2013二次函數(shù)2012年匯編大題周磯中學專題復(fù)習

（2012河北省24,9分）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計）這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在550之間，每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）由基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，其中基礎(chǔ)價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)，薄板的邊長（cm）2030出廠價（元/張）5070（1）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤是26元（利潤=出廠價-成本價）。求一張薄板的利潤與邊長這之間滿足的函數(shù)關(guān)系式。當邊長為多少時，出廠一張薄板獲得的利潤最大？最大利潤是多少？參考公式：拋物線的頂點坐標是。【解析】（1）根據(jù)每張薄板的出廠價（單位：元）由基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，設(shè)出出廠價的表達式（為一次函數(shù)）再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出解析式。（2）根據(jù)利潤=出廠價-成本價，列出利潤的關(guān)系式，為二次函數(shù)，再利用頂點坐標，求出當邊長為多少時，博班利潤最大？最大利潤是多少？但是需要驗證頂點的橫坐標在不在x的取值范圍內(nèi)?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)一張薄板的邊長為x cm，它的出廠價為y元，基礎(chǔ)價為n元，浮動價為kx元，則y=kx+n2分由表格中數(shù)據(jù)得 解得 y=2x+10（2）設(shè)一張薄板的利潤為P元，它的成本價為mx2元，由題意得P=22x+10-mx2將x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m= 當（在550之間）時，即出廠一張邊長為25cm的薄板，所獲得的利潤最大，最大利潤為35元【注：邊長的取值范圍不作為扣分點】【點評】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)的用，求表達式，求極值。一次函數(shù)求極值是根據(jù)y隨x的增大而增大還是縮小；二次函數(shù)的極值分為兩部分：頂點極值和非頂點極值。是每次中考都要考查的重點內(nèi)容。教學時要多加注意。難度中等。（2012黑龍江省綏化市，23，6分）如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，與x軸交與點A(-4，0)（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足，請直接寫出點P的坐標【解析】解：（1）把點A（-4,0）及原點（0,0）代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；解得所以，此二次函數(shù)的解析式為y=-x2-4x；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點P到AO的距離，然后分點P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可由已知條件得（2）點A的坐標為（-4，0），AO=4，設(shè)點P到x軸的距離為h，則SAOP=4h=4，解得h=4， 當點P在x軸上方時，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，點P的坐標為（-2，4）； 當點P在x軸下方時，-x2-4x=-4，解得x1=-2+2，x2=-2-2所以，點P的坐標為（-2+2，-4）或（-2-2，-4），綜上所述，點P的坐標是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4） 【答案】 ；點P的坐標是：（-2,4）、（-2+，-4）、（-2-，-4）【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，（2）要注意分點P在x軸的上方與下方兩種情況討論求解難度中等（2012甘肅蘭州，27,10分）若x1、x2是關(guān)于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：.把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理。如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0）利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然ABC為等腰三角形（1）當ABC為等腰直角三角形時，求的值；（2）當ABC為等邊三角形時，求的值第27題圖解析：（1）當ABC為直角三角形時，由于AC=BC，所以ABC為等腰直角三角形，過C作CDAB于D，則AB=2CD根據(jù)本題定理和結(jié)論，得到，根據(jù)頂點坐標公式，得到，列出方程，解方程即可求出的值；（2）當ABC為等邊三角形時，解直角ACD，得，據(jù)此列出方程，解方程即可求出的值解：（1）當ABC為等腰直角三角形時，過C作CDAB于D，則AB=2CD拋物線與x軸有兩個交點，=b2-4ac0，則|b2-4ac|=b2-4aca0，AB=又, =2=, b2-4ac=0，=4；（2）如圖，當ABC為等邊三角形時，由（1）可知CE=AB，=0，=12.點評：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強，難度中等（2012山東省濱州中考，24,10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值【解析】（1）將A、O、B三點代入此拋物線求出拋物線的解析式即可。