海南高中新課程選修22教學(xué)指導(dǎo)新課標(biāo)

海南省2006年高中新課程選修2-2教學(xué)指導(dǎo)http:/www.DearEDU.com導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（約24課時(shí)）一、知識(shí)要求與變化1、整體定位標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的整體定位如下：“微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本模塊中，學(xué)生將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值?！睘榱烁玫乩斫庹w定位，需要明確以下幾個(gè)方面的問題：（1）要防止將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和價(jià)值。由于在中學(xué)階段，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)極限，而導(dǎo)數(shù)又作為一種特殊的極限，我們?nèi)绾翁幚磉@部分內(nèi)容呢？導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在編排上更側(cè)重于思想和概念的本質(zhì)，不能把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是通過實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例膨脹率、加速度、增長(zhǎng)率等實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)的概念，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)和理解。對(duì)于定積分，也是通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景，借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算不宜要求過高由于沒有學(xué)習(xí)極限，因此，我們不能過多地要求學(xué)生利用極限去求過于復(fù)雜的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。這里，只要求學(xué)生能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。（3）注重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和生活實(shí)踐中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般，最有效的工具。這里，我們要求學(xué)生能借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值。能初步利用定積分計(jì)算幾何中曲邊形的面積以及物理中變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和變力做功等基本問題。以及利用導(dǎo)數(shù)解諸如運(yùn)動(dòng)速度、物種繁殖、綠化面積增長(zhǎng)率等實(shí)際問題，以及利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題。（4）關(guān)注數(shù)學(xué)文化重視和學(xué)生一起收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。2、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。 通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的導(dǎo)數(shù)。 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 （4）生活中的優(yōu)化問題舉例。 例如，通過使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。 （5）定積分與微積分基本定理 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。 （6）數(shù)學(xué)文化收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“學(xué)生通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念?！钡囊笫请A段性要求，“體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。”的要求是終結(jié)性要求。3、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求的具體化和深廣度分析（1）如何理解“導(dǎo)數(shù)的概念及定積分的概念”由于在中學(xué)階段，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)極限，而導(dǎo)數(shù)和定積分又作為一種特殊的極限，如何處理這部分內(nèi)容呢？標(biāo)準(zhǔn)要求“通過實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例膨脹率、加速度、增長(zhǎng)率等實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)的概念，通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念?！崩纾喝藗儼l(fā)現(xiàn)，在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度H(單位：s)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系：H(t)=-4.9t+6.5t+10。運(yùn)動(dòng)員從高臺(tái)跳水時(shí)，從騰空到進(jìn)入水面的過程中，不同時(shí)刻的速度是不同的。假設(shè)t秒后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)地面的高度為H，在2秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度（瞬時(shí)速度）為多少？分析：該運(yùn)動(dòng)員在2秒內(nèi)到21秒（記為2，21）平均速度為同樣，可以計(jì)算出2，212，2001，的平均速度，也可以計(jì)算出199，2，1999，2的平均速度。列表如下：由此可以看出,當(dāng)時(shí)間間隔越來越小時(shí)，平均速度趨于一個(gè)常數(shù)，這一常數(shù)-13.1就可作為該運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的速度。（2）如何認(rèn)識(shí)“通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想”即要求理解數(shù)函數(shù)f(x)在x=x的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)圖象上經(jīng)過此點(diǎn)處切線的斜率這一幾何意義以及定積分可以用來求曲邊形的面積和直線運(yùn)動(dòng)物體的位移，不要求利用極限去計(jì)算導(dǎo)數(shù)和通過“分割、近似代替、求和、取極限”的過程求定積分。并且提高了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義認(rèn)識(shí)以及利用導(dǎo)數(shù)去解決問題的要求。 例如： 國(guó)家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測(cè)結(jié)果如圖所示。