不等式恒成立問(wèn)題及能成立問(wèn)題

例談不等式恒成立問(wèn)題和能成立問(wèn)題的解題策略談2008年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第14題摘要：所有問(wèn)題均可分成三類：恒成立問(wèn)題、能成立問(wèn)題和不成立問(wèn)題。例談不等式恒成立問(wèn)題和能成立問(wèn)題介紹了解決不等式恒成立問(wèn)題和不等式能成立問(wèn)題常用的直接法、分離參數(shù)法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等，采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化的處理策略。關(guān)鍵詞：分離參數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化，換元，求最值。 2008年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第14題是一道很好的恒成立問(wèn)題：設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意都有成立，則實(shí)數(shù)的值為 。解析如下：析：將中的分離，然后求函數(shù)的最值。解：函數(shù)若對(duì)于任意都有成立，函數(shù)對(duì)于任意有都成立。 若，設(shè)則，令，則單調(diào)遞減，（1）若，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（2）若則，成立（3）由題意知（1）（2）（3）應(yīng)同時(shí)成立解題中采取了不等式恒成立問(wèn)題的處理策略:1、若f(x)a對(duì)xD恒成立，只須f(x)min(xD)a即可。2、若f(x)a對(duì)xD恒成立，只須f(x)max(xD)a即可。該題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注意考查了考生的分類討論的思想、換元的思想等，是一道突出理性思維、考查學(xué)生潛能及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的題目。2000年上海高考數(shù)學(xué)試卷也考了一道不等式恒成立的題目，解析如下已知函數(shù)f(x)=,x. （1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值； （2） 若對(duì)任意的x，恒成立，試求a的取值范圍。析：由于x，化繁為簡(jiǎn)。解：（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)， 在區(qū)間上的最小值為 （2）在區(qū)間上，恒成立恒成立，設(shè)，遞增，當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，故 本題著重考查了函數(shù)思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想。通過(guò)對(duì)前面的兩個(gè)高考題的分析我們可以得出結(jié)論：解不等式恒成立問(wèn)題，首先要構(gòu)建函數(shù)模型，然后求這個(gè)函數(shù)的最值，最后采取不等式恒成立問(wèn)題的處理策略進(jìn)行求解。等價(jià)轉(zhuǎn)化是思想，構(gòu)建函數(shù)模型是手段，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵。下面就不等式恒成立問(wèn)題談幾種解決方法，以期對(duì)讀者有所啟迪。一、直接法例1已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 析：本題可利用不等式求最值解： ，而對(duì)恒成立，則，解得例2若不等式0在1，2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。析：本題可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值解：令，則 所以，因不等式0在1，2上恒成立 所以，即例3已知函數(shù)，（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍析：，且解：（1） 又，即，（2），且，即的取值范圍是二、分離參數(shù)法例4關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍為 析：含參問(wèn)題的考察始終是高考的熱點(diǎn)，要善于對(duì)問(wèn)題先觀察思考后動(dòng)手，避免不必要的麻煩。解析一： 兩邊同除以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，兩等式同時(shí)成立，所以時(shí)，右邊取最小值6，解析二：（提示）可分和討論求分段函數(shù)的最小值答案：例5若a,b均為正實(shí)數(shù)，且恒成立，則m的最小值是 析：參數(shù)分離，然后求的最值，最后采取不等式恒成立問(wèn)題的處理策略求m的最小值解：因a,b均為正實(shí)數(shù)，根據(jù)基本不等式得恒成立，則m的最小值是三、等價(jià)轉(zhuǎn)化法例6已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；析：本題的實(shí)質(zhì)由在上恒成立，求的取值范圍。解： 由，得 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述問(wèn)題等價(jià)于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求例7已知函數(shù)若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；析：本題可利用是偶函數(shù)將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：已知對(duì)任意成立，確定實(shí)數(shù)的取值范圍解：由可知是偶函數(shù)于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是 例8已知P：2x2-9x+a 0,q： 且p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.析：BA，即A中的不等式對(duì)于B中的恒成立解：由q： 得q:2x3設(shè)A=p=2x2-9x+a0，B=q=2x3pq, qp BA 即2x3滿足不等式 2x2-9x+a0 2x3滿足不等式 a9x-2x2當(dāng)2x3時(shí)，9x-2x2=-2(x2-x+-) =-2(x-)2+99x-2x2 a9評(píng)：以上三例均是將它們轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題。等價(jià)轉(zhuǎn)化就是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，這將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力，提高思維能力和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技能、技巧。四、數(shù)形結(jié)合法根據(jù)恒成立不等式的特點(diǎn)，通過(guò)挖掘幾何圖形含意，利用函數(shù)圖象的高低位置關(guān)系找出參數(shù)的變化范圍.例9不等式ax在x0,3內(nèi)恒成立，求a的變化范圍.解：畫出兩個(gè)函數(shù)y=ax與y=的圖象.（如圖）將x=3代入ax=,得a=a例10若對(duì)一切都成立，則k的取值范圍是_析：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，半圓應(yīng)全在直線的下方，其中直線過(guò)點(diǎn)（0，1）斜率為2，直線與相切斜率為，畫圖易得：評(píng)：數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化,充分利用這種轉(zhuǎn)化，尋找解題思路，可使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決.華羅庚先生說(shuō)得好：“數(shù)形本是相依倚,焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休;幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。五、“能成立”與“恒成立”的問(wèn)題“能成立”與“恒成立”的問(wèn)題分屬于“存在性命題”和“全稱命題”的范疇，應(yīng)區(qū)別對(duì)待。例11若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 析：“關(guān)于的不等式的解集不是空集，等價(jià)于有解，則”與“關(guān)于的不等式的解集是，等價(jià)于恒成立，則”不同，應(yīng)加以體會(huì)。解：設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或評(píng)：不等式能成立問(wèn)題的處理策略:1、若f(x)a對(duì)xD能成立，只須f(x)max(xD)a即可。2、若f(x)a對(duì)xD能成立，只須f(x)min(xD)a即可例12若存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 .析：一方面要進(jìn)行主次元的轉(zhuǎn)換，把不等式ax2+(a2)x20看成關(guān)于的不等式，另一方面利用不等式能成立的條件求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解：令可看成關(guān)于的一元一次函數(shù)，存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20成立的條件為 只須，即，則綜上所述：不等式恒成立問(wèn)題的處理策略是：1、若f(x)a對(duì)xD恒成立，只須f(x)min(xD)a即可。2、若f(x)a對(duì)xD恒成立，只須f(x)max(xD)a即可。不等式能成立問(wèn)題的處理策略是1、若f(x)a對(duì)xD能成立，只須f(x)max(xD)a即可。2、若f(x)a對(duì)xD能成立，只須f(x)min(xD)a即可。解題的關(guān)鍵是求函數(shù)最值，方法有直接法