導數(shù)附應(yīng)用高考題附解析.doc

1 18 導數(shù)高考大題 1 設(shè)函數(shù) 已知和為的極值點 2132 x f xx eaxbx 2x 1x f x 求和的值 ab 討論的單調(diào)性 f x 設(shè) 試比較與的大小 32 2 3 g xxx f x g x 2 已知函數(shù)其中 n N a 為常數(shù) 1 ln 1 1 n f xax x 當 n 2 時 求函數(shù) f x 的極值 當 a 1 時 證明 對任意的正整數(shù) n 當 x 2 時 有 f x x 1 3 已知函數(shù) 其中 32 1 3 3 f xaxbxx 0a 1 當滿足什么條件時 取得極值 ba xf 2 已知 且在區(qū)間上單調(diào)遞增 試用表示出的取值范圍 0 a xf 0 1 ab 4 2010 山東文 10 題 觀察 由歸納推理可得 2 2xx 4 2 4xx cos sinxx 若定義在上的函數(shù)滿足 記的導函數(shù) 則 R f x fxf x g xf x為 gx A B C D f x f x g x g x 5 2010 山東文 21 題 已知函數(shù) 1 1 1 Ra x a axnxxf 當處的切線方程 在點 時 求曲線 2 2 1fxfya 當時 討論的單調(diào)性 1 2 a f x 6 2011 山東理 16 題 已知函數(shù) 當 log 0 1 a f xxxb aa 且 時 函數(shù)的零點 則 234ab f x 0 1 xn nnN n 7 2011 山東理 21 題 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 不計厚度 長度單位 米 其中容 器的中間為圓柱形 左右兩端均為半球形 按照設(shè)計要求容器的容積為立方米 且 80 3 假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān) 已知圓柱形部分每平方米建造費用為 3 千元 2lr 半球形部分每平方米建造費用為千元 設(shè)該容器的建造費用為千元 3 c c y 寫出關(guān)于的函數(shù)表達式 并求該函數(shù)的定義域 yr 求該容器的建造費用最小值時的 r 2 18 8 2011 山東文 4 題 曲線在點處的切線與軸交點的縱坐標是 3 11yx 1 12 Py A 9 B 3 C 9 D 15 9 2008 全國文卷一 4 題 曲線在點處的切線的傾斜角為 3 24yxx 13 A 30 B 45 C 60 D 120 10 2008 全國文卷一 21 題 已知函數(shù) 32 1f xxaxx a R 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 f x 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) 求的取值范圍 f x 21 33 a 11 2009 全國文卷二 21 題 設(shè)函數(shù) 其中常數(shù) 32 1 1 424 3 f xxa xaxa a1 討論 f x 的單調(diào)性 若當 x 0 時 f x 0 恒成立 求的取值范圍 w w w k s 5 u c o m a 12 2009 全國理卷一 9 題 已知直線 y x 1 與曲線相切 則 的值為 yln xa A 1 B 2 C 1 D 2 13 2009 全國理卷一 22 題 設(shè)函數(shù)在兩個極值點 且 32 33f xxbxcx 12 xx 12 10 1 2 xx I 求滿足的約束條件 并在下面的坐標平面內(nèi) 畫出滿足這些條件的點的區(qū)域 bc b c II 證明 2 1 10 2 f x 14 2009 全國理卷二 4 題 曲線在點處的切線方程為 21 x y x 1 1 A B C D 20 xy 20 xy 450 xy 450 xy 15 2009 全國理卷二 22 題 設(shè)函數(shù)有兩個極值點 且 2 1f xxaInx 12 xx 12 xx I 求的取值范圍 并討論的單調(diào)性 a f x II 證明 w w w k s 5 u c o m 2 1 22 4 In f x 16 2010 全國文卷一 21 已知函數(shù) 42 32 31 4f xaxaxx 3 18 I 當時 求的極值 1 6 a f x II 若在上是增函數(shù) 求的取值范圍 f x 1 1 a 17 2010 全國文卷二 7 題 若曲線在點 0 b處的切線方程式 2 yxaxb 10 xy 則 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 18 2010 全國文卷二 21 題 已知函數(shù) 32 331f xxaxx 設(shè) 求的單調(diào)區(qū)間 2a f x 設(shè)在區(qū)間 2 3 中至少有一個極值點 求的取值范圍 f xa 19 2010 全國理卷一 20 題 已知函數(shù) 1 ln1f xxxx 若 求的取值范圍 2 1xfxxax a 證明 1 0 xf x 20 2010 全國理卷二 22 題 設(shè)函數(shù) 1 x f xe 證明 當時 x 1 1 x f x x 設(shè)當時 求 a 的取值范圍 0 x 1 x f x ax 21 2011 全國文卷一 21 題 已知函數(shù) 32 3 36 124f xxaxa xaaR 證明 曲線 0yf xx 在處的切線過點 2 2 若求 a 的取值范圍 00 f xxxx 在處取得最小值 1 3 22 2011 全國理卷二 8 題 曲線在點 0 2 處的切線與直線和圍1 