試問哪個(gè)企業(yè)治污效果好（其中W表示治污量）。圖2-2-1 在t處，雖然，然而，所以說在單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大，因此企業(yè)甲比企業(yè)乙略好一籌。 (3) 如何認(rèn)識(shí) “導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算”由于沒有學(xué)習(xí)極限，因此，我們不能過多地要求學(xué)生利用極限去求過于復(fù)雜的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。在處理導(dǎo)數(shù)的計(jì)算時(shí)，首先是對(duì)于幾個(gè)常見的函數(shù)“y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=”，用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，然后直接給出其他基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，要求“利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來計(jì)算導(dǎo)數(shù)”，特別指出“要避免過量的形式化運(yùn)算練習(xí)”，當(dāng)然，與選修11比較，這里要求略有提高，增加了求復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。我們以下列三個(gè)例子作說明。例如：求函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)解：因?yàn)?= =2x+x所以 例如：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求函數(shù)y=x-2x+3的導(dǎo)數(shù)解：因?yàn)?=3x-2所以函數(shù)y=x-2x+3的導(dǎo)數(shù)是3x-2例如：求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)解：函數(shù)y=可以看作函數(shù)y=和u=-0.05x+1的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有： = =-0.05e =-0.05（4）如何認(rèn)識(shí)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”首先要注意導(dǎo)數(shù)作為一種通法的意義和作用，與初等方法相比較，導(dǎo)數(shù)能處理一般函數(shù)極值問題。但在中學(xué)階段，這種要求不宜過高，標(biāo)準(zhǔn)中要求“借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值”。其次導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具，應(yīng)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值：例如：有一張半徑為R的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)形區(qū)域。（）是不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？（）r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量？（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）分析：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù) 由于磁道之間的寬度必須大于m，而且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，所以磁道數(shù)最多可達(dá)，每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)，所以，磁盤總存儲(chǔ)量f(r)= =（）f(r)是關(guān)于r的一元二次函數(shù)，所以，并非r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大。（）f(r)=,令f(r)=0，得r=。 因此，當(dāng)r0; 當(dāng)r時(shí)，f(r)0.所以，當(dāng)r=時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量，最大存儲(chǔ)量為（5）如何認(rèn)識(shí)“直觀了解定積分與微積分基本定理”這里，一個(gè)突出的問題也是：沒有學(xué)習(xí)極限，如何推導(dǎo)微積分基本定理？課標(biāo)中是通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。例如：一個(gè)物體依照ss（t）規(guī)律在直線上運(yùn)動(dòng)，我們已經(jīng)知道，其在某一時(shí)刻的t0運(yùn)動(dòng)速度v（t0）（即瞬時(shí)速度或瞬時(shí)變化率）為ss（t）在t0時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即。你能分別用s（t）和v（t）表示物體在ta到tb之間位置總變化嗎？我們把區(qū)間atb分割成個(gè)小區(qū)間，不妨假設(shè)小區(qū)間的長(zhǎng)度相等，其長(zhǎng)度為t。對(duì)每一個(gè)小區(qū)間，我們假設(shè)s（t）的變化率近似為某一常量，于是我們可以說ss(t)的變化率時(shí)間在第一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，即從t0到t1，假設(shè)s（t）的變化率近似地為s（t0），于是有同樣，在第二個(gè)小區(qū)間，即從t1到t2，假設(shè)s（t）的變化率近似地為s（t1），因此有等等。把所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到我們可以把s（t）在t0a到tnb之間位置的總變化寫成s（b）s（a）。另一方面，當(dāng)分割無限加細(xì)，n趨于無限時(shí)，和式的極限就是定積分或，也就是s（t）在ta到tb之間位置的總變化。于是，我們可得到以下結(jié)論：也就是說，變化率的定積分給出了總的變化。特別地，當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，即v（t）v時(shí)，當(dāng)物體作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，即v（t）at（其中a是常數(shù)）時(shí)，一般地，如果f（t）是連續(xù)函數(shù)，并且f（t）F（t），那么這就是微積分基本定理。這里給出的并不是非常嚴(yán)格的證明，但是，它反映了微積分基本定理的基本思想，反映了微分（導(dǎo)數(shù)）與積分的聯(lián)系。（6）如何認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)文化”標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置了“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！焙汀皵?shù)學(xué)文化”等新的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在教學(xué)中，我們把這些活動(dòng)恰當(dāng)?shù)卮┎灏才旁谟嘘P(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，并注意提供相關(guān)的推薦課題、背景材料和示范案例，幫助學(xué)生設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，完成課題作業(yè)或?qū)ｎ}總結(jié)報(bào)告。