江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)列推理與證明第38課直接證明與間接證明教師用書(shū).docx

第38課 直接證明與間接證明最新考綱內(nèi)容要求ABC分析法與綜合法反證法1直接證明(1)綜合法定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法框圖表示：思維過(guò)程：由因?qū)Ч?2)分析法定義：從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止這種證明方法常稱為分析法框圖表示：思維過(guò)程：執(zhí)果索因2間接證明(1)反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法(2)反證法的步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)綜合法的思維過(guò)程是由因?qū)Ч?，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾()(4)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程()答案(1)(2)(3)(4)2用反證法證明命題：“已知a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是_方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根“方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根”3要證明2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是_(填序號(hào))綜合法；分析法；反證法； 歸納法要證明b，則與的大小關(guān)系是_0，.5(教材改編)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_(kāi)三角形等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形綜合法如圖381所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求證：平面PAB平面PCD；(2)求三棱錐DPBC的體積圖381解(1)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA.因?yàn)镻APDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，所以PA平面PCD又PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OP，如圖因?yàn)镻APD，所以POAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.即PO為三棱錐PBCD的高，由PAPDAD，知OP1.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以SBCD222.所以V三棱錐DPBCV三棱錐PBCDPOSBCD12.規(guī)律方法綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書(shū)寫(xiě)，但要注意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設(shè)條件的正確運(yùn)用變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象在交點(diǎn)(0,0)處有公共切線(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)g(x). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172205】解(1)f(x)，g(x)bxx2，由題意得解得a0，b1.(2)證明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.所以h(x)在(1,0)上為增函數(shù)，在(0，)上為減函數(shù)h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).分析法已知a0，求證：a2.證明要證a2，只需要證2a.因?yàn)閍0，故只需要證22，即a244a2222，從而只需要證2，只需要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立規(guī)律方法1.當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法2分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性變式訓(xùn)練2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.反證法設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列規(guī)律方法用反證法證明問(wèn)題的步驟：(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立)變式訓(xùn)練3已知a1，求證三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172206】證明假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則a1.這與已知a1矛盾，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立思想與方法1綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運(yùn)用綜合法證明；或兩種方法交叉使用2反證法證題的實(shí)質(zhì)是證明它的逆否命題成立反證法證明的關(guān)鍵：準(zhǔn)確反設(shè)；從否定的結(jié)論正確推理；得出矛盾易錯(cuò)與防范1用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立2利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的課時(shí)分層訓(xùn)練(三十八)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1下列表述：綜合法是由因?qū)Ч?；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是逆推法；反證法是間接證法其中正確的個(gè)數(shù)有_(填序號(hào))由分析法、綜合法、反證法的定義知都正確2用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)的一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理實(shí)數(shù)根，則a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)下列假設(shè)中正確的是_(填序號(hào))假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)；假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)；假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)；假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)都沒(méi)有”，即假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)3若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172207】ac2abb2；.a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，即a2abb2.4分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證0; ac0；(ab)(ac)0; (ab)(ac)0.由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.5用反證法證明“若x210，則x1或x1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_x1且x1“x1或x1”的否定是“x1且x1”6設(shè)ab0，m，n，則m，n的大小關(guān)系是_mn法一(取特殊值法)：取a2，b1，得mn.法二(分析法)：a0，顯然成立7下列條件：ab0，ab0，b0，a0，b0，且0，即a，b不為0且同號(hào)即可，故有3個(gè)8設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x20，則f(x1)f(x2)_0.(填“”“”或“”) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172208】0，x1x2，又f(x)是奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，故f(x)在R上單調(diào)遞減，故f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，求證：2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立，只需證：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.12設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172209】解(1)證明：假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當(dāng)q1時(shí)，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1設(shè)x，y，z0，則三個(gè)數(shù)，_.(填序號(hào))都大于2; 至少有一個(gè)大于2；至少有一個(gè)不小于2; 至少有一個(gè)不大于2.因?yàn)閤0，y0，z0，所以6，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立，則三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.2如果A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形；A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形；A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形；A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形；由條件知，A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)A2B2C2是銳角三角形由得那么，A2B2C2，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾所以假設(shè)不成立，又顯然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是鈍角三角形3已知數(shù)列an滿足a1，且an1(nN)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnanan1(nN)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn0，所以Tn.4若f(x)的定義域?yàn)閍，