（2）求出此拋物線的對稱軸以及對稱軸的垂直平分線的方程，畫出它們，由幾何關(guān)系可求得AM+OM的最小值解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標代入y=ax2+bx+c中，得解這個方程組，得a=，b=1，c=0所以解析式為y=x2+x（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小過點A作ANx軸于點N，在RtABN中，AB=4，因此OM+AM最小值為【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)的求法、二次函數(shù)對稱軸的求法、二次函數(shù)對稱軸的求法以及對稱的性質(zhì)待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是二次函數(shù)?？疾榈膯栴}，二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用在中考中常作為壓軸題考查（2012甘肅蘭州，28,12分）如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過點B，且頂點在直線上.（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，已知在對稱軸上存在一點P是的PBD的周長最小，求出P點的坐標；（4）在（2）、（3）條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作MNBD交x軸與點N，連結(jié)PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由。第28題圖解析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點B（0，4），以及頂點在直線上，得出b，c即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2時，y的值即可（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當時，求出y即可；（4）利用MNBD，得出OMNOBD，進而得出，得到，進而表示出PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可解：（1）拋物線經(jīng)過B（0,4），c=4頂點在直線上，所求的函數(shù)關(guān)系式為：（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=5四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），當x=5時， 當x=2時，點C和點D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當時， （4）MNBD， OMNOBD，,即，得設(shè)對稱軸交x軸于點F，則S梯形PFOM=SMON=SPNF=S存在最大值由當時，S取得最大值為此時點M的坐標為.點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及菱形性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數(shù)的最值求出是解題關(guān)鍵第28題圖，難度較大.（2012貴州遵義，27, 分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，）（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標；（2）在拋物線上求點P，使SPOA=2SAOB；（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQO與AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由解析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點A的坐標（2）根據(jù)題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2，代入函數(shù)解析式可得出點P的橫坐標；（3）先求出BOA的度數(shù)，然后可確定Q1OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q1的坐標，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q2的坐標答案：解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax2+bx（a0），又函數(shù)的頂點坐標為（3，），解得：，故函數(shù)解析式為：y=x2x，由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2，代入函數(shù)解析式得：2=x2x，解得：x1=3+，x2=3，即可得滿足條件的有兩個，P1（3+，2），P2（3，2）（3）存在過點B作BPOA，則tanBAP=，故可得BOA=60，設(shè)Q1坐標為（x，x2x），過點Q1作Q1Fx軸，OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF=Q1F，即x=（x2x），解得：x=9或x=0（舍去），即可得Q1坐標為（9，3），根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q2坐標為（3，3）點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強（2012呼和浩特，25，12分）（12分）如圖，拋物線(a0）代入雙曲線解析式得m=1拋物線過點A（2，2）、B（1，4）、O（0，0） 解得拋物線的解析式為y= x23x（2）拋物線的解析式為y= x23x頂點E，對稱軸為x=B（1，4）x23x=4解得x1=1,x2= 4C（4，4）SABC=56=15由A、B兩點坐標為（2，2），（1，4）可求得直線AB的解析式為：y= 2x2設(shè)拋物線對稱軸與AB交于點F，則F點坐標為（，1）EF=SABE=SAEF+SBEF=3= （3）SABE=8 SABE=15當點D與點C重合時，顯然滿足條件。當點D與點C不重合時，過點C作AB的平行線CD，其對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)當x=3時，y= 18存在另一點D（3，18）滿足條件。