高等數(shù)學(xué)不定積分講義

第 3、4 次課 4 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：不定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)要求：1. 理解不定積分的概念 2. 理解不定積分的性質(zhì)；3. 熟記基本積分表。重 點(diǎn)：不定積分的性質(zhì)和基本積分表難 點(diǎn)：不定積分的概念教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 不定積分的概念 （25）2. 不定積分的性質(zhì) （30）3. 基本積分表 （30） 4. 習(xí)題 （90）課后作業(yè)參考資料不定積分的概念與性質(zhì)1、 復(fù)習(xí)13個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式.2、原函數(shù)與不定積分的概念. （1）定義1 在區(qū)間I上，如果可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任一xI，都有或=，那么函數(shù)就稱為(或)在區(qū)間I上的原函數(shù). （2）原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù), 使對(duì)任一x I 都有F (x)=. 注： 1、如果函數(shù)在區(qū)間I上有原函數(shù), 那么就有無限多個(gè)原函數(shù). 都是的原函數(shù). (其中C是任意常數(shù)). 2、的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù), 即如果F(x)和都是的原函數(shù),則(為某個(gè)常數(shù)).簡(jiǎn)單地說就是,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 定義2 在區(qū)間I上, 函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為(或)在區(qū)間I上的不定積分. 記作 , 其中記號(hào)稱為積分號(hào), 稱為被積函數(shù), 稱為被積表達(dá)式,稱為積分變量. 3、例題講解.例1 因?yàn)槭堑脑瘮?shù),所以.因?yàn)槭堑脑瘮?shù), 所以 .例2. 求函數(shù)的不定積分.解：當(dāng)時(shí)，(ln x)，().; 當(dāng)時(shí)，ln(x)，().合并上面兩式,得到 (x0). 例3. 求解 由于，所以是的一個(gè)原函數(shù)，因此.4、變式練習(xí)5、積分曲線: 函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線,從不定積分的定義,即可知下述關(guān)系: , 或 . 又由于是的原函數(shù),所以或記作. 6、基本積分表（略）.例4. . 例5. . 7、不定積分的性質(zhì).性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即 . 這是因?yàn)? =f(x)+g(x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來,即 (是常數(shù),). 例6. . . 例7. . 8.變式練習(xí)(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)第 5 次課 2 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第一類換元積分法教學(xué)要求：1. 掌握第一類換元積分法重 點(diǎn)：第一類換元積分法難 點(diǎn)：湊微分教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 第一類換元積分法理論 （25）2. 練習(xí) （65）課后作業(yè)參考資料 第一類換元積分法1、 回顧舊知（1）復(fù)習(xí)13個(gè)常見積分公式（2）思考：對(duì)嗎？2、第一類換元法. 設(shè)有原函數(shù), 且可微, 那么, 根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法, 有 ,即 = = . 定理1 設(shè)具有原函數(shù), 可導(dǎo), 則有換元公式 . 3、講授例題.例1 = 例2 .例3 = .例4求解 4、變式練習(xí).） ） ） ） ） 第 6 次課 2 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第一類換元積分法教學(xué)要求：1. 掌握第一類換元積分法重 點(diǎn)：第一類換元積分法難 點(diǎn)：湊微分教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 練習(xí) （90）課后作業(yè)參考資料第一類換元積分法1、 復(fù)習(xí)舊知.（1）13個(gè)常見的積分公式.（2） 第一類換元積分法.2、 例題講解（較難的積分）.例1. .例2. .例3. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C .例4. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C.3、 變式練習(xí).1） 2）3） 4）5) 6) 7) 8)9) 10)4、 小結(jié)（1） 分項(xiàng)積分：利用積化和差; 分式分項(xiàng);；（2） 降低冪次：利用倍角公式 , 如.（3） 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法.（4） 巧妙換元或配元第 7 次課 2 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第二類換元積分法教學(xué)要求：1. 理解第二類換元積分法重 點(diǎn)：第二類換元積分法難 點(diǎn)：第二類換元積分法 教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 第二類換元積分法理論 （25）2. 練習(xí) （65）課后作業(yè)參考資料 第二類換元積分法1、復(fù)習(xí)第一類換元積分法.2、第二類換元法.（1）定理1 設(shè)=是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且0. 又設(shè)f 具有原函數(shù)F, 則有換元公式.其中=是=的反函數(shù). 這是因?yàn)?. 3、例題講解. 例1. 求(a0). 解: 設(shè)，, 那么, , 于是. 因?yàn)? , 所以.例2 求解 原式.例3 求解 為了消去根號(hào)，設(shè)，則.所以 .4、變式練習(xí).） ） ） ） ）第 8 次課 2 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：分部積分法1教學(xué)要求：1. 掌握分部積分法重 點(diǎn)：分部積分法難 點(diǎn)：分部積分法教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 分部積分法理論 （25）2. 練習(xí) （65）課后作業(yè)參考資料 分部積分法1、提出問題：求解（讓學(xué)生試著求解）.2、分部積分公式.設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么,兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)=uv+uv,移項(xiàng)得 uv=(uv)-uv. 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分, 得, 或,這個(gè)公式稱為分部積分公式. 思路分析：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號(hào)下湊微分?！钡脑瓌t進(jìn)行分部積分的練習(xí)。 3、 例題講解.例1 求.解 設(shè)那么于是.例2 求 解 令則.原式.例3 求解 設(shè).則原式. 再令.則. 故原式.故.說明: 也可設(shè)為為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型必須一致 . 注：(1).(2) 應(yīng)較易積分.(3) 熟悉了分部積分的步驟后，可以不明確寫出，而是直接用公式來做.例5 求.解 .例6 求.解 .4、 變式練習(xí).） ） ） ） ）第 9 次課 2 學(xué)時(shí)課程安排：1學(xué)期，周學(xué)時(shí) 2 , 共 48學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：分部積分法教學(xué)要求：1. 會(huì)應(yīng)用分部積分法求積分重 點(diǎn)：分部積分法難 點(diǎn)：分部積分法教學(xué)手段及教具：講授法講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1. 習(xí)題 （90）課后作業(yè)參考資料 分部積分法1、 復(fù)習(xí)分部積分法.2、 例題講解.例1 求. 解 因?yàn)?, 所以. 例2 求. 解 因?yàn)?, 所以 . 例3 . 解題技巧：選取及的一般方法：把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積，按“反對(duì)冪三指”的順序，前者為后者為. 例4 .例5 求, 其中n為正整數(shù).