例如：在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中，可以準(zhǔn)備圖形技術(shù)及其應(yīng)用和曲邊梯形的面積等兩次信息技術(shù)應(yīng)用，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)習(xí)的知識(shí)，利用計(jì)數(shù)器、計(jì)算機(jī)軟件的強(qiáng)大的圖形技術(shù)，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行直觀驗(yàn)證，幫助學(xué)生提高獲取技能和經(jīng)驗(yàn)的能力，提高思維能力和理解能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性；介紹了牛頓法用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解，使學(xué)生從文化鑒賞的角度去了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)客觀世界的過程及研究數(shù)學(xué)的方法；安排一次實(shí)習(xí)作業(yè)走進(jìn)微積分，使學(xué)生了解微積分創(chuàng)立的背景、過程、歷史意義、應(yīng)用和其在數(shù)學(xué)思想史及科學(xué)思想史上的價(jià)值。這樣安排，是希望學(xué)生從文化的角度了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，開闊視野，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。 4、教學(xué)要求（1）、課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱的對(duì)比說明標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容與要求大綱的教學(xué)目標(biāo)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x（m為有理數(shù)）,sinx, cosx, e,a, lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。（dy=ydx），了解函數(shù)在一點(diǎn)處的微分是函數(shù)增量的線性近似值，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的微分。導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。會(huì)從幾何直觀了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。生活中的優(yōu)化問題舉例例如，通過使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。定積分與微積分基本定理通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。了解定積分概念的某些實(shí)際背景（如變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，曲邊梯形的面積等）；了解定積分的定義和定積分的幾何意義；知道函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件。理解定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)（線性性質(zhì)和對(duì)區(qū)間的可加性）；了解微積分基本公式（牛頓-萊布尼茲公式），會(huì)用它來求一些函數(shù)的定積分。掌握原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的線性性質(zhì)；熟記基本積分公式（c,xm（m為有理數(shù)）,sin x, cosx,e,a的積分）；會(huì)利用線性性質(zhì)和基本積分公式求較簡(jiǎn)單的函數(shù)的不定積分。會(huì)用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力所作的功。通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。數(shù)學(xué)文化收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)學(xué)文化”的要求。通過微積分初步的教學(xué)，了解微積分學(xué)產(chǎn)生的時(shí)代背景和歷史意義，進(jìn)行客觀事物相互制約、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系等觀點(diǎn)的教育。在具體內(nèi)容要求上，標(biāo)準(zhǔn)與大綱的區(qū)別：標(biāo)準(zhǔn)中這部分內(nèi)容是選修內(nèi)容，大綱要求為必修內(nèi)容。標(biāo)準(zhǔn)中是在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)極限的情況下，“通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)”，而大綱中，理科學(xué)生是已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限，進(jìn)而學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)。因此，要注意新課程在內(nèi)容上變化而帶來教學(xué)上的變化。與大綱相比，標(biāo)準(zhǔn)中減少了“函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，微分。”等知識(shí)點(diǎn)，增加了“生活中的優(yōu)化問題舉例，數(shù)學(xué)文化?！钡葍?nèi)容（2）教學(xué)要求善于創(chuàng)設(shè)情景，合理選取素材為了幫助學(xué)生構(gòu)建和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)上必須根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況關(guān)注學(xué)生的感受、體驗(yàn)和思考。積極鼓勵(lì)學(xué)生的情感參與、思維參與、和行為參與，通過同化和順應(yīng)等心理活動(dòng)和變化，使學(xué)生不斷構(gòu)建和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中成分。例如，在變化率與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，要根據(jù)具體情況，多創(chuàng)設(shè)了一些具體情景，如氣球膨脹率、國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、溫度的瞬時(shí)變化率等問題，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)變化率，認(rèn)識(shí)平均變化率和瞬時(shí)變化率的區(qū)別和聯(lián)系，理解導(dǎo)數(shù)就是對(duì)事物變化快慢的一種描述，進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性和解決極大極小、最大最小以及生活中優(yōu)化問題。按照這種思路教學(xué)，能充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生在理解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性的同時(shí)，也能對(duì)極限思想有更深的認(rèn)識(shí)，為他們將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它形式的極限和理解極限的理論做一定的鋪墊。