高中數(shù)學第三章概率3.3.1幾何概型課時提升作業(yè)2新人教A版.docx

幾何概型一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2014湖南高考)在區(qū)間-2,3上隨機選取一個數(shù)X,則X1的概率為()A.B.C.D.【解析】選B.基本事件空間為區(qū)間-2,3,它的度量是長度5,X1的度量是長度3,所以所求概率為.2.(2013黃岡高一檢測)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離小于等于2的概率是()A.B.C.D.【解析】選A.平面區(qū)域D的面積為4,到坐標原點的距離小于等于2的點所在區(qū)域的面積為,由幾何概型的概率公式可知區(qū)域D內一個點到坐標原點的距離小于等于2的概率為.【舉一反三】若在區(qū)域D內隨機取一點,則此點到坐標原點的距離大于1的概率為()A.B.1-C.D.1-【解析】選D.平面區(qū)域D的面積為4,到坐標原點的距離小于等于1的點所在區(qū)域的面積為,由幾何概型的概率公式可知區(qū)域D內一個點到坐標原點的距離大于1的概率為1-.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取點則該點落在三棱錐A1-ABC內的概率是()A.B.C.D.【解析】選B.體積型幾何概型問題.4.(2014大慶高一檢測)如圖,在一個邊長為a,b(ab0)的矩形內畫一個梯形,梯形上、下底分別為與,高為b.向該矩形內隨機地投一點,則所投的點落在梯形內部的概率為()A.B.C.D.【解析】選C.S矩形=ab.S梯形=b=ab.故所投的點落在梯形內部的概率P=.5.(2013漢中高一檢測)在區(qū)間0,10內隨機取出兩個數(shù),則這兩個數(shù)的平方和也在區(qū)間0,10內的概率是()A.B.1010C.D.【解析】選D.設取出的兩個數(shù)為a,b,則a,b,(a,b)構成區(qū)域的總面積為100,而a2+b210時,點(a,b)在以原點為圓心,以為半徑的圓位于第一象限的區(qū)域,面積為,所以這兩個數(shù)的平方和也在區(qū)間0,10內的概率是面積之比,為=.6.(2013陜西高考)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是()A.1-B.-1C.2-D.【解題指南】由幾何概型的概率計算公式可知只需計算圖中陰影部分的面積與矩形的面積之比即可.【解析】選A.由題設可知,矩形ABCD的面積為2,曲邊形DEBF的面積為2-,故所求概率為=1-.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014深圳高一檢測)在區(qū)間-1,2上隨機取一個數(shù)x,則x0,1的概率為.【解析】-1,2的長度為3,0,1的長度為1,所以所求概率是.答案:8.在400毫升自來水中有一個大腸桿菌,今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為.【解析】大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的,且結果有無限個,屬于幾何概型.設取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A,則事件A構成的區(qū)域體積是2毫升,全部試驗結果構成的區(qū)域體積是400毫升,則P(A)=0.005.答案:0.0059.在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P,則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是.【解題指南】解答本題從正面考慮較繁瑣,所以從反面來解答,先計算事件“使點P到三個頂點的距離都大于或等于1”的概率,利用對立事件的概率公式計算.【解析】邊長為2的正三角形ABC內,到頂點A的距離小于1的點的集合為以點A為圓心,1為半徑,圓心角為A=60的扇形內.同理可知到頂點B,C的距離小于1的點的集合.故使點P到三個頂點的距離都大于或等于1的概率為=1-,故所求的概率為1-=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)10.甲、乙兩人約定在6時到7時之間的某處會面,并約定先到者應等候另一人一刻鐘,過時即可離去,求兩人能會面的概率.【解析】以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間,則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|15.在如圖所示的平面直角坐標系下,(x,y)的所有可能結果是邊長為60的正方形區(qū)域,其面積用S表示,而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示,面積為SA.由幾何概型的概率公式得:P(A)=.所以,兩人能會面的概率是.11.如圖,AOB=60,OA=2,OB=5,在線段OB上任取一點C,試求:(1)AOC為鈍角三角形的概率.(2)AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖,由平面幾何知識:當ADOB時,OD=1;當OAAE時,OE=4,BE=1.(1)當且僅當點C在線段OD或BE上時,AOC為鈍角三角形,記“AOC為鈍角三角形”為事件M,則P(M)=0.4,即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當且僅當點C在線段DE上時,AOC為銳角三角形,記“AOC為銳角三角形”為事件N,則P(N)=0.6,即AOC為銳角三角形的概率為0.6.一、選擇題(每小題4分,共16分)1.