理論力學(xué)(周衍柏)習(xí)題答案,第五章.doc

第五章習(xí)題解答5.1解 如題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：即mgy =0變換方程y=2rcossin-= rsin2故代回式即因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-=0又由于 cos=故cos2= 代回式得5.2解 如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數(shù)為1，故。得由虛功原理 故因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故又由 得： 由可得5.3解 如題5.3.1圖，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動(dòng)力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選為廣義坐。由虛功原理：w又取變分得代入式得：化簡(jiǎn)得設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得5.4解 自由度，質(zhì)點(diǎn)位置為。由由已知得故約束方程聯(lián)立可求得或 又由于故或5.5解 如題5.5.1圖 按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)橐阎?，故可認(rèn)為自由度為1.選廣義坐標(biāo)，在球面坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：由于所以又由于故取Ox為零勢(shì)，體系勢(shì)能為：故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：5.6解 如題5.6.1圖.平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程在廣義力代入得：在極坐標(biāo)系下：故 將以上各式代入式得5.7解 如題5.7.1圖又由于所以取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面 拉氏函數(shù)代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如圖5.8.1圖.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能取初始水平面為零勢(shì)能面，勢(shì)能:拉氏函數(shù)(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.特解為故式的通解為在時(shí)： 聯(lián)立得將代回式可得方程的解為：5.9解 如題5.9.1圖.（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)，.（3）在柱坐標(biāo)系中：以面為零勢(shì)能面，則：拉氏函數(shù)-（4）因?yàn)椴伙@含，所以為循環(huán)坐標(biāo)，即常數(shù)對(duì)另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程有得所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（為常數(shù)）所以5.10解如題5.10.1圖.（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)（3）質(zhì)點(diǎn)的速度劈的速度故體系動(dòng)能以面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：其中為劈勢(shì)能.拉氏函數(shù)（4）代入拉格郎日方程得：代入拉格郎日方程得聯(lián)立，得5.11 解 如題5.11.1圖（1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度（2）選取廣義坐標(biāo)（3）根據(jù)剛體力學(xué)其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)(4)代入保守系拉氏方程得：對(duì)于物體，有5.12解 如題5.12.1圖. （1）棒作平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束，故自由度.（2）選廣義坐標(biāo)（3）力學(xué)體系的動(dòng)能根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成又故設(shè)為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入得動(dòng)能（4）由（其中）則因?yàn)?、在約束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：（5）代入一般形式的拉氏方程得：又代入一般形式的拉氏方程得：、兩式為運(yùn)動(dòng)微分方程（6）若擺動(dòng)角很小，則，代入式得：，代入式得：又故代入式得：（因?yàn)榻呛苄?，故可略去?xiàng)）5.13解 如題5.13.1圖(1)由于曲柄長(zhǎng)度固定，自由度.(2)選廣義坐標(biāo)，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：(3)系統(tǒng)動(dòng)能（4）由定義式（5）代入得：得5.14.解 如題5.14.1圖. （1）因體系作平面平行運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束方程：(2)體系自由度，選廣義坐標(biāo).雖有摩擦，但不做功，為保守體系（3）體系動(dòng)能：輪平動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心動(dòng)能輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.