重視知識(shí)間的聯(lián)系，激勵(lì)學(xué)生探究數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系十分緊密，任何新知識(shí)或者因?yàn)槟撤N需要而產(chǎn)生，或者因?yàn)槟撤N需要，要將原有知識(shí)進(jìn)行延伸和發(fā)展。所以，任何新知識(shí)都有它的發(fā)生、形成和發(fā)展過程。教學(xué)中，如果壓縮掉這種過程，就知識(shí)教知識(shí)，那么學(xué)生只能得到零散的、孤立的知識(shí)，只知其然，而不知其所以然，只能是知識(shí)的積累，而不能使學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)充和改造。新課程重視知識(shí)的這種發(fā)生、形成和發(fā)展過程的教學(xué)，讓學(xué)生在積極參與的過程中，充分發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用，使知識(shí)很好地內(nèi)化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化。例如微積分基本定理，這里不需要非常嚴(yán)格的證明，而是通過具體的事例（變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），讓學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，它反映了微積分基本定理的基本思想，反映了微分（導(dǎo)數(shù)）與積分的聯(lián)系。淡化計(jì)算，重視應(yīng)用見前面的論述。滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)人文精神在教學(xué)中，我們把這些活動(dòng)恰當(dāng)?shù)卮┎灏才旁谟嘘P(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，并注意提供相關(guān)的推薦課題、背景材料和示范案例，幫助學(xué)生設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，完成課題作業(yè)或?qū)ｎ}總結(jié)報(bào)告。激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高學(xué)生的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：1、重點(diǎn)、難點(diǎn)的分析(1)重點(diǎn)和難點(diǎn)確定的依據(jù)：導(dǎo)數(shù)及微積分概念的引入，一般是通過極限來完成的，然而，建立比較系統(tǒng)的極限理論，在中學(xué)沒有必要，也會(huì)給高校教學(xué)帶來重復(fù)。因此，應(yīng)該防止將導(dǎo)數(shù)和微積分僅僅作為極限一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)需要涉及極限時(shí)，只要直觀認(rèn)識(shí)即可，而大學(xué)里還是從極限、連續(xù)性講起。這樣，中學(xué)的鋪墊，對(duì)大學(xué)的學(xué)習(xí)有利，同時(shí)也為不上大學(xué)的人提供進(jìn)一步認(rèn)識(shí)變量思想的機(jī)會(huì)，接受辯證唯物主義思想的熏陶。因此，在教學(xué)中需要將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。（2）導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用的重點(diǎn)和難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是微積分的核心概念之一，是對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的總結(jié)和拓展，也是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)的有力工具；同時(shí)導(dǎo)數(shù)來源于實(shí)際，又服務(wù)于實(shí)際，利用導(dǎo)數(shù)還可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的最優(yōu)化問題。因此導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其應(yīng)用是重點(diǎn)。由于導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率，而瞬時(shí)變化率又是借助于極限的思想來刻畫，學(xué)生對(duì)極限思想的認(rèn)識(shí)是初步的，這使得學(xué)生準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其豐富內(nèi)涵需要一個(gè)過程。同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建摸過程，這體現(xiàn)了與社會(huì)熱點(diǎn)、生產(chǎn)生活、科技前沿之間的聯(lián)系。因此對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解及導(dǎo)數(shù)思想方法的應(yīng)用，對(duì)定積分的定義、思想方法的認(rèn)識(shí)等是難點(diǎn)。2、重點(diǎn)、難點(diǎn)的教學(xué)案例為了說明我們?cè)诮虒W(xué)中突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我們收集了下列典型案例作說明（以人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著的教材數(shù)學(xué)選修22作為下列案例的說明對(duì)象）：導(dǎo)數(shù)的幾何意義課堂教學(xué)片段案例：?jiǎn)栴}問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)問題1：函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)的意義是什么？能否用圖象表示導(dǎo)數(shù)？讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)f（x）在處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù) f（x）在附近的變化情況。聯(lián)想瞬時(shí)變化率與直線斜率表達(dá)式的關(guān)系。師：提出問題1，板書導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。生：思考導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式的幾何意義。師：導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中有動(dòng)態(tài)的過程，如果讓它定格，會(huì)使我們聯(lián)想到哪些知識(shí)？問題2：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線f（x）趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？讓學(xué)生經(jīng)歷并發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想。師：利用電腦演示割線的動(dòng)態(tài)變化效果。生：觀察割線的變化趨勢(shì)。