華東師大版八年級數學下冊第19章矩形菱形與正方形19.1矩形1矩形的性質

第19章矩形 菱形與正方形19 1矩形1 矩形的性質 1 了解矩形的定義 理解矩形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系 重點 2 會用矩形的性質進行計算或證明 重點 難點 一 矩形的定義有一個角是 的平行四邊形 二 矩形的性質在矩形ABCD中 BAD 90 對角線AC與BD相交于點O 直角 思考 1 由 BAD 90 可以推出 ABC BCD CDA的度數分別為多少 提示 因為矩形是特殊的平行四邊形 AD BC AB CD 根據兩直線平行 同旁內角互補 可得 ABC BCD CDA 90 2 對角線AC BD有怎樣的數量關系 為什么 提示 AC BD 在 ABD和 DCA中AD AD BAD CDA 90 AB CD ABD DCA AC BD 總結 矩形的性質 1 矩形具有 的一般性質 2 定理1 矩形的四個角都是 3 定理2 矩形的對角線 4 對稱性 矩形既是 圖形 也是軸對稱圖形 對稱軸為 的直線 平行四邊形 直角 相等 中心對稱 通過對邊中點 打 或 1 矩形的對角線相等且互相平分 2 矩形的四個角都是直角 3 矩形是軸對稱圖形 它有兩條對稱軸 知識點1矩形的性質 例1 2013 寧夏中考 在矩形ABCD中 點E是BC上一點 AE AD DF AE 垂足為F 求證 DF DC 思路點撥 連結DE 四邊形ABCD是矩形 DF AE DEC AED DFE C 90 DFE DCE 結論 自主解答 連結DE AD AE AED ADE 四邊形ABCD是矩形 AD BC C 90 ADE DEC DEC AED 又 DF AE DFE C 90 DE DE DFE DCE DF DC 總結提升 矩形的性質 1 矩形的性質為我們以后證明線段平行或相等 角的相等提供了新的方法 2 由邊 角之間的相等關系 特別是有直角 可以將矩形中的問題轉化為直角三角形中有關邊角的計算問題 3 對角線將矩形分成了四個面積相等的等腰三角形 可以解決有關等腰三角形的問題 4 矩形既是中心對稱圖形 同時還是軸對稱圖形 為解決圖形的旋轉和對折提供了依據 知識點2矩形性質的應用 例2 如圖 四邊形ABCD為矩形紙片 AB 10 AD 8 把紙片ABCD沿AF折疊 使點B恰好落在CD邊E上 求折痕AF的長 思路點撥 由對稱性 AB AE 由勾股定理 DE EC BF AF 自主解答 AEF和 ABF關于直線AF對稱 AE AB 10 EF BF AEF B 90 在Rt ADE中 AD 8 AE 10 根據勾股定理 DE EC 10 6 4 在Rt EFC中 EC 4 設BF為x 則FC 8 x 根據勾股定理 得方程 8 x 2 42 x2 解得x 5 即BF 5 AF 總結提升 解決矩形中折疊問題的兩個思路 1 運用矩形的對邊相等 對角線相等 四個角是直角等性質 2 運用軸對稱的性質 找出折疊前后相等的角 線段 題組一 矩形的性質1 2013 宜昌中考 如圖 在矩形ABCD中 AB BC AC BD相交于點O 則圖中等腰三角形的個數是 A 8B 6C 4D 2 解析 選C 四邊形ABCD是矩形 AO BO CO DO ABO BCO DCO ADO都是等腰三角形 2 如圖 在矩形ABCD中 O是對角線AC BD的交點 點E F分別是OD OC的中點 如果AC 10 BC 8 那么EF的長為 A 3B 4C 5D 6 解析 選A ABC 90 AB CD AB 6 點E F分別是OD OC的中點 EF 3 3 2013 資陽中考 在矩形ABCD中 對角線AC BD相交于點O 若 AOB 60 AC 10 則AB 解析 四邊形ABCD是矩形 OA OB 又 AOB 60 AOB是等邊三角形 AB OA AC 5 答案 5 4 已知 如圖 在矩形ABCD中 AC BD是對角線 過頂點C作BD的平行線與AB的延長線相交于點E 求證 AC CE 證明 BD EC BE DC 四邊形BDCE是平行四邊形 BD EC 四邊形ABCD是矩形 AC BD AC CE 5 如圖 E F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點 且AE DF 求證 BE CF 證明 四邊形ABCD為矩形 OA OB OC OD AB CD AE DF OE OF 在 BOE與 COF中 BOE COF BE CF 題組二 矩形性質的應用1 如圖 在矩形ABCD中 E F G H分別為邊AB BC CD DA的中點 若AB 2 AD 4 則圖中陰影部分的面積為 A 8B 6C 4D 3 解析 選C 陰影部分的面積為2 4 4 2 1 4 2 如圖是一塊電腦主板的示意圖 每一轉角處都是直角 數據如圖所示 單位 mm 則該主板的周長是 A 88mmB 96mmC 80mmD 84mm 解析 選B 如圖 把主板轉化為一個矩形后 還多余2個4mm的邊長 即主板的周長為2 24 20 4 2 96 mm 3 如圖 矩形ABCD中 AB 8 BC 6 E F是AC上的三等分點 則 BEF的面積為 A 8B 12C 16D 24 解析 選A 因為 ABC的面積為 8 6 24 又因為E F是AC上的三等分點 所以 BEF的面積為 24 8 4 如圖 在矩形ABCD中 點E F分別在邊AB CD上 BF DE 若AD 12cm AB 7cm 且AE EB 5 2 則陰影部分EBFD的面積為cm2 解析 因為BF DE AB CD 所以四邊形BEDF是平行四邊形 又AB 7cm AE EB 5 2 得EB 2cm 所以陰影部分面積為BE AD 2 12 24 cm2 答案 24 5 如圖 把一張矩形紙片ABCD沿BD折疊 使C點落在E處 且BE與AD相交于點O 判定 OBD的形狀 并說明理由 解析 OBD為等腰三角形 理由 根據對稱性 CBD EBD AD BC CBD ADB EBD ADB OB OD OBD為等腰三角形 變式備選 在上面的題目中 保持條件不變 試判斷 AOB和 EDO面積的大小 說明理由 解析 AOB和 EDO面積相等 理由 根據矩形的中心對稱性 ABD和 CDB面積相等 即S ABD S C