以地面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能則保守系的拉氏函數(shù)(1)因?yàn)椴伙@含，得知為循環(huán)坐標(biāo).故=常數(shù)開(kāi)始時(shí)：則代入得又時(shí)，所以5.15解 如題5.15.1圖（1）本系統(tǒng)作平面平行運(yùn)動(dòng)，干限制在球殼內(nèi)運(yùn)動(dòng)，自由度；選廣義坐標(biāo)，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明（2）體系動(dòng)能=球殼質(zhì)心動(dòng)能+球殼轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+桿質(zhì)心動(dòng)能+桿繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能其中代入得以地面為零勢(shì)面，則勢(shì)能：（其中為常數(shù)）(3)因?yàn)槭茄h(huán)坐標(biāo)，故常熟而代入式得聯(lián)立、可得（先由式兩邊求導(dǎo)，再與式聯(lián)立）試乘并積分得：又由于當(dāng)5.16解 如題圖5.16.1.（1）由已知條件可得系統(tǒng)自由度.（2）取廣義坐標(biāo).（3）根據(jù)剛體力學(xué)，體系動(dòng)能：又將以上各式代入式得：設(shè)原點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，所以體系勢(shì)能體系的拉氏函數(shù)(1)因?yàn)轶w系只有重力勢(shì)能做工，因而為保守系，故可采用代入式得即（5）解方程得5.17解 如題5.17.1圖（1）由題設(shè)知系統(tǒng)動(dòng)能取軸為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢(shì)能拉氏函數(shù)（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即同理又代入上式得令代入式得：欲使有非零解，則須有解得周期5.18解 如題5.18.1圖（1）系統(tǒng)自由度（2）取廣義坐標(biāo)廣義速度（3）因?yàn)槭俏⒄饎?dòng)，體系動(dòng)能：以為勢(shì)能零點(diǎn)，體系勢(shì)能拉氏函數(shù)（4）即同理同理設(shè)代入式得欲使有非零解，必須解之又故可得周期5.19解 如題5.19.1圖（1）體系自由度（2）取廣義坐標(biāo)廣義速度（3）體系動(dòng)能體系勢(shì)能體系的拉氏函數(shù)（4）體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用將以上各式代入式得：先求齊次方程設(shè)代入式得要使有非零，必須即又故通解為：其中又存在特解有式可得式中及為積分常數(shù)。5.20解：以速度我廣義速度，根據(jù)定義根據(jù)公式（5.5.10）又有得5.21解 取在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的速度為廣義速度，則在固定坐標(biāo)系中的速度：，自由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，設(shè)質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能為，則質(zhì)點(diǎn)的拉氏函數(shù)根據(jù)定義：在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中：上式中為質(zhì)點(diǎn)的位矢，為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的速度。5.22解：取在廣義坐標(biāo)根據(jù)教材（3.9.21）和（3.9.19）式得動(dòng)能：勢(shì)能：根據(jù)定義式故因?yàn)樗詾榈谝环e分.又故得為第二個(gè)第一積分.同理即得為第三個(gè)第一積分.5.23解如題5.23.1圖, 由5.6題解得小球的動(dòng)能根據(jù)定義得根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入式后可求得:由正則方程得:代入得整理得24. 5.24 如題5.24.1圖, 小球的位置可由確定,故自由度選廣義坐標(biāo),廣義速度.小球動(dòng)能又由式得設(shè)小球勢(shì)能為V,取固定圓球中心O為零勢(shì)點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)=根據(jù)定義有根據(jù)正則方程對(duì)式兩邊求時(shí)間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度5.25解根據(jù)第二章2.3的公式有：根據(jù)泊松括號(hào)的定義：所以同理可知：, 由得：同理可得：, 5.26解 由題5.25可知的表達(dá)式因?yàn)楣释砜汕蟮茫杭?.27證取廣義坐標(biāo)因?yàn)橛忠驗(yàn)樗?.28解 如題5.28.1圖(1)小環(huán)的位置可以由角唯一確定，因此體系的自由度，取廣義坐標(biāo)，廣義速度。小球的動(dòng)能：以為勢(shì)能零點(diǎn)，則小環(huán)勢(shì)能 所以拉氏函數(shù) （2）由哈密頓原理故所以又由于所以因?yàn)槭侨我獾?，所以有被積式為0，即化簡(jiǎn)得5.29解 參考5.23題，設(shè)，體系的拉氏函數(shù)根據(jù)哈密頓原理故因?yàn)樗杂忠驗(yàn)橐驗(yàn)槭侨我獾?，所以?.30解 如題5.30.1圖，復(fù)擺位置可由角度唯一確定，自由度，取廣義坐標(biāo)，設(shè)為復(fù)擺重心與懸點(diǎn)之間的距離。復(fù)擺的動(dòng)能：取為勢(shì)能零點(diǎn)，則勢(shì)能：復(fù)擺的拉氏量：由哈密頓原： 故又因?yàn)橐驗(yàn)榈娜我庑运杂校?根據(jù)已知很小，可求得：其中為初相位。周期5.31解如題5.31.1圖，參考題5.9，體系拉