師：給出過點(diǎn)P的切線PT的定義，比較此處切線的定義與以前學(xué)過的切線的定義有什么不同？生：獨(dú)立思考與互相交流。師：比較割線與切線PT的斜率、，當(dāng)點(diǎn)無限接近點(diǎn)P時(shí)，能否解釋導(dǎo)數(shù)的幾何意義？問題3：怎樣理解在點(diǎn)P附近，曲線f（x）可以用過點(diǎn)p的切線PT近似代替？讓學(xué)生體會(huì)微積分中的思想方法以直代曲。師：聯(lián)想以前學(xué)過的用圓的內(nèi)接正多邊形面積逼近圓的面積的方法，數(shù)學(xué)中經(jīng)常用簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象。問題4：怎樣描述、比較已知曲線f（x）在某些點(diǎn)附近的變化情況？ 讓學(xué)生明確函數(shù)在某些點(diǎn)附近的變化情況實(shí)質(zhì)就是通過該點(diǎn)處的切線的斜率的變化（即導(dǎo)數(shù)的變化）來刻畫。生：閱讀例2，思考問題實(shí)質(zhì)。師：通過形數(shù)的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生思考切線的斜率的取值會(huì)使曲線有怎樣的升降變化以及升降快慢的情況？問題5：怎樣估計(jì)已知曲線f（x）上某些點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率？讓學(xué)生明確求瞬時(shí)變化率就是求導(dǎo)數(shù)，并加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的體會(huì)與理解。生：閱讀例3，思考問題的實(shí)質(zhì)。師：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義或定義自我總結(jié)求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的基本步驟，并給出導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）的定義。導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（一）課堂教學(xué)片段案例：?jiǎn)栴}問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)、問題1：運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？使學(xué)生從圖象上感知函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。師：投影跳水運(yùn)動(dòng)員的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)（）的圖象和運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)（）（即）的圖象。生：觀察兩個(gè)圖象的變化趨勢(shì)，思考問題。、由問題1，運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度（），即的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)（）的單調(diào)性，這種情況是否具有一般性呢？使學(xué)生通過自主探討得出一般的結(jié)論，培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力和合作精神。師：導(dǎo)數(shù)的幾何義意是什么？函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)有沒有聯(lián)系？生：小組合作探討四個(gè)函數(shù)（、）的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系。師：巡視釋疑、思考：從函數(shù)單調(diào)性定義的角度看，某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的平均變化率的幾何意義與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)有怎樣的關(guān)系呢？深化導(dǎo)數(shù)的幾何意義，使學(xué)生從數(shù)與形兩方面理解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)影響函數(shù)的單調(diào)性。生：嘗試對(duì)合作探討的結(jié)果敘述。師：補(bǔ)充說明利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的法則。師：根據(jù)這一結(jié)論能否由導(dǎo)函數(shù)的信息推測(cè)原函數(shù)的信息呢？、例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。使學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則的初步應(yīng)用，重視數(shù)與形的結(jié)合思想。師：在區(qū)間（，）上，因?yàn)?，所以的圖象單調(diào)遞減，請(qǐng)問在上的圖象單調(diào)性會(huì)怎樣？在上呢？生：完成練習(xí)中第題。注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。、例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）（2）（3）（4）使學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法判斷的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力與數(shù)形結(jié)合的思想。生：閱讀例的（）、（）小題，嘗試解決（）、（）、（）小題。師：能否根據(jù)判斷的結(jié)果畫出函數(shù)的大致圖象嗎？比較直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷的方法求解，你有何體會(huì)？師生共同總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（）求，（）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和（）根據(jù)（）的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。、例如圖（圖略）水以恒速注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象。讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)是形與數(shù)合為一體的重要的數(shù)學(xué)概念，隱含著數(shù)形結(jié)合的思想，是研究函數(shù)圖象性質(zhì)中和解決實(shí)際問題的有力工具。師：引導(dǎo)學(xué)生觀察容器的水的高度分別在開始、中間、最后階段高度增加的快慢。生：思考從函數(shù)圖象上怎樣看出水的高度增加的快慢？師：從導(dǎo)數(shù)的角度又怎樣解釋增加快慢的情況？師：總結(jié)函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢和這個(gè)范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小相關(guān)。定積分的概念課堂教學(xué)片段案例：?jiǎn)栴} 問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)、求曲邊梯形面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過程可分為哪幾步？讓學(xué)生了解定積分產(chǎn)生的背景，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生往往是為了解決實(shí)際問題。