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L,則L與線段BC相交的概率為()A.B.C.D.【解題指南】從角度方面考慮,注意和射線的區(qū)別.【解析】選B.由于直線向兩端無限延伸,當直線繞點A旋轉時,直線和線段BC相交的概率為=.【舉一反三】若將直線改為射線呢?【解析】選C.由于射線不是向兩端無限延伸,當射線繞點A旋轉時,射線和線段BC相交的概率為=.2.某人從甲地去乙地共走了500m,途中要過一條寬為xm的河流,他不小心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,物品不掉在河里就能找到,已知該物品能被找到的概率為,則河寬為()A.16mB.20mC.8mD.10m【解析】選B.物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的,所以符合幾何概型的條件.找到的概率為,即掉到河里的概率為,則河流的寬度占總距離的,所以河寬為500=20(m).3.(2014鄭州高一檢測)如下四個游戲盤(各正方形邊長和圓的直徑都是單位1),如果撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎.小明希望中獎,則應選擇的游戲盤是()【解析】選A.P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=,則P(A)最大,故選A.4.在長為10厘米的線段AB上任取一點G,用AG為半徑作圓,則圓的面積介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()A.B.C.D.【解析】選D.以AG為半徑作圓,面積介于36平方厘米到64平方厘米,則AG的長度應介于6厘米到8厘米之間.所以所求概率P(A)=.【變式訓練】(2014?？诟咭粰z測)一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體六個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.B.C.D.【解析】根據(jù)幾何概型知識,概率為體積之比,即P=,選A.二、填空題(每小題4分,共8分)5.(2014重慶高考)某校早上8:00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)【解題指南】可設出兩人到校的時刻,列出兩人到校時刻滿足的關系式,再根據(jù)幾何概型的概率公式進行求解.【解析】設小張與小王到校的時刻分別為7:30之后x,y分鐘,則由題意知小張比小王至少早5分鐘到校需滿足y-x5,其中0x20,0y20.所有的基本事件構成的區(qū)域為一個邊長為20的正方形,隨機事件“小張比小王至少早5分鐘到校”構成的區(qū)域為陰影部分.由幾何概型的概率公式可知,其概率為P=.答案:6.在區(qū)間-2,3上任取一個實數(shù)a,則使直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長d的概率是.【解題指南】由給出的弦長范圍,求出圓心到直線ax+y+1=0的距離的范圍,再由點到直線的距離公式寫出圓心到直線的距離,列式求出a的范圍,然后用長度比求概率.【解析】如圖.直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長d=AB,則半弦長BC,因為圓的半徑等于1,所以圓心到直線ax+y+1=0的距離OC,即,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在區(qū)間-2,3上任取一個實數(shù)a,則使直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長d的概率是=.答案:【誤區(qū)警示】解答本題時易出現(xiàn)利用直線和圓的方程求弦長的解法,這樣會使解答過程繁瑣、易錯,甚至解不出答案.通過本題的解答應該學會抓住問題的本質,適時將問題轉化,養(yǎng)成轉化與化歸的意識.三、解答題(每小題13分,共26分)7.(2014長春高二檢測)在街道旁邊有一游戲:在鋪滿邊長為9cm的正方形塑料板的寬廣地面上,擲一枚半徑為1cm的小圓板.規(guī)則如下:每擲一次交5角錢,若小圓板壓在邊上,可重擲一次;若擲在正方形內,需再交5角錢才可玩;若壓在正方形塑料板的頂點上,可獲得一元錢.試問:(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少?(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少?【解析】(1)如圖(1)所示,因為圓板的中心O落在正方形ABCD內任何位置是等可能的,小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1cm時,所以圓板的中心O落在圖中陰影部分時,小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接,這個范圍的面積等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是=.(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在圓板中心O與正方形的頂點的距離不超過小圓板的半徑1cm時,如圖(2)陰影部分,四塊合起來面積為cm2,故所求概率是.8.在長度為10的線段內任取兩點將線段分為三段,求這三段可以構成三角形的概率.【解析】設構成三角形的事件為A,長度為10的線段被分成三段的長度分別為x,y,10-(x+y),則即由一個三角形兩邊之和大于第三邊,有x+y10-(x+y),即5x+y10.又由三角形兩邊之差小于第三邊,有x5,即0x5,同理0y5.所以構造三角形的條件為所以滿足條件的點P(x,y)組成的圖形是如圖所示中的陰影區(qū)域(不包括區(qū)域的邊界).S陰影=5