【點評】（1）利用反比例函數(shù)求點的坐標，并求出拋物線的解析式。（2）中利用解析式求出各個點的坐標，再求三角形的面積。（3）利用同底等高的原理作出平行線，找出另一點并求坐標。（2012湖北武漢，23，10分）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，拋物線的頂點C到ED距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸y軸建立平面直角坐標系，（1）求拋物線的解析式；（2）已知從某時刻開始的40小時內(nèi)，水面與河底ED的距離（單位：米）隨時間（單位：時）的變化滿足函數(shù)關(guān)系（40）且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行？解析：1、根據(jù)題意可得A，B，C，三點坐標分別為（-8，8）（，11）（8，8），利用待定系數(shù)法，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c,有,解方程組即可2、水面到頂點C的距離不大于5米，即函數(shù)值不小大于115，解方程即可解：1、依題有頂點的坐標為（，11），點的坐標為（8，8），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c有,解得拋物線解析式為y=x2+112、令115，解得t35，t2=3畫出（40）的圖像，由圖像變化趨勢可知，當335時，水面到頂點C的距離不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行時間為35332（時）答：禁止船只通行時間為32小時。點評：難度中等（2012湖北武漢，25，12分）如圖1、點A為拋物線C1：y =的頂點，點B的坐標為（1,0），直線AB交拋物線C1于另一點C，（1）求點C的坐標;（2）如圖1,平行于y軸的直線x3交直線AB于點D，交拋物線C于點E，平行于y軸的直線xa交直線AB于F，交拋物線C1于G，若FG：DE4：3,求a的值。（3）如圖2將拋物線C向下平移m（m0）個單位得到拋物線C2且拋物線C2的頂點為點P交X軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQx軸于點Q，當NP平分MNQ時，求m的值。解析：1、求C點的坐標，可首先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線與拋物線得到方程組，求解方程組即可；2、根據(jù)題意，DE的長度可求又FG：DE4：3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人兩個函數(shù)解析式，用a表示F、G、縱坐標，得到關(guān)于a的方程即可；3、解決本題關(guān)鍵在于抓住M、P之間的聯(lián)系，可設(shè)點M坐標為（t，0），根據(jù)待定系數(shù)法得拋物線C2解析式為y =，即P點坐標為（0，），又直線AB與拋物線C2的交點N坐標為（2-t，2-2t ），從而有NMO=450，進而MN與y軸交點為T（0，-t）,由特殊角三角函數(shù)和線段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，從而求得t值，進而求得m.解：（1）當x=0時，y=, A(0，)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,有，解得. 直線AB的 解析式為y=2x-2.由C點為直線與拋物線y =的交點，則點C的橫、縱坐標滿足解得 （舍） 點C的坐標為（4，6）（2）直線x3分別交直線AB和交拋物線C1于D、E兩點。yD=4, yE=, DE= FG：DE4：3FG直線分別交直線AB和拋物線C于F、G兩點。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2（3）解法一：設(shè)直線MN交y軸于T，過點N作NHy軸于點H。設(shè)點M坐標為（t，0），拋物線C2 的解析式為y =0= ， y =點P坐標為（0，），點N是直線AB與拋物線y=x2-t2的交點，則點N的橫，縱坐標滿足解得 (舍去) 點N坐標為（2-t，2-2t ）NQ=2-2t ，MQ=NQ, MOT, NHT均為等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法二，設(shè)N坐標為（t,2t-2）,拋物線C2的解析式為y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m點P坐標為（0，+2t-2）同解法一可得MNQ=450，PNQ=MNQ=22.50，過點P作PFNQ于點F，在FN上截取FJ=FP，連線JP，NJJPPFFJNF（）PF，即（t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2點評：本題以二次函數(shù)為背景，考察了待定系數(shù)法，函數(shù)與方程組，拋物線與直線所截線段長度的計算，特殊角的三角函數(shù)，平行線、角平分線的性質(zhì)等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，1、2問難度不大，2問學生需注意分類討論，也可以對線段的長度加絕對值達到分類討論的效果；3問難度較大，學生不容易找到問題的突破口，學生可以先進行必要的計算，邊算邊找，只要找到NMQ=450，問題就較為明晰了。（2012湖南衡陽市，27，10）如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設(shè)運動時間為t（0t）秒答案如下問題：（1）當t為何值時，PQBO？