高數(shù)極限習(xí)題

習(xí)題課 第一章 1 填空題 填 存在 或 不存在 解 函數(shù)y 2x的圖形如圖所示 不存在 從而可以填出答案 其中題 5 的右極限由題 3 知不存在 2 判斷題 原因 3 若 1 存在 且 則 因?yàn)?正解 的極限不存在 因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí) x為無(wú)窮小 是有界函數(shù) 所以 仍是無(wú)窮小 從而 2 判斷題 原因 3 若 2 存在 且 則 分開(kāi)求和的極限只對(duì)有限項(xiàng)成立 正解 2 判斷題 原因 3 若 3 存在 且 則 3 設(shè) 解 1 求單側(cè)極限 1 3 和 2 是否存在 是否存在 2 由 1 知 故 不存在 3 存在 因?yàn)?4 設(shè) 解 1 用10的方冪表示xn 1 2 求 2 0 9999 0 9999 n x 1 2 3 4 6 7 8 9 求下列極限 5 10 5 設(shè)下列極限 解 1 2 3 4 注意到當(dāng)x 0時(shí) x為無(wú)窮小 為有界函數(shù) 所以 5 6 注意到當(dāng)x 0時(shí) sinx x ln 1 4x 4x 所以 原式 6 判斷下列函數(shù)是否有間斷點(diǎn) 若有 指出其間斷點(diǎn) 并 解 1 判斷其類型 當(dāng)x 1 時(shí) f x 無(wú)定義 所以 是f x 的 間斷點(diǎn) 因?yàn)?所以x 1為f x 的第一類間斷點(diǎn) 且是可去間斷點(diǎn) 因?yàn)?所以 且是無(wú)窮間斷點(diǎn) 為f x 的第二類間斷點(diǎn) 2 當(dāng)sinx 0 即 時(shí) f x 無(wú)定義 所以 是f x 的間斷點(diǎn) 因?yàn)?所以x 0 k取0 為f x 的第一類間斷點(diǎn) 且是可去間斷點(diǎn) 因?yàn)楫?dāng)k 0時(shí) 所以 且是無(wú)窮間斷點(diǎn) 為f x 的 第二類間斷點(diǎn) 3 因?yàn)?所以x 0為f x 的第二類間斷點(diǎn) 且是振蕩間斷點(diǎn) 不存在 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 的值在0與1之間無(wú)限次振蕩 4 因?yàn)楫?dāng)x 3時(shí) f x x2 所以當(dāng)x 3時(shí) f x 為連續(xù)函數(shù) 同樣 下面討論x 3時(shí)的情況 當(dāng)x 3時(shí) f x x 6也是連續(xù)函數(shù) 無(wú)間 因?yàn)?所以 故f x 在x 3處連續(xù) 綜上所述 函數(shù)f x 無(wú)間斷點(diǎn) 在 內(nèi)連續(xù) 無(wú)間斷點(diǎn) 斷點(diǎn) 7 設(shè)a 0 且 解 要使f x 在x 0處連續(xù) 則 即 故當(dāng)a 1時(shí) f x 在x 0處連續(xù) 當(dāng)a取何值時(shí) f x 在x 0處連續(xù) 得 8 設(shè)函數(shù)f x 在x 2處連續(xù) 且f 2 3 求 解 所以 又因?yàn)?因?yàn)閒 x 在x 2處連續(xù) 且f 2 3 所以 9 至少有一個(gè)小于1的正根 證 證明方程 令 且 根據(jù)介值定理的推論 也稱為零點(diǎn)定理 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 在開(kāi)區(qū)間 0 1 顯然f x 在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 使 即 亦即 所以方程 至少有一個(gè)小于1的正根 一 選擇題 A 偶函數(shù) B 奇函數(shù) C 非奇非偶函數(shù)D 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 1 函數(shù) 是 下列極限計(jì)算正確的是 2 A 2 B 1 C 0 D 3 3 A x B 1 C 0 D 3 4 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 二 求極限 三 判斷下列函數(shù)是否有間斷點(diǎn) 若有 指出其間斷點(diǎn) 并 判斷其類型 四 設(shè)a 0 且