2010年數(shù)學周報杯全國初中數(shù)學競賽試題及詳細解答

讓我們?yōu)槿Υ蛟旄拭C名校-華亭縣皇甫學校而共同努力吧!中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2010年全國初中數(shù)學競賽試題詳細解答一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 【解析1】由題設知，于是【解析2】 由題設知，于是，故選D.2若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）或 （D） 【答案】C【解析】可以看作是關(guān)于的一元二次方程，因為是實數(shù)，所以的判別式,即，解得或故的取值范圍是或,故選C.3如圖，在四邊形ABCD中，,，則邊的長為（ ）（A） （B）（第3題）（C） （D）【答案】【解析1】如圖1，過點作交于,交的延長線于;過點 作于; 過點作于, 四邊形為矩形，,在中，, ,（第3題）答案圖1,在中，【解析2】如圖2，過點作于點，過點作于點，過點作于點，（第3題）答案圖2，在中，,又，, 于是在中，根據(jù)勾股定4在一列數(shù)中，已知，（）,（取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B【解析】由和可得，歸納可得 ，（為自然數(shù)），因2010=4502+2，故=25.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180得點P4，重復操作依次得到點P1，P2， 則點P2010的坐標是（ ） （A）（2010，2） （B）（2010，） （第5題）（C）（2012，） （D）（0，2）【答案】B【解析1】由已知得，點，的坐標分別為,記，其中,根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，,令，同樣可以求得，點的坐標為（），即，因2010=4502+2，故點的坐標為（2010，）【解析2】由已知得， 歸納可得 （為自然數(shù)）因2010=4502+2，故點的坐標為（2010，）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6已知，則的值等于 【答案】0【解析】由已知得，于是原式=.7一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t 【答案】15 【解析1】畫出某一時刻三輛車的位置示意圖，如圖所示，設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設貨車經(jīng)x分鐘追上客車，依題意得 ， ， 由，得，與比較得，x=30，故 （分）【解析2】設在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間，客車與小轎車間隔為2，則小轎車與貨車的速度差為，小轎車與客車的速度差為，則貨車與客車的速度差為，貨車追上了客車需分鐘，所以貨車追上了客車，需再過分鐘8如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是 （第8題）（第8題）答案圖【答案】【解析】如圖，延長交軸于點；連接;連接,且相交于點則,由已知得點是的中點，即點為矩形的中心，所以直線把矩形分成面積相等的兩部分又因為點是矩形的中心，所以，過點的直線把矩形分成面積相等的兩部分于是，直線即為所求的直線設直線的函數(shù)表達式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達式為（第9題）9如圖，射線，都垂直于線段，點為上一點，過點作的垂線分別交于點,過點作的垂線，垂足為D若,則 【答案】 【解析】如圖，因，所以,即， , 即，解得, 或（舍去）又,而,故=10對于=2，3，k，正整數(shù)除以所得的余數(shù)為若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為 【答案】 【解析】因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，（其中表示的最小公倍數(shù)）由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11(A).如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線ACx軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足EOCAOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達式為.設點，所在直線的函數(shù)表達式為，則有（第11(A)題） 解得，. 故，于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或（舍去）故點的坐標為因為點都在拋物線上，所以 解得 （10分）（2）由（1）知，因為軸且,所以（第11(A)題）答案圖令，得，解得，或，故，于是. 又，所以.設拋物線與x軸負半軸相交于點D， 則點的坐標為（，0）.因為，所以.（i）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到.此時，點是的中點，點,延長到點，使得，這時點是符合條件的點.（ii）作關(guān)于軸的對稱圖形，得到點；延長到點，使得，這時點是符合條件的點故點的坐標是，或. （20分）11(B). 設實數(shù)a，b滿足：，求的最小值. 解：由已知得,，即，所以，或.（5分）（i）當，即時，于是當時，的最小值為，此時，.（15分）（ii）當，即時，于是時，的最小值為，此時，. 綜上可知，的最小值為.（20分）12(A). 如圖，為銳角三角形，點為邊上的兩點，和的外接圓圓心分別為和,試判斷的延長線與的延長線的交點是否可能在的外接圓上，并說明理由.（第12A題）答案圖（第12A題）解：答案是否定的，即的延長線與的延長線的交點不可能在ABC的外接圓上. （5分） 理由如下:如圖，連接,設直線與直線的交點為，則，所以 ，即, 故.（15分）由于點為邊上的兩點，所以，即因此，點不在的外接圓上（20分）12(B).如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證：（第12A題） （第12(B)題）答案圖（第12（B）題）（第12B題）證明：如圖，連接. 因為和都是直徑，所以,因此三點共線. （5分）連接,則，所以，（10分）過點作于,則. 由,可得，從而，所以 . （20分）13(A). 實數(shù)使得關(guān)于的方程組有實數(shù)解. （1）求證； （2）求的最小值.解: (1)(證法1)由方程知,且 (當且僅當時取等號). 即(5分)(或書寫如下:)由方程知，且. 所以，當時，；當時，故. （5分）(證法2)由方程得，此方程可視為關(guān)于的一元二次方程，由于為實數(shù)，故即.（5分） (2)(解法1) 由方程得，將代入方程，得，即， . 由于方程組有實數(shù)解，故方程在，或的范圍內(nèi)至少有一個實數(shù)根.（i）當時，有，或，故，或，即或.若，即時，或，由此得，于是 （當且僅當時，上式取等號，此時.）若即時，對于滿足，或的任意實數(shù)，均有.（15分）（ii）當時， .綜上（i）、（ii）可知，的最小值為.（20分）（解法2：）由方程得，將代入方程，得，即， ， 于是，當時，有最小值，又， 從而，即（當且僅當時取等號） 故當時，有最小值. (解法3:) 由方程得,將代入得, 即 (i) 當，即時，方程變?yōu)?，由方程知?此時變?yōu)椋?，若，則由方程得，因，故，由（1）知，從而， ，為不等于0的實數(shù)， （當且僅當，即時取等號）（10分）(ii)當，即時，方程可視為關(guān)于的一元二次方程.為不等于0的實數(shù)， （當且僅當同時成立，即，時取等號） 綜上(i)、(ii)可知，的最小值為.（20分）13(B). 求滿足的所有素數(shù)和正整數(shù). 解：由題設得，所以，由于是素數(shù)，故，或. （5分） （1）若，令，是正整數(shù)，則又是素數(shù) 從而，于是故,從而. 所以解得 （10分）（2）若，令，是正整數(shù). 當時，有，故，從而或. 由于是奇數(shù)，故，從而.于是，解得 ，這不符合題意. 當時，解得；當，無正整數(shù)解；當時，無正整數(shù)解. 綜上所述，所求素數(shù)，正整數(shù).（20分）14(A)從1，2，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下的61個數(shù)：11，（即1991）滿足題設條件. （5分） 另一方面，設（）是從1，2，2010中取出的滿足題設條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因為，故.即所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).（10分）設，i=1，2，3，n.由，得，所以，即. （15分），故. 所以，.綜上所述，n的最大值為61. （20分）14(B). 將凸五邊形ABCDE的5條邊和5條對角線染色，且滿足任意有公共頂點的兩條線段不同色，求顏色數(shù)目的最小值. 解：由于頂點是條線段的公共點，因此至少需要種顏色. 若只有種顏色，不妨設為紅、