師：回放求曲邊梯形面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的演示過程。生：通過對(duì)比這兩個(gè)過程發(fā)現(xiàn)什么共同特點(diǎn)？、給出定積分的定義，記法，和各部分符號(hào)的含義。讓學(xué)生了解定積分的概念中隱含有“分割、近似代替、求和、取極限”這一思想。師：在幾何與物理中許多問題都可通過“分割、近似代替、求和、取極限”得到解決，你在定積分的定義中是否發(fā)現(xiàn)這種想法呢？3、例1 利用定積分的定義，計(jì)算的值。4、由定積分的定義推出定積分的性質(zhì)： =(3)(acb)加深學(xué)生對(duì)定積分概念的理解師：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用定積分的定義計(jì)算的步驟。生：嘗試根據(jù)定積分的定義獨(dú)立推導(dǎo)定積分的性質(zhì)。生：思考定積分是一個(gè)常數(shù)嗎？試說出它的幾何意義是什么？5、分析定積分的幾何意義：當(dāng)時(shí)，在圖形上體現(xiàn)為由直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。讓學(xué)生了解定積分的幾何意義。 生：思考在定積分的幾何意義中，為什么要限制呢？師：若時(shí)，的幾何意義是什么？、根據(jù)定積分的幾何意義，你能否用定積分表示下圖陰影部分的面積嗎？ xab圖2-2-2讓學(xué)生了解定積分的幾何意義的應(yīng)用。 師：請(qǐng)大家思考陰影部分的面積如何才能用定積分表示呢？也就是用曲邊梯形的面積表示陰影部分的面積？推理與證明（約8課時(shí)）一、知識(shí)要求與變化1、整體定位標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)推理與證明的整體定位如下：“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中，學(xué)生將通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。為了更好地理解整體定位，需要明確以下幾個(gè)方面的問題：(1)一般說來，歸納推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)真理的過程可用框圖表示如下：類比推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)真理的過程可用框圖表示如下：標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?！币簿褪且髮W(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實(shí)際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。 （2）對(duì)于“合情推理”和“演繹推理”，要通過具體實(shí)例理解合情推理與演繹推理，不追求對(duì)概念的抽象表述。模塊中設(shè)置的證明內(nèi)容是對(duì)學(xué)生已學(xué)過的基本證明方法的總結(jié)，標(biāo)準(zhǔn)要求僅限于“結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理”，因此，應(yīng)結(jié)合教材提供的具體實(shí)例組織教學(xué)，補(bǔ)充的實(shí)例也應(yīng)以“已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例”為準(zhǔn)，對(duì)證明的問題的難度也要加以控制。（3）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn).直接證明間接證明綜合法 分析法反證法思路過程見人教版教材P45的框圖見人教版教材P48的框圖否定之否定等于肯定特 點(diǎn)由因?qū)Ч?，即從已知看可知，再逐步推向未知由果索因，即從未知看需知，再逐步靠近已知否定結(jié)論；推理論證；導(dǎo)出矛盾；肯定結(jié)論標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；了解直接證明的兩種基本方法和間接證明的一種方法；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。”的要求是階段性要求，“體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣?！钡囊笫墙K結(jié)性要求。2、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求（1）合情推理與演繹推理了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理. 了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別. （2）直接證明與間接證明了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點(diǎn).了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn).（3）數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。（4）數(shù)學(xué)文化通過對(duì)實(shí)例的介紹（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律），體會(huì)公理化思想。介紹計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。3、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求的具體化和深廣度分析（1）如何認(rèn)識(shí)“了解合情推理的含義”對(duì)合情推理的含義的認(rèn)識(shí)是指通過對(duì)具體實(shí)例的推理過程的分析、體會(huì)，概括出合情推理的描述性定義和常用的歸納和類比的思維方法。例如：哥德巴赫把在數(shù)學(xué)研究中觀察到的3+7=10，3+17=20，13+17=30式子在形式上改寫成：10=3+7，20=3+17，30=13=17，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)，于是他產(chǎn)生了一個(gè)想法： 10，20，30都是偶數(shù)，那么其他的偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律呢？他進(jìn)行了特例的驗(yàn)證，概括出特例的規(guī)律特征，提出了猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這個(gè)猜想的提出過程就是運(yùn)用了經(jīng)歷由部分到整體、由個(gè)別到一般的歸納推理過程。又如：在研究球體時(shí)，類比圓，發(fā)現(xiàn)球存在一些與圓類似的特征（如都具有完美的對(duì)稱性，都是到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)集），因此我們推測(cè)對(duì)于圓的特征，球也可能具有。如由圓有切線推測(cè)球有切面等等。這種推理過程是由兩類對(duì)象所具有的類似特征，由其中一類對(duì)象具有的某些已知特征推測(cè)另一類對(duì)象也具有這些特征，是由特殊到特殊的類比推理過程。（2）如何認(rèn)識(shí)“能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理及體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”的含義“能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理”是指：對(duì)給定的具體問題，能夠通過計(jì)算、分析、比較、概括、推廣、歸納、觀察、推測(cè)、類比等手段或方法完成簡(jiǎn)單的推理。