e一致收斂 B、收斂 C、一致收斂 D、基本上一致收斂 53、設E是0，1中的不可測集， 則下列函數(shù)在0，1上可測的是（ ）. A、 B、 C、 D、 54、若可測，則它必是（ ）.A、連續(xù)函數(shù) B、單調(diào)函數(shù) C、簡單函數(shù) D、簡單函數(shù)列的極限55、若，則（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 56、下列說法不正確的是（ ） A、E的測度有限，則E必有界 B、E的測度無限，則E必無界 C、有界點集的測度有限 D、的測度無限 57、（4-4-2-1）下述論斷正確的是（ ） A、在無界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 58、函數(shù)列在0, 2上（ ）于0. A、收斂 B、一致收斂 C、基本上一致收斂 D、a.e.一致收斂 59、設其中E是0,1的不可測集，則下列函數(shù)在0, 1可測的是（ ）. A、 B、 C、 D、 60、一個函數(shù)在其定義域中的（ ）點處都是連續(xù)的. A、邊界點 B、內(nèi)點 C、聚點 D、孤立點.61、是康托爾（cantor）集，則（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 62、設A是B的真子集，則（ ） A、 B、 C、 D、 63、下列說法正確的是（ ） A、在無界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 64、函數(shù)列在上（ ）于0. A、收斂 B、一致收斂、 C、基本上一致收斂 D、a. e.一致收斂 65、設E是0, 1上的不可測集，則下列函數(shù)在0, 1可測的是（ ）. A、 B、 C、 D、 66、設E為可測集，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A、若在E上a, e收斂于一個a, e有限的可測函數(shù)，則一致收斂于 B、若在E上a, e收斂于一個a, e有限的可測函數(shù)，則基本上一致收斂于 C、若在E上a, e收斂于一個a, e有限的可測函數(shù)，則 D、若在E上基本上一致收斂于，則a, e收斂于67、G表示康托爾（cantor）集在0,1中的余集，則mG=（ ） A、0 B、1 C、2 D、368、設都可測，則（ ） A、可測 B、不可測 C、可能可測也可能不可測 D、以上都不對 69、下列說法正確的是（ ） A、在上無界 B、在上有限 C、在上有限 D、在上有界 70、函數(shù)列在上（ ）于0 A、收斂 B、一致收斂 C、基本上一致收斂 D、a. e.一致收斂 71、設，其中E是0, 1上的不可測集，則（ ）在0, 1可測. A、 B、 C、 D、 72、關(guān)于連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)，下列論述中正確的是（ ） A、它們是同一概念 B、a, e有限的可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù) C、a, e有限的可測函數(shù)是基本上連續(xù)的函數(shù) D、a, e有限的可測函數(shù)是a, e連續(xù)的函數(shù)73、( ) A、1、 B、2 C、3 D、4 74、A可測，B是A的真子集，則（ ） A、 B、 C、 D、以上都不對 75、下列說法正確的是（ ） A、在(0, 1)有限、 B、在無界 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 76、函數(shù)列在上（ ）于0. A、收斂 B、基本上一致收斂 C、一致收斂 D、a. e.一致收斂 77、設其中E是0, 1上的不可測集，則（ ）在0, 1上是可測的. A、 B、 C、 D、 78、關(guān)于簡單函數(shù)與可測函數(shù)下述結(jié)論不正確的是（ ） A、簡單函數(shù)一定是可測函數(shù) B、簡單函數(shù)列的極限是可測函數(shù) C、簡單函數(shù)與可測函數(shù)是同一概念 D、簡單函數(shù)列的極限與可測函數(shù)是同一概念79、（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 80、L可測集類，對運算（ ）不封閉. A、可數(shù)和 B、有限交 C、單調(diào)集列的極限 D、任意和. 81、下列說法正確的是（ ） A、在無界 B、在有限 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 82、函數(shù)列在上（ ）于0. A、基本一致收斂 B、收斂 C、一致收斂 D、a. e.一致收斂 83、設E是中的不可測集， 則下列函數(shù)在上可測的是（ ）. A、 B、 C、 D、 84、關(guān)于依測度收斂，下列說法中不正確的是（ ） A、依測度收斂不一定一致收斂B、依測度收斂不一定收斂 C、若在E上a.e.收斂于a.e.有限的可測函數(shù)，則 D、若，則存在子列a. e.