線性代數(shù)難題講解之一.doc

線性代數(shù)疑難習(xí)題講解容杰華 葉宇鑫 梁志光（20056）1題目 證明向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是線性無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn) 線性無(wú)關(guān)，向量的初等變換。解題步驟：方法一。 必要性：設(shè)即線性無(wú)關(guān)有方程組其系數(shù)矩陣的行列式:只有零解即線性無(wú)關(guān)充分性：設(shè) 與其等價(jià)的式子為線性無(wú)關(guān)其系數(shù)矩陣的行列式：方程只有零解即線性無(wú)關(guān).方法二：故線性無(wú)關(guān)的充要條件是線性無(wú)關(guān)方法總結(jié)：方法一是從定義出發(fā)進(jìn)行證明，必要性比較容易想到，但充分性比較難，要確定與其等價(jià)式子的系數(shù)，可通過(guò)求解方程組的方法來(lái)確定。方法二是利用了向量的初等變換求秩方法來(lái)解決問題。相關(guān)例題：例4.9（P67）2題目 設(shè)為n階實(shí)矩陣，證明：若，則。知識(shí)點(diǎn)：矩陣相乘、轉(zhuǎn)置矩陣、零矩陣概念解題步驟：證明：設(shè)，則其中*為省略表示的代數(shù)和為實(shí)數(shù)即0常見錯(cuò)誤及原因：混淆了零矩陣與行列式為零的概念，由得出。3設(shè)為n階矩陣，若，試證的特征值是 -1或1.知識(shí)點(diǎn)：特征值與特征向量解題步驟：方法一。設(shè)的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有：兩邊左乘矩陣得：或把和代入上式得：因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以方法二?；蚧虻奶卣髦禐榛蚍椒ㄈＴO(shè)的特征值為，并設(shè)有多項(xiàng)式則方陣的特征值為由得即相關(guān)例題：例5.4（P89）4題目 設(shè)A, X, B分別是mn,n1,m1矩陣，B0; 是方程AX=B的一個(gè)解；對(duì)應(yīng)的齊次方程AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為， ，r = rank(A). 證明 , ， ， ，線性無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)：線性無(wú)關(guān) 基礎(chǔ)解系解題步驟：方法一。（從定義出發(fā)）設(shè)存在k, k, k, k, k，使k+ k+ k+k= 0在等式兩邊左乘A，有kA + kA+ kA+kA= 0， ， ，是齊次方程AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是方程AX=B的一個(gè)解。 kA+ kA+kA=0， A =B kB=0 B0k = 0 k+ k+ + k=0成立 ， ， ，是齊次方程AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 ， ， ， 線性無(wú)關(guān)k=k=k= = k=0k = k= k= k= = k=0 , ， ， ， 線性無(wú)關(guān).方法二。（反證法）假設(shè) 可由 ， ， ， 線性表示，即 =， ， ，是齊次方程AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 ， ， ， 線性無(wú)關(guān) 是方程AX=B的一個(gè)解A = 0 =B這與B0矛盾假設(shè)不成立不能由， ， ，線性表示 Rank(， ， ，)=n-r+1 , ， ， ， 線性無(wú)關(guān).方法三。證明：， ， ，是齊次方程AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。， ， ，線性無(wú)關(guān)。Rank (， ， ) = nr 是方程AX=B的一個(gè)解，B0不能由， ， ，線性表示 Rank (， ， ，) = nr1 , ， ， ， 線性無(wú)關(guān).方法總結(jié) 雖然向量組線性相關(guān)或無(wú)關(guān)的證明比較困難，但還是有多種方法可以解決?？蓮亩x出發(fā)進(jìn)行證明（方法一），可用反證法進(jìn)行證明（方法二），還可以利用性質(zhì)或定理進(jìn)行證明（方法三）。5題目求矩陣A=的特征值與特征向量。知識(shí)點(diǎn) 特征值 特征向量解題步驟法：解： A的特征多項(xiàng)式為 det(AE) = =解 det(AE) = 0 得 特征值 當(dāng) 時(shí)， 得 則：, 故是A的屬于的全體特征向量，當(dāng) 時(shí)， 得 則 ， 故是A的屬于的全體特征向量。