例如：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式?？梢韵雀鶕?jù)已知的遞推公式，算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)和序號(hào)的關(guān)系，找出規(guī)律和共同特點(diǎn)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式?！绑w會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”的含義是指體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問題的思路和方法的作用；例如歐拉公式的發(fā)現(xiàn)就是在探求凸多面體的面、頂點(diǎn)、棱之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)的。（3）如何認(rèn)識(shí)“體會(huì)演繹推理的重要性”的含義演繹推理具有證明結(jié)論，整理和建構(gòu)知識(shí)體系的作用，是公理體系中的基本推理方法，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。例如，牛頓在他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，以牛頓三定律為公理，運(yùn)用演繹推理推出關(guān)于天體空間的一系列科學(xué)理論，建立了牛頓力學(xué)的一整套完整的理論體系。（4）如何認(rèn)識(shí)“掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理”的含義演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。能夠運(yùn)用演繹推理的“三段論”的思維模式證明數(shù)學(xué)問題，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。例如：證明函數(shù)在上是增函數(shù)。大前提是增函數(shù)的定義，小前提是，滿足增函數(shù)的定義，于是根據(jù)演繹推理的“三段論”，得在上是增函數(shù)。（5）如何認(rèn)識(shí)“了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別”的含義歸納和類比是常用的合情推理。從推理形式上看，歸納是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理。從推理所得結(jié)論看，合情推理的結(jié)論僅是猜想，未必可靠，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。合情推理與演繹推理都是認(rèn)識(shí)世界的過程中需要的重要的思維方式，兩者緊密聯(lián)系、相輔相成。（6）如何認(rèn)識(shí)“了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點(diǎn).”的含義“了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點(diǎn)”是指通過實(shí)例，對(duì)已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的證明方法的思考過程與特點(diǎn)進(jìn)行分析與概括，即：綜合法是“順推證法或是由因?qū)Чā?，分析法是“逆推證法或執(zhí)果索因法”；并歸納出操作的流程框圖，使得在以后的學(xué)習(xí)和生活中能自覺地、有意識(shí)地運(yùn)用這些方法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。例如：已知，求證證明：，所以又因?yàn)樗砸虼嗽谶@個(gè)證明的過程中，就是利用已知條件、基本不等式（）和不等式性質(zhì)推導(dǎo)出結(jié)論的，這種證明思路是綜合法的證明思路。用P表示已知條件、已有定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，即可用框圖表示綜合法的證明思路為：。（7）如何認(rèn)識(shí)“了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn).”的含義“了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn).”是指要明白反證法的適用情形和使用的邏輯規(guī)則，特別是明確應(yīng)用逆向思維，推出與已知條件或假設(shè)或定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾是反證法的思考過程的特點(diǎn)。例如：在“求證是無理數(shù)”的證明中，直接證明是無理數(shù)較困難，可應(yīng)用逆向思維：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)，就可寫成形如的形式，從而。怎樣得出矛盾？考慮“是互質(zhì)的正整數(shù)”，通過奇偶數(shù)分析，因此，所以m為偶數(shù)，于是可設(shè)是正整數(shù)），從而有，即，所以n為偶數(shù)。這與m，n互質(zhì)矛盾。所以假設(shè)錯(cuò)誤，從而是無理數(shù)。（8）如何認(rèn)識(shí)“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題”的含義“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理”的含義是指了解數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍，明確數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟（“歸納奠基”和“歸納遞推”）的作用和用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，只有把兩個(gè)步驟的結(jié)論結(jié)合起來，才能判斷對(duì)所有自然數(shù)都成立，兩個(gè)步驟是缺一不可的?！澳苡脭?shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題”的含義是指正確使用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，特別是在第二步證明時(shí)，必須使用假設(shè)推出結(jié)論，即：由 “n=k時(shí)命題成立” “n=k+1時(shí)命題也成立”才能得出遞推關(guān)系，從而完成證明。例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步驟中：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。這里不是直接將n=k+1代入命題的， 而是由“n=k時(shí)命題成立”推出了“n=k+1時(shí)命題也成立”，得出遞推關(guān)系，從而完成證明的。（9）如何認(rèn)識(shí)“體會(huì)公理化思想” 的含義“體會(huì)公理化思想” 的含義是指通過介紹實(shí)例（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律），使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，體會(huì)公理化思想的發(fā)展及對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)、社會(huì)進(jìn)步等的作用，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。4、教學(xué)要求恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，促進(jìn)學(xué)生的自主探索。