河北省邢臺(tái)市2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年河北省邢臺(tái)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1已知集合 P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0，則 PQ 等于（ ） A x| 2 x 10 B x|7 x 10 C x|1 x 7 D x|1 x 2 或 7 x 10 2在首項(xiàng)為 63，公比為 2 的等比數(shù)列 ， 2016 是該數(shù)列的（ ） A第 5 項(xiàng) B第 6 項(xiàng) C第 7 項(xiàng) D第 8 項(xiàng) 3 已知 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，若 ， A= ，則 等于（ ） A B C D 4設(shè)向 量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x），若 + = （ R），則 +x 的值是（ ） A B C D 5設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+y 的最大值與最小值分別為（ ） A 6， 3 B 1， 3 C 6， 2 D 1， 2 6某校高一年級(jí)有甲、乙、丙三位學(xué)生，學(xué)生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成績(jī)依次成等差數(shù)列，乙、丙也是如此，他們前兩次月考的成績(jī)?nèi)绫恚海?） 第一次月考物 理成績(jī) 第二次月考物理成績(jī) 學(xué)生甲 80 85 學(xué)生乙 81 83 學(xué)生丙 90 86 則下列結(jié)論正確的是（ ） A甲、乙、丙第三次月考物理成績(jī)的平均數(shù)為 86 B在這三次月考物理成績(jī)中，甲的成績(jī)平均分最高 C在這三次月考物理成績(jī)中，乙的成績(jī)最穩(wěn)定 D在這三次月考物理成績(jī)中，丙的成績(jī)方差最大 7若 ） = ，則 于（ ） A 或 6 B 或 3 C 或 6 D 或 3 8若 x 0， y 0，且 =1，則 的最大值為（ ） A B C D 第 2 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 9在數(shù)列 ， a a = 2， ，記數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 最大值為（ ） A 0已知函數(shù) f（ x） = 0）的部分圖象如圖所示，為得到函數(shù) y=x+ ）的圖象，只需將函數(shù) y=f（ x）的圖象（ ） A向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 B向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 C向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 11已知向量 ， 的夾角為銳角， | |= ， | |= ，且 與 夾角的余弦值為 ，則向量 在 方向上的投影為（ ） A B 3 C 2 或 3 D 或 12在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且 a2+，則 A 等于（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分 .、共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ 25） = 14已知等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 a9+ 1，則 k= 15在 ， ， ， 20， D 為 上任意一點(diǎn)，則 0 的概率為 16已知 別為數(shù)列 1+ ） 與 的前 n 項(xiàng)和，若 n 134，則 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 等比數(shù)列， ，且 2a2+0 （ 1）求 （ 2）若數(shù)列 足， =bn+b1=0，求 第 3 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 18在 ， 0， ， ， D 為 上的中點(diǎn)， E 為 上一點(diǎn)，且 = （ 0 1） （ 1）當(dāng) 時(shí)，若 =x +y ，求 x， y 的值； （ 2）當(dāng) ，求 的值 19已知 足 （ =2 （ 1）求 （ 2）若 ，求 面積的最大值 20已知函數(shù) f（ x） =2x R） （ 1）若 f（ t x） =f（ t+x）且 t （ 0， ），求實(shí)數(shù) t 的值； （ 2）記函數(shù) f（ x）在 x ， 上的最大值為 b，且函數(shù) f（ x）在 a b）上單調(diào)遞 增，求實(shí)數(shù) a 的最小值 21在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知 4 （ 1）若 a=4， 面積為 ，求 b， c 的值； （ 2）若 k 0），且 鈍角三角形，求 k 的取值范圍 22在數(shù)列 ， 9n+1， （ 1）求 （ 2）設(shè) bn=1+ ） 1，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 第 4 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年河北省邢臺(tái)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1已知集合 