常見錯(cuò)誤解： A= 則 A的特征多項(xiàng)式為 det(AE) =得 特征值 （因?yàn)樘卣髦狄呀?jīng)錯(cuò)誤，后面的步驟省略）分析 在計(jì)算這類題時(shí)，大部份同學(xué)都會(huì)將矩陣化為對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣，但有些同學(xué)習(xí)慣于純粹的數(shù)字矩陣的初等變換，而不習(xí)慣于有未知數(shù)的初等變換，于是為了計(jì)算方便，便直接將矩陣A變換成對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣，造成錯(cuò)誤。其實(shí)我們可以知道，當(dāng)矩陣A初等變換成對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣時(shí)，矩陣A就不是原來(lái)的矩陣A，而是與矩陣A的秩相同的另一個(gè)矩陣了。相關(guān)例題(1)求矩陣A=的特征值與特征向量。(2) 求矩陣A=的特征值與特征向量。6.題目在計(jì)算機(jī)行列式時(shí)如何利用范德蒙行列式的結(jié)果.知識(shí)點(diǎn)n階范德蒙行列式的算法為 = (1)它有如下結(jié)構(gòu)特點(diǎn):的每列都是某一個(gè)數(shù)的不同方冪,且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1.只要抓住其特點(diǎn),將所給行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式,然后用(1)式計(jì)算結(jié)果.現(xiàn)將常見的轉(zhuǎn)化方法歸納如下:方法一當(dāng)所給行列式各列（或行）都是某元素的不同方冪，但其次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不盡相同時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)（提公因式，調(diào)換行列次序等），將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式。例如：計(jì)算解 提取各行的公因式，得上式即為n階范德蒙行列式，故=n!(2-1)(3-1)(n-1)(3-2)(4-2)(n-2)n-(n-1)=n!(n-1)!(n-2)!2!1!方法二當(dāng)各行（或列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪時(shí)，可用加邊法來(lái)轉(zhuǎn)化。例如： 計(jì)算 解 (1)當(dāng)a,b,c,d中任兩個(gè)相等時(shí)，顯然D=0 (2) 當(dāng)a,b,c,d互異時(shí)，由于D中缺少三次冪的一行元素，為產(chǎn)生五階范德蒙行列式，現(xiàn)添加一列，得 按最后一列展開，得 f(x)= 因?yàn)閒(a)= f(b)= f(c)= f(d)=0,故a,b,c,d為f(x)的四個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系得a+b+c+d= -/又因?yàn)? -D，而 =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)故D= -=(a+b+c+d)= (a+b+c+d) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）不是元素的某次冪，用行列式性質(zhì)使其轉(zhuǎn)換為范德蒙行列式的形式. 例試用范德蒙行列式計(jì)算D= D=(a+b+c) =(a+b+c)(b-a)(c-a)(d-a)方法總結(jié)范德蒙行列式是線性代數(shù)中一個(gè)相當(dāng)重要的工具，如果在計(jì)算行列式時(shí)能夠熟練的適時(shí)運(yùn)用，將為解題過(guò)程帶來(lái)很大的方便。7.題目 設(shè)n階矩陣X滿足，證明都可逆，并求。知識(shí)點(diǎn) 逆矩陣，矩陣的運(yùn)算解題步驟 證明 方程化為，即，取行列式得，故，即可逆。由 知 X可逆且方程也可以化為，故，即可逆.=.另外也可這樣做:既然已證明原矩陣可逆，則原式一定可化成的形式，只需用待定系數(shù)法便能得到結(jié)果.常見錯(cuò)誤(1)在求逆矩陣時(shí)把矩陣代數(shù)化.如得到像的式子.解得逆矩陣為(2)“巧用代數(shù)變換”由得從而解得逆矩陣為相關(guān)例題設(shè)n階矩陣滿足.8.題目設(shè)向量組線性