第九章拉普拉斯變換

.,第九章拉普拉斯變換TheLaplaceTransform,掌握拉氏變換定義及其基本性質(zhì)；牢記常用典型信號的拉氏變換；掌握運用拉氏變換分析LTI系統(tǒng)的方法；掌握系統(tǒng)的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模擬框圖、信號流圖、零極點+收斂域圖，以及它們之間的轉換。掌握采用單邊拉氏變換對初始狀態(tài)非零系統(tǒng)的分析方法。能應用拉氏變換分析具體電路。,.,9.0引言Introduction,連續(xù)時間對應的復頻域是用直角坐標表示的復數(shù)平面，簡稱為S平面或連續(xù)時間復頻域（s域）.,S平面上的每一個點s都代表一個復指數(shù)信號,整個S平面上所有的點代表了整個復指數(shù)信號集。,.,S平面,S平面上虛軸上的所有點代表整個周期復指數(shù)信號集,.,9.1拉氏變換TheLaplaceTransform,一個信號x(t)的拉氏變換定義如下：,記作：,或,.,幾個典型信號的拉氏變換,.,拉普拉斯變換的收斂域與零極點,收斂域：RegionofConvergence(ROC),一般把使積分收斂的s值的范圍稱之為拉普拉斯變換的收斂域，簡記為ROC。,.,.,零極點：PolesandZerosofX(s),只要x(t)是實指數(shù)或復指數(shù)信號的線性組合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：,N(s)和D(s)分別為分子多項式和分母多項式。,使N(s)=0的根為X(s)的零點，在s平面上用“o”表示。,使D(s)=0的根為X(s)的極點，在s平面上用“”表示。,.,例,請問：x(t)的傅立葉變換存在嗎?,.,9.2拉氏變換收斂域的性質(zhì)：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransform,性質(zhì)1:拉氏變換收斂域的形狀：,X(s)的ROC在s平面內(nèi)由平行于j軸的帶狀區(qū)域所組成。,.,性質(zhì)2：對有理拉氏變換來說，ROC內(nèi)不包括任何極點。,性質(zhì)3：如果x(t)是有限持續(xù)期，并且是絕對可積的，那么ROC就是整個s平面。,.,性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。,Res,.,性質(zhì)5：如果x(t)是左邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。,.,性質(zhì)6：如果x(t)是雙邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么ROC就一定是由s平面的一條帶狀區(qū)域所組成，直線位于帶中。,.,.,性質(zhì)7：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，那么它的ROC是被極點所界定或延伸到無限遠。,性質(zhì)8：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，若x(t)是右邊信號，則其ROC在s平面上位于最右邊極點的右邊；若x(t)是左邊信號，則其ROC在s平面上位于最左邊極點的左邊。,.,例,求其可能有的所有的收斂域,.,.,.,例：已知一絕對可積的信號x(t)有一個極點在s=2，回答以下問題：,（a)x(t)可能是有限持續(xù)期嗎？（b)x(t)是左邊的嗎？（c)x(t)是右邊的嗎？（d)x(t)是雙邊的嗎？,答案：(b)（d)可能,.,有限長時間信號,整個S平面,左邊時間信號,某一左半平面,右邊時間信號,某一右邊平面,雙邊時間信號,某一帶狀收斂區(qū)域,.,例：有多少個信號在其收斂域內(nèi)都有如下所示的拉氏變換：,.,例：,求其拉氏變換X(s)，并畫零極點圖以及收斂域。,解：,.,9.3拉氏反變換TheInverseLaplaceTransform,信號x(t)的拉氏變換為：,利用傅立葉反變換：,.,即可從拉氏變換中恢復x(t)：,兩邊同乘以,.,拉氏反變換公式表明：原函數(shù)x(t)可以由它們的像函數(shù)X(s)乘以復指數(shù)信號est后積分求得。,拉氏反變換公式的積分路徑是：收斂域內(nèi)平行于虛軸的一條自下而上的直線。,.,一、求解拉氏反變換的方法,1、留數(shù)定理；,2、由一些熟知的拉氏變換對，利用性質(zhì)，求得未知的拉氏變換，或它們的反變換。,3、對于有理形式拉氏變換，最常用的是部分分式展開法。,.,二、部分分式展開法求解拉氏反變換,思路：,單個單邊復指數(shù)信號的拉氏變換是一些簡單的有理函數(shù)，其收斂域也是單純的。