收斂于85、設是可測集上的非負可測函數(shù)，則（ ）A、必可積 B、必幾乎處處有限 C、必積分確定 D、不一定積分確定86、設在可測集上可積，則在上（ ）A、與只有一個可積 B、與皆可積C、與不一定可積 D、與至少有一個不可積87、設（），是上的實函數(shù)，則下面敘述正確的是（ ）A、在上不一定可測 B、在上可測但不一定可積C、在上可積且積分值為0 D、在上不可積88、在可測集上可積的必要條件是，為（ ）A、連續(xù)函數(shù) B、幾乎處處連續(xù)函數(shù) C、單調(diào)函數(shù) D、幾乎處處有限的可測函數(shù)89、設為狄立克雷函數(shù)，則（ ）A、 0 B、 1 C、1/2 D、不存在90、設為Cantor集的特征函數(shù)，則（ ）A、 0 B、 1/3 C 、2/3 D、 1填空題1、設A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若=n, 則= 2、設A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若A是一可數(shù)集, 則= 3、若, , 則 4、若, B是一可數(shù)集, 則 5、若, , 則 6、若是一集合列, 且, 7、若是任意集族, 其中I是指標集, 則= 8、若是任意集族, 其中I是指標集, 則= 9、若是任意集族, 其中I是指標集, S是一集合, 則= 10、若是任意集族, 其中I是指標集, S是一集合, 則= 11、若是任意一個集合列, 則 12、若是任意一個集合列, 則 13、歐氏空間中, 任意兩點, 的距離d(x, y)= 14、Ca, b空間中,任意兩元素x(t), y(t) 的距離 d(x, y)= 15、空間中, 任意兩元素 , 的距離 d(x, y)= 16、歐氏空間中, 任意兩點, 的距離 d(x, y)= 17、歐氏空間中, 任意兩點, 的距離d(x, y)= 18、歐氏空間中, 任意兩點, 的距離d(x,y)= 19、設,則= 20、設, , 則= 21、設,則= 22、設,則= 23、設, , 則 = 24、設, , 則= 25、設A= 0, 1 , B = 3, 4 , 則 d(A, B) = 26、設C是康托完備集, G= 0, 1C , 則d (C, G) = 27、設C是康托完備集, 則C的半徑= 28、兩個非空集合A, B距離的定義為 d (A, B ) = 29、一個非空集合A的直徑的定義為= 30、設A = 0, 1 Q, 則= 31、，對每一列覆蓋E的開區(qū)間，定義_。 32、設是一列遞增的可測集合，則_。 33、設是定義在可測集上的實函數(shù)，若，有_，則稱在E上可測。 34、的定義為_。35、設A=“開集類”，B=“波雷爾集類”，C=“可測集類”，D=“型集類”。那么A，B，C，D的關(guān)系是_。36、I是區(qū)間，則mI=_ 37、a, b上的連續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是_。 38、葉果洛夫定理反映了_與_的關(guān)系。39、設，E有界，I為任一包含E的開區(qū)間，則_ 40、稱為測度的_ 41、可測集上的連續(xù)函數(shù)都是_。 42、可測函數(shù)列的極限是_。43、若，則，這稱為外測度的_。 44、若集合G能表示成_則稱G為集。 45、實變函數(shù)中的函數(shù)連續(xù)性是數(shù)學分析中函數(shù)連續(xù)性的_。 46、幾乎處處是與_有關(guān)的概念。47、設，若對都有_則稱E是L可測的。48、若集合F能表示成_則稱F為集。 49、E上的簡單函數(shù)，指的是對E進行有限不變可測分解后，每一個可測子集上都取_的函數(shù)。 50、魯金定理反映了_與_的關(guān)系。51、設是一列遞減可測集合，且， ，則_。 52、L可測集和波雷爾集相差一個_。 53、兩個可測函數(shù)的四則運算（假定它們都有意義）結(jié)果_。 54、函數(shù)列在不一致收斂于1，且不_收斂于1。55、設在可測集上可積，則（ ）56、（敘述積分的絕對連續(xù)性）設在上可積，則對任何可測集，有（ ）57、設為Cantor集，則（ ）58、設為Cantor集，則（ ）59、設為有理數(shù)集，則（ ）60、設為自然數(shù)集，則（ ）簡答題1、構(gòu)造自然數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射.2、構(gòu)造(0, 1)到R的一一映射.3、構(gòu)造(0, 1)到 0, 的一一映射.4、構(gòu)造能被3整數(shù)整除的正整數(shù)到正整數(shù)全體的一一映射.5、構(gòu)造(0,1)到(0, 1)(2, 3) 的一一映射.6、構(gòu)造奇數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射.7、（請說明：在上的函數(shù)列，不測度收斂于8、請敘述L測度的可列可加性。9、若在可測集E上可測，則，在E上也可測。10、請指出L可測集和集的關(guān)系。11、用可測函數(shù)的定義說明狄里克雷函數(shù)在0, 1可測。12、從基數(shù)的角度請舉出三種零測集的例子。計算題1、設 ，計算。 2、設 ，計算 。3、設，計算 。 4、設為Cantor集， ，計算 。 5、設為Cantor集， ，計算。6、設為Cantor集， ，計算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。判斷題1、0, 1 = 1, 0 ( ) 理由： 2、任意兩個集合A 、B, 都有, 或 ( ) 理由： 3、任意集合都有子集 。 （ ） 理由： 4、 （ ） 理由： 5、= ( ) 理由： 6、=0 ( ) 理由：7、若一個點不是E的聚點, 則必然也不是E的內(nèi)點. ( ) 理由：8、E的外點全體和E的余集是相同的. ( ) 理由：9、E的內(nèi)點必然屬于E. ( ) 理由：10、E的孤立點必然屬于E ( ) 理由：11、E的邊界點一定不屬于E ( ) 理由：12、E的聚點必然屬于E ( ) 理由：13、若可測，則E和F都可測。（ ） 理由： 14、若，a.e.