P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0，則 PQ 等于（ ） A x| 2 x 10 B x|7 x 10 C x|1 x 7 D x|1 x 2 或 7 x 10 【分析】 求出集合 Q 的范圍，再和 P 取交集即可 【解答】 解： P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0=x| 2 x 7， 則 PQ=x|1 x 7， 故選： C 2在首項(xiàng)為 63，公比為 2 的等比數(shù)列 ， 2016 是該數(shù)列的（ ） A第 5 項(xiàng) B第 6 項(xiàng) C第 7 項(xiàng) D第 8 項(xiàng) 【分析】 先由首項(xiàng)與公比求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此能求出 2016 是該數(shù)列的第幾項(xiàng) 【解答】 解：在首項(xiàng)為 63，公比為 2 的等比數(shù)列 ， 3 2n 1， 由 3 2n 1=2016，解得 n=6 故選： B 3已知 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，若 ， A= ，則 等于（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值可求 值，利用正弦定理即可計(jì)算得解 【解答】 解： ， B （ 0， ）， A= ， = ， ， 由正弦定理 ，可得： = = 故選： D 4設(shè)向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x），若 + = （ R），則 +x 的值是（ ） A B C D 第 5 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【分析】 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量相等，列出方程組求出 和 x 的值，即可求出 + 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x）， + =（ 2， 7）， 又 + = （ R）， ， 解得 = ， x= 14； +x= 14= 故選： C 5設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+y 的最大值與最小值分別為（ ） A 6， 3 B 1， 3 C 6， 2 D 1， 2 【分析】 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求 z 的最值 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由 z=x+y 得 y= x+z， 平移直線 y= x+z， 由圖象可知當(dāng)直線 y= x+z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)， 直線 y= x+z 的截距最大， 此時(shí) z 最大 由 ，解得 ，即 A（ 4， 2）， 代入目標(biāo)函數(shù) z=x+y 得 z=4+2=6 即目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最大值為 6 當(dāng)直線 y= x+z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（ 1， 2）時(shí)， 直線 y= x+z 的截距最小， 此時(shí) z 最小代入目標(biāo)函數(shù) z=x+y 得 z= 1 2= 3 即目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最小值為 3 故選： C 第 6 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 6某校高一年級(jí)有甲、乙、丙三位學(xué)生，學(xué)生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成績(jī)依次成等差數(shù)列，乙、丙也是如此，他們前兩次月考的成績(jī)?nèi)绫恚海?） 第一次月考物理成績(jī) 第二次月考物理成績(jī) 學(xué)生甲 80 85 學(xué)生乙 81 83 學(xué)生丙 90 86 則下列結(jié)論正確的是（ ） A甲、乙、丙第三次月考物理成績(jī)的平均數(shù)為 86 B在這三次月考物理成績(jī)中，甲的成績(jī)平均分最高 C在這三次月考物理成績(jī)中，乙的成績(jī)最穩(wěn)定 D在這三次月考物理成績(jī)中，丙的成績(jī)方差最大 【分析】 分別求出甲、乙、丙第三次月考的物理成績(jī)，根據(jù)具體的數(shù)據(jù)判斷即可 【解答】 解：甲、乙、丙第三次月考的物理成績(jī)分別是 90， 85， 82， 甲、乙、丙第三次月考物理成績(jī)的平均數(shù)小于 86，故 A 錯(cuò)誤； 在這三次月考物理成績(jī)中，丙的成績(jī)平均分最高，故 B 錯(cuò)誤； 在這三次月考物理成績(jī)中，乙的成績(jī)最穩(wěn)定，故 C 正確； 在這三次月考物理成績(jī)中，甲的成績(jī)方差最大，故 D 錯(cuò)誤； 故選 ： C 7若 ） = ，則 于（ ） A 或 6 B 或 3 C 或 6 D 或 3 【分析】 利用兩角查的正切公式求得 值，可得 值 【解答】 解： ） = = = ， ，或 ，則 或 ， 故選： A 8若 x 0， y 0，且 =1，則 的最大值為（ ） 第 7 頁(yè)（共 17 頁(yè)） A B C D 【分析】 利用基本不等式，即可求出 的最大值 【解答】 解： x 0， y 0， =1 2 ， ， 的最大值為 ， 故選： B 