2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版.docx

2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點(diǎn))3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1雙曲線的定義閱讀教材P45，完成下列問(wèn)題.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，則點(diǎn)C的軌跡是雙曲線.()(3)到兩定點(diǎn)F1(3,0)、F2(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡是兩條射線.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P46P47例1以上部分，完成下列問(wèn)題.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a0，b0且ab.()(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是ab.()(3)雙曲線x21的焦點(diǎn)在y軸上.()【答案】(1)(2)(3)小組合作型雙曲線定義的應(yīng)用(1)雙曲線1上一點(diǎn)A到點(diǎn)(5,0)的距離為15，則點(diǎn)A到點(diǎn)(5,0)的距離為()A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如圖221，雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1作直線交雙曲線的左支于點(diǎn)A，B，且|AB|m，則ABF2的周長(zhǎng)為_.圖221【自主解答】(1)易知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，|AF1|AF2|8，所以|AF1|7或23.(2)因?yàn)樗詜AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又因?yàn)閨AF1|BF1|AB|m，所以|AF2|BF2|4am.所以ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|BF2|AB|4a2m.【答案】(1)C(2)4a2m雙曲線的定義是用雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離來(lái)描述的.定義中|PF1|PF2|2a|F1F2|，包含|PF1|PF2|2a和|PF1|PF2|2a，即要看到點(diǎn)離定點(diǎn)的距離的“遠(yuǎn)”與“近”.涉及雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，或符合雙曲線定義的軌跡問(wèn)題可用雙曲線的定義求解.再練一題1.已知圓M1：(x4)2y225，圓M2：x2(y3)21，一動(dòng)圓P與這兩個(gè)圓都外切，試求動(dòng)圓圓心P的軌跡.【解】設(shè)動(dòng)圓的半徑是R，則由題意知兩式相減得|PM1|PM2|4|M1M2|5，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以點(diǎn)M1(4,0)、M2(0，3)為焦點(diǎn)的雙曲線中靠近焦點(diǎn)M2(0,3)的一支.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q；(2)c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)，焦點(diǎn)在x軸上；(3)a4，c5. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792021】【精彩點(diǎn)撥】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解時(shí)注意先定位再定量.【自主解答】(1)法一若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，由于點(diǎn)P和Q在雙曲線上，所以解得(舍去).若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得解之得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二設(shè)雙曲線方程為1(mn0，b0).依題設(shè)有解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中06).雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)，1，5或30(舍去).所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.(3)a4，c5，b2c2a225169，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定雙曲線的類型并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求出a2，b2的值.2.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為Ax2By21(AB0)來(lái)求解.再練一題2.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4；(3)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，(6，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解】(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0).由題設(shè)知，a2，且點(diǎn)A(2，5)在雙曲線上，所以解得a220，b216.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(，4)或(，4).設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，(6，3)，解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.探究共研型雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題探究在解決雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)，常與哪些知識(shí)點(diǎn)結(jié)論？【提示】雙曲線的定義，正余弦定理，勾股定理等.若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|32，試求F1PF2的面積.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】由雙曲線方程1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a6，將此式兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如圖所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF20，F(xiàn)1PF290，S|PF1|PF2|3216.1.本題在解題過(guò)程中運(yùn)用了方程的思想，在解方程時(shí)，又運(yùn)用了整體代換的思想.2.在解焦點(diǎn)三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用兩個(gè)關(guān)系式：(1)利用雙曲線的定義可得|PF1|PF2|的關(guān)系式.(2)利用正余弦定理可得|PF1|，|PF2|的關(guān)系式，然后可以求解出|PF1|，|PF2|.但是，一般我們不直接求出|PF1|，|PF2|，而是根據(jù)需要，把|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|等看成一個(gè)整體來(lái)處理.再練一題3.設(shè)雙曲線1，F(xiàn)1、F2是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上.(1)若F1MF290，求F1MF2的面積；(2)若F1MF260，求F1MF2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792022】【解】(1)由雙曲線方程知a2，b3，c，設(shè)|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2).由雙曲線定義得r1r22a4，兩邊平方得rr2r1r216，即|F1F2|24S16，即4S5216，S9.(2)若F1MF260，在MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2rr2r1r2cos 60，r1r236，則Sr1r2sin 609.1.雙曲線1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(，0)，(，0)B.(0，)，(0，)C.(5,0)，(5,0)D.(0，5)，(0,5)【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a4，b3，所以c5.又由于焦點(diǎn)在x軸上，故選C.【答案】C2.已知方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是()A.1k1B.k0C.k0D.k1或k1【解析】方程1表示雙曲線，則(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1k1.故選A.【答案】A3.設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_.【解析】由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】164.若點(diǎn)P到點(diǎn)(0，3)與到點(diǎn)(0,3)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡方程為_.【解析】由題意并結(jié)合雙曲線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡方程為雙曲線的上支，且c3,2a2，則a1，b2918，所以點(diǎn)P的軌跡方程為y21(y1).【答案】y2