,單邊實指數(shù)和復指數(shù)線性組合而成的信號，它們的拉氏變換一定是有理函數(shù)，其收斂域是每一項復指數(shù)分量相應的收斂域的交集。,.,部分分式展開的第一步是把分母D(s)進行因式分解，然后區(qū)分極點的類型，選擇求取待定系數(shù)的方法。,.,一、假設信號x(t)的拉氏變換X(s)沒有多階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次(有理真分式):,其中：,.,例：,對X(s)進行部分分式展開：,X(s)的零極點圖和ROC如圖所示：,分別對應什么時間信號？,.,例：,對X(s)進行部分分式展開：,X(s)的零極點圖和ROC如圖所示：,.,設：,對X(s)進行部分分式展開：,X(s)的零極點圖和ROC如圖所示：,.,例：,求x(t),解：,先轉換為真分式：,故：,.,例：已知：,求x(t),將X(s)進行部分分式展開：,.,.,二、二階和高階極點,當N(s)0有r重根，其余為單根的分解式為：,.,例：已知：,求x(t),將X(s)進行部分分式展開：,.,故：,則：,.,9.4由零極點圖對傅立葉變換進行幾何求值,目的：揭示信號和系統(tǒng)的復頻域表示與其頻域特性間的關系。,對于系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)的因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)，其收斂域包括s平面虛軸，那么系統(tǒng)的頻率響應H(j),.,如果有理系統(tǒng)函數(shù)H(s)表示為,分別為零點和極點,這類因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應為：,.,零點指向點j的向量為零點向量，記作,極點指向點j的向量為極點向量，記作,幅頻響應H(j)：,.,例：,求其幅頻特性與性與相頻特性曲線,.,.,例：根據(jù)零級點圖，利用傅立葉變換的幾何求值方法，確定以下拉普拉斯變換的模特性近似為低通、高通或者帶通：,.,9.5拉氏變換的性質(zhì),一、線性,則,ROC但有時候會擴大,.,例：,已知：,求：X(s),解：,.,二、時移性質(zhì),例：,求：X(s),解：,.,三、S域平移,例：,求：X(s),解：已知,則,同理：,.,四、時域尺度變換,五、共軛,注：若x(t)為實函數(shù)，如果X(s)有一個極點或零點為復數(shù)在s=s0處，那么X(s)也一定有一個復數(shù)共軛的極點或零點，且對于X(s)的部分分式展開式中的系數(shù)也互為共軛。,.,六、卷積性質(zhì),那么,七、時域微分,但ROC有可能擴大,.,八、s域微分,九、時域積分,.,例：求,的拉氏變換,解：,故：,推廣：,及：,故：,.,例：,關于一個拉氏變換為X(s)的實信號x(t)給出下列條件：,1、X(s)只有兩個極點；,2、X(s)在有限s平面沒有零點；,3、X(s)有一個極點在-1+j；,4、e2tx(t)不是絕對可積；,5、X(0)=8,求X(s),.,解：由（1）,由（2）,由（3）,由（4）,不含j軸,由（5)得：,.,十、初值和終值定理,則,若t0-具有相同函數(shù)表達式，而在t0-時卻并不相同的任何信號，都有完全一樣的單邊拉氏變換，但他們的雙邊拉氏變換卻各不相同。,對于任何因果時間函數(shù)，單邊拉氏變換起到了雙邊拉氏變換相同的作用。,.,二、性質(zhì),P517表9.3。,單邊拉氏變換不同于雙邊拉氏變換的性質(zhì)：,時域微分,.,單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì),.,例：已知一系統(tǒng)的微分方程為：,求分別輸入,時的輸出y(t)。,解：,.,解：,(1),對方程兩邊同時進行單邊拉氏變換：,.,當元件初始儲能為零時：,三、應用拉氏變換分析電路,.,例：在圖所示電路中加入一個單位階躍電壓u(t)。求輸出電壓vR(t)的初值vR(0)和終值vR()。,解：,利用初值定理：,利用終值定理：,.,Example:已知因果電路LTI系統(tǒng)的電路圖如圖所示。其中,，,（1）畫出電路的復頻域模型，并求系統(tǒng)函數(shù),（2）求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù),，并判斷系統(tǒng)的幅頻特性近似為哪種濾波器。,.,解：,（2）,則：,且隨著的增加，,即系統(tǒng)為高通濾波器。,（1）,增加,.,Example:已知因果電路LTI系統(tǒng)的電路圖如圖所示。求：,（1）求系統(tǒng)函數(shù),（2）求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù),，并判斷系統(tǒng)的幅頻特性