9在數(shù)列 ， a a = 2， ，記數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 最大值為（ ） A 分析】 運(yùn)用等差數(shù)列的定義可得，數(shù)列 a 是首項(xiàng)為 125，公差為 2 的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 a =125+（ 2）（ n 1） =127 2n，判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求和的最大值 【解答】 解：由 a a = 2， ， 可得數(shù)列 a 是首項(xiàng)為 125，公差為 2 的等差數(shù)列， 可設(shè) bn=a =125+（ 2）（ n 1） =127 2n， 由 0， 0， 即 127 2n 0， 125 2n 0， 解得 62 n 63 ， 即有自然數(shù) n 為 63 由等差數(shù) 列 a 為遞減數(shù)列， 可得前 63 項(xiàng)均為正數(shù)，第 64 項(xiàng)起均為負(fù)數(shù) 則前 63 項(xiàng)和最大 故選： D 第 8 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 10已知函數(shù) f（ x） = 0）的部分圖象如圖所示，為得到函數(shù) y=x+ ）的圖象，只需將函數(shù) y=f（ x）的圖象（ ） A向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 B向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 C向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x）的圖象求出 的值，化簡(jiǎn) f（ x），根據(jù)平移法則即可得出答案 【解答】 解：根據(jù)函數(shù) f（ x） = 0）的圖象知， 函數(shù)的周期為 T=， =， 所以 =2； 所以 f（ x） = 又 f（ x） = 2x） =2x ）， 且 （ x+ ） =2x+ ）， 所以，為得到函數(shù) y=2x+ ）的圖象， 只需將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 故選： A 11已知向量 ， 的夾角為銳角， | |= ， | |= ，且 與 夾角的余弦值為 ，則向量 在 方向上的投影為（ ） A B 3 C 2 或 3 D 或 【分析】 可由條件求出 ，進(jìn)而得出 的值，并可由和 建立關(guān)于 的方程，從而求出 ，根據(jù)投影的計(jì)算公式便可求出所求投影的值 【解答】 解：根據(jù)條件， =14 ； ； 又 ， 第 9 頁(yè)（共 17 頁(yè)） = ； ； 解得 或 = 1， 又 向量 ， 的夾角為銳角， ， 在 方向上的投影為 = 故選 A 12在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且 a2+，則 A 等于（ ） A B C D 【分析】 利用正弦、余弦定理，化簡(jiǎn) a2+，求出角 C 的值，再用 ，代入 ，利用三角恒等變換求出 B 的值，即可得出 A 的值 【解答】 解： ， a2+， ab， ab， ， ，且 0 C ， C= ； A= B， 又 ， = ， B） B） = B） B）， B） B） B） B）， 即 2B） = +B）， 2B=B ， 第 10 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 解得 B= ， A= = 故選： D 二、填空題：本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分 .、共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ 25） = 1 【分析】 首先求出 25 的函數(shù)值，然后求 f（ 25）的函數(shù)值，注意自變量范圍，確定解析式 【解答】 解：由已知，函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 25） = 2， 2 0，所以 f（ 2） = ， 所以 f（ f（ 25） = 1； 故答案為： 1 14已知等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 a9+ 1，則 k= 6 【分析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： 1= = =21 a9+ 出即可得出 【解答】 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： 1= = =21 a9+ ， ，解得 k=6 故答案為： 6 15在 ， ， ， 20， D 為 上任意一點(diǎn)，則 0 的概率為 【分析】 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn) A 作 足為 M， 由此得出當(dāng)點(diǎn) D 在線段 時(shí)， 0，從而求出對(duì)應(yīng)的概率值 【解答】 解：如圖所示， ， ， ， 20， 22+12 2 2 1 7， 第 11 頁(yè)（共 17 頁(yè)） ； 過(guò)點(diǎn) A 作 足為 M， 則 C= = ， = = ； 當(dāng)點(diǎn) D 在線段 時(shí)， =| | | | 0， 故所求的概率為 P= = = 故答案為： 16已知 別為數(shù)列 1+ ） 與 的前 n 項(xiàng)和，若 n 134，則 127 【分析】 求得 1+ ） =n+1） 用裂項(xiàng)相消求和可得 Sn=n+1）；由 =1+（ ） n，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式可得 Tn=n+1（ ） n再由構(gòu)造數(shù)列 f（ n） =n+1） +n+1（ ） n，判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值 【 解答】 解： 1+ ） =n+1） 則 Sn=+n+1） n+1）； =1+（ ） n，可得 Tn=n+ =n+1（ ） n n 134，即為 n+1） +n+1（ ） n 134， 由 f（ n） =n+1） +n+1（ ） n 在 n N*遞增， 且 35（ ） 127 ， 即有 n 的最小值為 127 故答案為： 127 第 12 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解 答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 等比數(shù)列， ，且 2a2+0 （ 1）求 （ 2）若數(shù)列 足， =bn+b1=0，求 【分析】 （ 1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 （ 2）由 b1=0，取 3n 1，可得 2變形為 bn= 3n 1，利用 “累加求和 ”與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， ，且 2a2+0 4 （ 2q+=60，化為： q 15=0，解得 q= 5，或 q=3 （ 5） n 1，或 3n 1 （ 2） b1=0， 3n 1，可得 2 bn= 3n 1， 1） +（ 1 2） +（ + （ 3n 2+3n 3+3+1） +12 = +12 =2 3n 1+10 18在 ， 0， ， ， D 為 上的中 點(diǎn)， E 為 上一點(diǎn)，且 = （ 0 1） （ 1）當(dāng) 時(shí)，若 =x +y ，求 x， y 的值； （ 2）當(dāng) ，求 的值 【分析】 （ 1）建立平面直角坐標(biāo)系，表示出向量 、 和 ，利用平面向量的坐標(biāo)表示和向量相等列出方程組，即可求出 x 和 y 的值； （ 2）設(shè)出點(diǎn) E（ x， y），利用 =0，和 與 共線，列 出方程組，解方程組求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，即可求出 的值 【解答】 解：（ 1）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則 A（ 0， 0）， B（ 0， 2）， C（ 6， 0）， D（ 3， 0）， 當(dāng) 時(shí)， = ， E 是 中點(diǎn)， 所以 E（ 3， 1）， =（ 3， 2）， =（ 6， 0）， =（ 3， 1）； 又 =x +y ， 所以（ 3， 1） =x（ 3， 2） +y（ 6， 0） =（ 3x+6y， 2x）， 第 13 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 即 ， 解得 x= ， y= ； （ 2）設(shè)點(diǎn) E（ x， y），則 =（ x， y）； 當(dāng) ， =0， 即 3x 2y=0； 又 =（ x， y 2）， =（ 6， 2），且 與 共線， 所以 2x 6（ y 2） =0； 由 組成方程組，解得 x= ， y= ； 所以 =（ ， ）， 所以 = ， 即 的值為 19已知 足 （ =2 （ 1）求 （ 2）若 ，求 面積的最 大值 【分析】 （ 1）利用正弦定理把角化邊，再利用余弦定理得出 而得出 （ 2）利用余弦定理和基本不等式得出 最大值，代入三角形的面積公式得出面積的最大值 【解答】 解：（ 1） （ =2 b2+ = = = （ 2）由余弦定理得 = = ， b2+8 2 6+2 S + 面積的最大值為 第 14 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 20已知函數(shù) f（ x） =2x R） （ 1）若 f（ t x） =f（ t+x）且 t （ 0， ），求實(shí)數(shù) t 的值； （ 2）記函數(shù) f（ x）在 x ， 上的最大值為 b，且函數(shù) f（ x）在 a b）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的最小值 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦函數(shù)公式、兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸 方程求出 f（ x）的對(duì)稱軸方程，結(jié)合條件求出 （ 2）由 x 的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出 f（ x）的增區(qū)間，由條件求出 a 的范圍和最小值 【解答】 解：（ 1）由題意得， f（ x） =2， 由 得， ， f（ t x） =f（ t+x）， 函數(shù) f（ x）的對(duì)稱軸是 x=t= ， t （ 0， ）， t= ； （ 2） x ， ， ， 當(dāng) 時(shí)， f（ x） = 取最大值是 2， 即 b=2， 由 得， ， f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， 函數(shù) f（ x）在 2（ a 2）上單調(diào)遞增， k=1 時(shí)增區(qū)間是 ， k=0 時(shí)增區(qū)間是 ， 則 ， 實(shí)數(shù) a 的最小值是 21在 ， A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知 4 （ 1）若 a=4， 面積為 ，求 b， c 的值； （ 2）若 k 0），且 鈍角三角形，求 k 的取值范圍 【分析】 先由正弦定理和三角恒等變換，同角的三