合情推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想，它是以數(shù)學(xué)中某些已知事實(shí)為基礎(chǔ)，通過選擇恰當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)結(jié)構(gòu)材料創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，促進(jìn)學(xué)生的自主探索。并盡量將學(xué)生所熟悉的知識(shí)，通過歸納、類比的思想，逐步推廣到未知的的知識(shí)領(lǐng)域。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，通過恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察；精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生思維；仔細(xì)設(shè)計(jì)問題，激發(fā)學(xué)生猜想；利用類比探討，加深知識(shí)理解；利用數(shù)學(xué)歸納，鞏固特殊到一般思維；利用演繹證題，揭露蘊(yùn)涵性質(zhì)等漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)和合情推理能力。圖2-2-4PEFD例：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。bBACac圖2-2-3考慮到直角三角形的兩邊互相垂直，所以我們選取有三個(gè)面兩兩垂直的四面體，作為直角三角形的類比對(duì)象。如上圖：讓學(xué)生分析比較：RtABC四面體P-DEF兩邊交成1個(gè)直角3個(gè)面在一個(gè)頂點(diǎn)處構(gòu)成3個(gè)直二面角直角邊a,b面DEF，F(xiàn)PD和DPE的面積S，S和S斜邊c面PEF的面積Sc=a+bS= S+ S+ S推測(cè)出結(jié)論：S= S+ S+ S再用綜合法證明。體現(xiàn)出由推理到證明探究的完整過程。教學(xué)中要讓學(xué)生感受探究的過程通過觀察問題和從問題發(fā)現(xiàn)到對(duì)問題解決的整個(gè)思維過程，讓學(xué)生真實(shí)地感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其它學(xué)科的創(chuàng)造過程是一樣的，它同樣需要經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、歸納結(jié)論，最后再加以嚴(yán)格證明的一個(gè)完整的歸納推理的思維過程例如：關(guān)于凸多面體的“歐拉公式”：任意凸多面體的頂點(diǎn)（V）、面（F）、棱（E）、之間有關(guān)系式：V+F-E=2的探究思路。數(shù)學(xué)家歐拉通過觀察一些特殊的多面體，在1750年發(fā)現(xiàn)了關(guān)于凸多面體的歐拉公式，后來又給出了證明。約在1635年數(shù)學(xué)家笛卡爾也早已發(fā)現(xiàn)了它，但由于笛卡爾的研究到1860年才被人們發(fā)現(xiàn)，所以這個(gè)定理就稱為歐拉公式。歸納推理過程：（1）若將立方體、三棱柱、五棱柱、四棱錐、三棱錐、五棱錐、八面體、塔頂體（正方體上放一個(gè)四棱錐、截角立方體），將每個(gè)多面體的面數(shù)（F）頂點(diǎn)數(shù)（V）棱數(shù)（E）數(shù)出來，并列成表多面體面數(shù)（F）頂點(diǎn)數(shù)（V）棱數(shù)（E）三棱錐446四棱錐558三棱柱569五棱柱6610立方體6812八面體8612五棱柱71015截角立方體71015塔頂體9916二十面體201230十二面體122030根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)運(yùn)用合情推理就可得出猜想：任意凸多面體的面、頂、棱數(shù)滿足V+F-E=2根據(jù)實(shí)際情況，再選擇是否和學(xué)生一起證明。重視數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生感受演繹推理，初步體會(huì)公理化方法中學(xué)數(shù)學(xué)教材基本是以演繹推理作為主要推理形式，運(yùn)用最普遍的是“三段論”式的結(jié)構(gòu)，它由兩個(gè)前提（分別稱之為大前提、小前提）和一個(gè)結(jié)論構(gòu)成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定義、性質(zhì)等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命題中給出的已知條件；結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)前提推出的判斷。其模式為：大前提：M是P小前提：S是M結(jié) 論: S是P盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題（公理、公設(shè)），以此為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用演繹推理，推出盡可能多的結(jié)論的方法，稱為公理化方法。為了讓學(xué)生初步體會(huì)公理化方法，在教學(xué)中一定要重視實(shí)例（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律）的作用，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，體會(huì)公理化思想的發(fā)展及對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)、社會(huì)進(jìn)步等的作用。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：1、重點(diǎn)、難點(diǎn)的分析(1)、重點(diǎn)和難點(diǎn)確定的依據(jù)：新課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，更加注意了反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。長(zhǎng)期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理，使人們誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理、四色問題等的發(fā)現(xiàn)。其它學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過合情推理、提出猜想、假說和假設(shè)，再經(jīng)過演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。因此，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力，而且要培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”也就是要求學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實(shí)際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。(2) 推理與證明的重點(diǎn)與難點(diǎn)推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，它的系統(tǒng)學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn)，是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納，并對(duì)后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)