2 x ey0 yxy 成的三角形的面積為 A B C D 1 3 1 2 1 3 2 23 2011 全國理卷二 22 題 設(shè)函數(shù) 證明 當時 2 ln 1 2 x f xx x 0 x 0f x 4 18 從編號 1 到 100 的 100 張卡片中每次隨即抽取一張 然后放回 用這種方式連續(xù)抽取 20 次 設(shè)抽得的 20 個號碼互不相同的概率為 證明 p 19 2 91 10 p e 23 1 解 因為 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又和為的極值點 所以 2x 1x f x 2 1 0ff 因此 620 3320 ab ab 解方程組得 1 3 a 1b 因為 1 3 a 1b 所以 1 2 e1 x fxx x 令 解得 0fx 1 2x 2 0 x 3 1x 因為當時 2 x 01 0fx 當時 2 0 1 x 0fx 所以在和上是單調(diào)遞增的 f x 2 0 1 在和上是單調(diào)遞減的 2 01 由 可知 2132 1 e 3 x f xxxx 故 21321 e e xx f xg xxxxx 令 1 exh xx 則 1 e1 x h x 令 得 0h x 1x 5 18 因為時 1x 0h x 所以在上單調(diào)遞減 h x 1x 故時 1x 1 0h xh 因為時 1x 0h x 所以在上單調(diào)遞增 h x 1x 故時 1x 1 0h xh 所以對任意 恒有 又 x 0h x 2 0 x 因此 0f xg x 故對任意 恒有 x f xg x 2 解 由已知得函數(shù) f x 的定義域為 x x 1 當 n 2 時 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 1 當 a 0 時 由得 0fx 1 1 1 2 1x a 2 2 1x a 此時 12 3 1 a xxxx fx x 當 x 1 x1 時 單調(diào)遞減 0 fxf x 當 x x1 時 單調(diào)遞增 0 fxf x 2 當 a 0 時 恒成立 所以 f x 無極值 0fx 綜上所述 n 2 時 當 a 0 時 f x 在處取得極小值 極小值為 2 1x a 22 1 1 ln 2 a f aa 當 a 0 時 f x 無極值 6 18 證法一 因為 a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 當 n 為偶數(shù)時 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 則 11 12 10 2 11 1 1 nn nxn g xx xxxx 所以當 x 2 時 g x 單調(diào)遞增 又 g 2 0 因此 g 2 0 恒成立 1 1ln 1 1 n g xxx x 所以 f x x 1 成立 當 n 為奇數(shù)時 要證 x 1 由于 0 所以只需證 ln x 1 x 1 f x 1 1 nx 令 h x x 1 ln x 1 則 0 x 2 12 1 11 x h x xx 所以 當 x 2 時 單調(diào)遞增 又 h 2 1 0 1 ln 1 h xxx 所以當 x 2 時 恒有 h x 0 即 ln x 1 x 1 命題成立 綜上所述 結(jié)論成立 證法二 當 a 1 時 1 ln 1 1 n f xx x 當 x 2 時 對任意的正整數(shù) n 恒有 1 1 1 nx 故只需證明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 則 12 1 11 x h x xx 當 x 2 時 0 故 h x 在上單調(diào)遞增 h x 2 因此 當 x 2 時 h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 當 x 2 時 有 x 1 1 ln 1 1 n x x 7 18 即 f x x 1 3 解 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得極值 方程必須有解 xf 2 210axbx 所以 即 此時方程的根為 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 當時 0 a x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù) 所以在 x 1 x2處分別取得極大值和極小值 xf 當時 0 a x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù) 所以在 x 1 x2處分別取得極大值和極小值 xf 綜上 當滿足時 取得極值 ba 2 ba xf 2 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增 需使在上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 設(shè) 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 8 18 當時 當時 單調(diào)增函數(shù) 1 a 1 01 a 1 0 x a 0g x 1 22 ax g x x 當時 單調(diào)減函數(shù) 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以當時 取得最大 最大值為 1 x a g x 1 ga a 所以ba 當時 此時在區(qū)間恒成立 所以在區(qū)間01a 1 1 a 0g x 0 1 