高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的簡單幾何性質課件 新人教A版選修11.ppt

2 3 2拋物線的簡單幾何性質 第二章 2 3拋物線 1 掌握拋物線的簡單幾何性質 2 能運用拋物線的簡單幾何性質解決與拋物線有關的問題 學習目標 欄目索引 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 知識梳理自主學習 知識點一拋物線的幾何性質 答案 x 0 x 0 y 0 y 0 0 0 e 1 知識點二焦點弦直線過拋物線y2 2px p 0 的焦點f 與拋物線交于a x1 y1 b x2 y2 兩點 由拋物線的定義知 af x1 bf x2 故 ab 知識點三直線與拋物線的位置關系直線y kx b與拋物線y2 2px p 0 的交點個數決定于關于x的方程 的解的個數 當k 0時 若 0 則直線與拋物線有個不同的公共點 當 0時 直線與拋物線有個公共點 當 0時 直線與拋物線公共點 當k 0時 直線與拋物線的對稱軸 此時直線與拋物線有個公共點 x1 x2 p k2x2 2 kb p x b2 0 兩 一 沒有 平行或重合 一 答案 返回 題型探究重點突破 解析答案 題型一拋物線的幾何性質例1已知雙曲線方程是 1 求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標準方程及拋物線的準線方程 反思與感悟 反思與感悟 1 注意拋物線各元素間的關系 拋物線的焦點始終在對稱軸上 拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點 拋物線的準線始終與對稱軸垂直 拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱 2 解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中 通過定義的運用 實現兩個距離之間的轉化 簡化解題過程 解析答案 跟蹤訓練1已知拋物線的對稱軸在坐標軸上 以原點為頂點 且經過點m 1 2 求拋物線的標準方程和準線方程 解 1 當拋物線的焦點在x軸上時 將點m 1 2 代入 得m 4 2 當拋物線的焦點在y軸上時 設其標準方程為y2 mx m 0 拋物線的標準方程為y2 4x 設其標準方程為x2 ny n 0 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 所以直線ab的斜率存在 設為k 消去x 整理得ky2 2py kp2 0 解得k 2 反思與感悟 1 解決拋物線的焦點弦問題時 要注意拋物線定義在其中的應用 通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題 從而可借助根與系數的關系進行求解 2 設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論 解析答案 跟蹤訓練2已知直線l經過拋物線y2 6x的焦點f 且與拋物線相交于a b兩點 1 若直線l的傾斜角為60 求 ab 的值 解因為直線l的傾斜角為60 若設a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2 5 x1 x2 p 所以 ab 5 3 8 解析答案 2 若 ab 9 求線段ab的中點m到準線的距離 解設a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是線段ab的中點m的橫坐標是3 解析答案 題型三直線與拋物線的位置關系例3已知直線l y kx 1 拋物線c y2 4x 當k為何值時 直線l與拋物線c有 1 一個公共點 2 兩個公共點 3 沒有公共點 反思與感悟 消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 當k 0時 方程 為一元二次方程 2k 4 2 4k2 當 0 即k 1且k 0時 直線l與拋物線c有兩個公共點 此時直線l與拋物線c相交 當 0 即k 1時 直線l與拋物線c有一個公共點 此時直線l與拋物線c相切 解析答案 反思與感悟 當 1時 直線l與拋物線c沒有公共點 此時直線l與拋物線c相離 綜上所述 1 當k 1或k 0時 直線l與拋物線c有一個公共點 2 當k1時 直線l與拋物線c沒有公共點 反思與感悟 反思與感悟 直線與拋物線交點的個數 等價于直線方程與拋物線方程聯立得到的方程組解的個數 注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數為0的情況 解析答案 跟蹤訓練3如圖 過拋物線y2 x上一點a 4 2 作傾斜角互補的兩條直線ab ac交拋物線于b c兩點 求證 直線bc的斜率是定值 解析答案 證明設kab k k 0 直線ab ac的傾斜角互補 kac k k 0 直線ab的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 a 4 2 b xb yb 是上述方程組的解 直線bc的斜率為定值 解析答案 返回 解后反思 例4已知頂點在原點 焦點在x軸上的拋物線被直線y 2x 1截得的弦長為 求拋物線的標準方程 思想方法 分類討論思想的應用 解析答案 解后反思 分析由于拋物線的開口有兩種可能性 向左或向右 其標準方程可以設為y2 2px p 0 或y2 2px p 0 解設直線和拋物線相交于點a x1 y1 b x2 y2 1 當拋物線開口向右時 消去y 得4x2 2p 4 x 1 0 解得p 2 負值舍去 或p 6 故拋物線的標準方程為y2 12x 解后反思 2 當拋物線開口向左時 設拋物線的標準方程為y2 2p1x p1 0 同理可得p1 2 此時所求拋物線的標準方程為y2 4x 綜上所述 拋物線的標準方程為y2 4x或y2 12x 分類討論思想在解決拋物線問題時經常用到 如對拋物線的開口方向進行討論 對直線的斜率是否存在進行討論 對判別式 的取值范圍進行討論等 返回 解后反思 當堂檢測 1 2 3 4 5 解析答案 1 以x軸為對稱軸的拋物線的通徑 過焦點且與對稱軸垂直的弦 長為8 若拋物線的頂點在坐標原點 則其方程為 a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y解析設拋物線y2 2px或y2 2px p 0 得 y p 2 y 2p 8 p 4 c 解析答案 2 若拋物線y2 x上一點p到準線的距離等于它到頂點的距離 則點p的坐標為 解析由題意知 點p到焦點f的距離等于它到頂點o的距離 因此點p在線段of的垂直平分線上 1 2 3 4 5 b 1 2 3 4 5 3 拋物線y 4x2上一點到直線y 4x 5的距離最短 則該點坐標為 解析答案 解析因為y 4x2與y 4x 5不相交 設與y 4x 5平行的直線方程為y 4x m 設此直線與拋物線相切 此時有 0 即 16 16m 0 m 1 c 解析答案 1 2 3 4 5 4 經過拋物線y2 2x的焦點且平行于直線3x 2y 5 0的直線l的方程是 a 6x 4y 3 0b 3x 2y 3 0c 2x 3y 2 0d 2x 3y 1 0解析設直線l的方程為3x 2y c 0 a 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知直線x y 1 0與拋物線y ax2相切 則a 直線與拋物線相切 a 0且 1 4a 0 課堂小結 1 討論拋物線的幾何性質 一定要利用拋物線的標準方程 利用幾何性質 也可以根據待定系數法求拋物線的方程 2 直線與拋物線的相交弦問題共有兩類 一類是過焦點的弦 一類是不過焦點的弦 解決弦的問題 大多涉及到拋物線的弦長 弦的中點 弦的斜率 常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯立 轉化為關于x或y的一元二次方程 然后利用根與系數的關系 這樣避免求交點 尤其是弦的中點問題 還應注意 點差法 的運用 3 判斷