于E，在可測集E上可測，則也在E上可測（ ）。 理由：15、兩個集合的基數(shù)相等，則它們的外測度相等。（ ） 理由： 16、若在可測集E上可測，則也可測。（ ） 理由：17、若，且， a, e于E（ ） 理由：18、設都可測，則也可測，且。（ ） 理由：19、若在可測集E上可測，則在E的任意可測子集上也可測（ ）。 理由：20、無限集的外測度一定不為零。（ ）理由： 21、若在可測集E上可測，則在E的任意子集上可測（ ）理由：22、若可測集A是可測集B的子集，且，則（ ） 理由： 23、若都可測，則f在可測集E上也可測（ ）理由：24、若E可測，A可測，且 ，則。（ ） 理由：證明題1、任意無窮集合包含一可數(shù)子集.2、若A是一個可數(shù)集合, B 是一個有限集合, 則是可數(shù)集.3、若A和B都是可數(shù)集合,則是可數(shù)集.4、有理數(shù)全體成一可數(shù)集。5、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。6、空間中, 是一個可數(shù)集合. 7、證明：集合E可測的充要條件是對于任意，總有 8、設是上a.e.有限的可測函數(shù)，則對于任何及，存在連續(xù)函數(shù)，使9、證明：對，E可測的充要條件是可測。 10、設函數(shù)列在E上依測度收斂于，且，a.e.于E，n=1, 2, ，則在E上a.e.成立。11、證明：可數(shù)點集的外測度為零。 12、（設函數(shù)列在有界集E上基本上一致收斂于，證明在E上a. e.收斂于13、設是n個互不相交的可測集合，。證明： 14、證明：若，則在E上a. e.成立。15、若，則E可測。 16、設，試證。17、設A可測，B為任意集合，證明： 18、設，證明：19、設是上的可積函數(shù)，則20、設，是上的有界可積函數(shù)，則對任何可測集，有21、設由中取出個可測子集，假定中任一點至少屬于這個集中的個，試證必有一集，它的測度大于或等于。22、試從，求證：。23、設為上的可積函數(shù)列， a.e. 于，且，為常數(shù)，則可積。24、設在上可積，且，則 a.e. 于。實變函數(shù)試題題庫參考答案一、選擇題1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空題1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:對于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可測；34、有；35、；36、；37、可測函數(shù)；38、點態(tài)收斂與一致收斂；39、；40、次可數(shù)可加性；41、可測函數(shù)；42、可測函數(shù)；43、單調(diào)性；44、（開）；45、推廣；46、測度；47、；48、，（閉集）；49、常數(shù)；50、可測函數(shù)，連續(xù)函數(shù)；51、；52、零測集； 53、可測函數(shù)；54、依測度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判斷題 1、( ) 理由: 集合具有無序性 2、( ) 理由: 舉一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符號表示集合間的關(guān)系,不能表示元素和集合的關(guān)系. 5、( ) 理由:表示沒有任何元素的集合,而表示單元素集合,這個元素是6、( ) 理由: 表示沒有任何元素的集合,而0表示單元素集合,這個元素是0 7、( ) 理由: 根據(jù)內(nèi)點的定義, 內(nèi)點一定是聚點 8、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分9、( ) 理由: 有內(nèi)點的定義可得. 10、( ) 理由: 有內(nèi)點的定義可得. 11、( ) 理由: 舉例說明,比如: E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E. 12、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的內(nèi)點,但不屬于E 13、（）理由: 因有若，E不可測，而可測 14、（）理由: 因 兩可測集的并可測。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的順序形成的函數(shù)列 18、（） 理由: 因的測度可能無限 19、（） 理由: 因若（可測），則 20、（） 理由: 反例：自然數(shù)集外測度為零。21、（） 理由: 若是E的不可測集就不行。22、（） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在單調(diào)下降趨于c的有理數(shù)列， 則有 ，故可測。24、（） 理由: 因 四、簡答題1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面驗證f是自然數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射.（1） 設m自然數(shù)全體, n自然數(shù)全體且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 則m、n為偶數(shù)，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 則m、n為奇數(shù)，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f