1 22 ax g x x 上單調(diào)遞增 當時最大 最大值為 所以 0 1 1x g x 1 1 2 a g 1 2 a b 綜上 當時 當時 1 aba 01a 1 2 a b 4 D 5 解 當 1xfa時 0 1 2 ln x x xx 所以 2 2 2 0 xx x x xf 因此 12 f 即 曲線 1 2 2 處的切線斜率為 在點 fxfy 又 22ln 2 f 所以曲線 0 2ln 2 22 ln 2 2 yx xyfxfy 即 處的切線方程為 在點 因為 1 1 ln x a axxxf 所以 2 11 x a a x xf 2 2 1 x axax 0 x 令 1 2 axaxxg 0 x 1 當0 1 0 ah xxx 時 9 18 所以 當 函數(shù)單調(diào)遞減 0 1 0 0 xh xfx 時此時 f x 當時 此時單調(diào)遞 1 x 0h x 0 fx 函數(shù)f x 2 當0a 時 由f x 0 即 解得 2 10axxa 12 1 1 1xx a 當時 恒成立 1 2 a 12 0 xx h x 此時 函數(shù)在 0 上單調(diào)遞減 0fx f x 當 11 0 110 2 a a 時 時 單調(diào)遞減 0 1 x 0 0 h xfxf x 此時函數(shù) 時 單調(diào)遞增 1 1 1 x a 0 0 h xfxf x 此時函數(shù) 此時 0fx 函數(shù) f x單調(diào)遞減 1 1 0 xh x a 時 當時 由于0a 1 10 a 時 此時 函數(shù)單調(diào)遞減 0 1 x 0h x 0fx f x 時 此時 函數(shù)單調(diào)遞增 1 x 0h x 0fx f x 綜上所述 當時 函數(shù)在 上單調(diào)遞減 0a f x 函數(shù)在 上單調(diào)遞增 f x 當時 函數(shù)在 0 上單調(diào)遞減 1 2 a f x 當時 函數(shù)在 0 1 上單調(diào)遞減 1 0 2 a f x 函數(shù)在上單調(diào)遞增 f x 1 1 1 a 函數(shù)上單調(diào)遞減 1 1 f x a 在 6 2 解析 23a 23 log1loglog a aaa 34 b a 3 1logab 的零點在 2 3 上 n 2 log x a g xbx 7 1 設(shè)容器的容積為 V 10 18 由題意知 又 23 4 3 Vr lr 80 3 V 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于 2lr 因此 02r 所以建造費用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02ycrr r 2 由 1 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于 所以 3c 20c 當 時 3 20 0 2 r c 3 20 2 r c 令 則 3 20 2 rm c 0m 所以 22 2 8 2 c yrmrrmm r 當即時 02m 9 2 c 當時 rm 0y 當時 0 rm 0y 當時 2 rm 0y 所以 是函數(shù)的極小值點 也是最小值點 rm y 當即時2m 9 3 2 c 當時 函數(shù)單調(diào)遞減 0 2 r 0y 所以 是函數(shù)的最小值點 2r y 綜上所述 當時 建造費用最小時 9 3 2 c 2r 當時 建造費用最小時 9 2 c 3 20 2 r c 8 C 9 B 解析 曲線在點處的切線的傾斜角 2 1 32 1 x yxky 3 24yxx 13 11 18 選擇 B 0 45 10 解 1 求導 32 1f xxaxx 2 321fxxax 當時 在上遞增 2 3a 0 0fx f xR 當 由求得兩根為 2 3a 0fx 2 3 3 aa x 即在遞增 遞減 f x 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 遞增 2 3 3 aa 2 法一 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) 遞 f x 21 33 22 33 33 aaaa 減 且 解得 2 2 32 33 31 33 aa aa 2 3a 2a 2 2 21 3x 2ax 10 33 g x 3x 2ax 1 242 7g 32a 10 a 393 a24 111 a2g 32a 10 393 a 2 法二 只需在區(qū)間 恒成立即可 令 只需 的取值范圍為 11 解 I w w w k s 5 u c o m 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由知 當時 故在區(qū)間是增函數(shù) 1 a2 x0 x f xf 2 當時 故在區(qū)間是減函數(shù) ax22 0 x f xf 2 2 a 當時 故在區(qū)間是增函數(shù) ax2 0 x f xf 2 a 綜上 當時 在區(qū)間和是增函數(shù) 在區(qū)間是1 a xf 2 2 a 2 2 a 減函數(shù) II 由 I 知 當時 在或處取得最小值 0 x xfax2 0 x 12 18 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假設(shè)知w w w k s 5 u c o m 即 解得 1 a 6 0 0 0 2 1 f af a 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 故的取值范圍是 1 6 a 12 解 設(shè)切點 則 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa 故答案選 B 000 10 12xayxa 13 解 由題意知方程有兩個根 2 363fxxbxc 0fx 12 xx 則有 1 10 x 且 2 1 2 x 10f 故有 00 f 1020ff 210 0 210 440 bc c bc bc 右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區(qū)域 b c II 這一問考生不易得分 有一定的區(qū)分度 主要原 因是含字母較多 不易找到突破口 此題主要利用消 元的手段 消去目標中的 32 2222 33f xxbxcx 如果消會較繁瑣 再利用的范圍 并借助b c 2 x I 中的約束條件得進而求解 有較強的技巧性 2 0 c 解 由題意有 2 222 3630fxxbxc 13 18 又 32 2222 33f xxbxcx 消去可得 b 3 222 13 22 c f xxx 又 且 2 1 2 x 2 0 c 2 1 10 2 f x 14 B 解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切線方程為 即 故選 B 1 1 yx 20 xy 15 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 其對稱軸為 由題意知是方程的兩個均 2 22g xxxa 1 2 x 12 xx 0g x 大于的不相等的實根 其充要條件為 得1 480 1 0 a ga 1 0 2 a 當時 在內(nèi)為增函數(shù) 1 1 xx 0 fxf x 1 1 x 當時 在內(nèi)為減函數(shù) 12 xx x 0 fxf x 12 x x 當時 在內(nèi)為增函數(shù) 2 xx 0 fxf x 2 x II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 設(shè) 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 則 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 當時 在單調(diào)遞增 1 0 2 x 0 h xh x 1 0 2 當時 在單調(diào)遞減 0 x 0h x h x 0 111 2ln2 0 224 xh xh 當時 故 22 1 22 4 In f xh x 16 解 I 2 4 1 331 fxxaxax 14 18 當時 在內(nèi)單調(diào)遞減 在內(nèi)單調(diào)遞 1 6 a 2 221 fxxx f x 2 2 增 在時有極小值 所以 是的極小值 2x f x 2 12f f x II 在上單調(diào)遞增當且僅當即 1 1 f x 2 4 1 331 0fxxaxax 2 3310 axax 1 當時恒成立 0a 2 當時成立 當且僅當解得0a 2 3131 10 aa 1 6 a 3 當時成立 即成立 當且僅當0a 2 1 0 24 31 3 a a x 0 4 3 1 a 解得 4 3 a 綜上 的取值范圍是 a 4 1 3 6 17 A 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切線 10 xy 1b 18 當 a 2 時 32 631 3 23 23 f xxxxfxxx 當時在單調(diào)增加 23 x 0 fxf x 23 當時在單調(diào)減少 23 23 x 0 fxf x 23 23 當時在單調(diào)增加 23 x 0 fxf x 23 綜上所述 的單調(diào)遞增區(qū)間是和 f x 23 23 的單調(diào)遞減區(qū)間是 f x 23 23 22 3 1 fxxaa 當時 為增函數(shù) 故無極值點 2 10a 0 fxf x f x 當時 有兩個根 2 10a 0fx 22 12 1 1xaaxaa 由題意知 22 213 213aaaa 或 15 18 式無解 式的解為 55 43 a 因此的取值范圍是 a 5 5 4 3 19 解 11 ln1ln x fxxx x ln1xfxxx 題設(shè)等價于 2 1xfxxax ln xxa 令 則 lng xxx 1 1g x x 當 當時 是的最大值點 01x 0g x 1x 0g x 1x g x 1 1g xg 綜上 的取值范圍是 a 1 由 知 即 1 1g xg ln1 0 xx 當時 01x 1 ln1ln ln1 0f xxxxxxxx 當時 1x ln ln1 f xxxxx 1 ln ln1 xxx x 11 ln ln1 xx xx 0 所以 1 0 xf x 20 解 I 當時 1 x 當且僅當 1 x x xf 1xe x 令 2 分 1 1 xx exgxexg則 當 是增函數(shù) 0 0 xgx時 0 在xg 當是減函數(shù) 0 0 0 在時xgxgx 16 18 于是在 x 0 處達到最小值 因而當時 xgRx 1 0 xegxg x 即 所以當 6 分 1 1 x x xfx時 II 由題設(shè) 0 0 xfx此時 當不成立 1 0 1 1 0 ax x xf ax x a xa則若時 當則 xxfxaxfxha 令時 當且令當 1 ax x xf 0 xh 1 xfaxxaxfxaf xfxafxafxh 8 分 i 當時 由 I 知 2 1 0 a 1 xfxx 1 xfxfxaxaxfxafxh 0 12 xfa 是減函數(shù) 10 分 0 在xh 1 0 0 ax x xfhxh即 ii 當時 由 I