（2）設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標解析：（1）如圖所示，當PQBO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值；（2）求S關(guān)系式的要點是求得AQP的高，如圖所示，過點P作過點P作PDx軸于點D，構(gòu)造平行線PDBO，由線段比例關(guān)系求得PD，從而S可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值；本問關(guān)鍵是求出點P、Q的坐標當S取最大值時，可推出此時PD為OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標，又易求Q點坐標，從而求得點P、Q的坐標；求得P、Q的坐標之后，代入“向量PQ”坐標的定義（x2x1，y2y1），即可求解答案：解：（1）A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，AB=10如圖，當PQBO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=103tPQBO，即，解得t=，當t=秒時，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過點P作PDx軸于點D，則PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（t）2+5（0t），當t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）如圖所示，當S取最大值時，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此時PD為OAB的中位線，則OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依題意，“向量PQ”的坐標為（4，03），即（，3）當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（，3）點評：本題是典型的動點型問題，解題過程中，綜合利用了平行線分線段成比例定理（或相似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值及三角形中位線性質(zhì)等知識點第（2）問中，給出了“向量PQ”的坐標的新定義，為題目增添了新意，不過同學們無須為此迷惑，求解過程依然是利用自己所熟悉的數(shù)學知識（2012湖南省張家界市25題12分）如同，拋物線與軸交于C、A兩點，與y軸交于點B，OB=4點O關(guān)于直線AB的對稱點為D，E為線段AB的中點.（1） 分別求出點A、點B的坐標（2） 求直線AB的解析式（3） 若反比例函數(shù)的圖像過點D，求值.（4）兩動點P、Q同時從點A出發(fā)，分別沿AB、AO方向向B、O移動，點P每秒移動1個單位，點Q每秒移動個單位，設(shè)POQ的面積為S，移動時間為t,問：S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t值，若不存在，請說明理由.yxBDPAQOC2【分析】（1）求拋物線與x軸的交點的橫坐標，即求函數(shù)值為0時，x的值；（2）利用待定系數(shù)法可求；（3）求出D點的坐標，再代入反比例函數(shù)關(guān)系式即可求k值；（4）利用二次函數(shù)的最值求解.【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.C（-，0），A（2，0）（2）令A(yù)B為直線為y=k1x+2，點A（2，0）在直線上，0=K12+2，k1=-.AB的解析式為y=-x+2.（3）D點與O點關(guān)于AB對稱，OD=OA=2.D點的橫坐標為，縱坐標為3，即D（，3）.因為y=過點D，3=，k=3.（3）AP=t，AQ=t，OQ=2-t.點P到OQ的距離為t.SOPQ=（2-t）t=-（t-2）2+.依題意，得0t4，當t=2時，S有最大值為.【點評】本題是考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，由函數(shù)及滿足函數(shù)圖象的點，求出相關(guān)點的坐標，然后用待定系數(shù)法，求出拋物線的解析式；再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解問題( 2012年四川省巴中市,29,9)某種商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件；如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元. (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍; (2)每件商品的售價定為多少時每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?【解析】根據(jù)題意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0x12)； 由 得y=-10x2+100x+2000=10（x-5）22250，當x=5時，最大月利潤y為2250元?！敬鸢浮縴=-10x2+100x+2000(0x12) 當x=5時，最大月利潤y=2250元【點評】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用問題，“最大利潤問題”，根據(jù)題意準確的確定函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵.(2012山東日照，22，9分)如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動設(shè)運動時間為x秒，PBQ的面積為y（cm2）.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）求PBQ的面積的最大值.解析：先運用三角形的面積公式求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后運用公式法或配方法把函數(shù)化成頂點式，再根據(jù)x的取值范圍求所得函數(shù)的最大值，進而解決問題.解：（1）SPBQ=PBBQ, PB=ABAP=182x，BQ=x，y=（182x）x，即y=x2+9x（0x4）; （2）由（1）知：y=x2+9x，y=(x）2 +,當0x時，y隨x的增大而增大， 而0x4，當x=4時，y最大值=20，即PBQ的最大面積是20cm2.點評：本題考查了列函數(shù)關(guān)系式表示幾何關(guān)系的能力以及二次函數(shù)的最值的求法，解題的關(guān)鍵是用x表示相關(guān)線段的長，然后關(guān)鍵三角形的面積公式求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，難點是求函數(shù)的最大值.（2012深圳市 22 ，9分）如圖8，已知ABC的三個頂點坐標分別為（1）求經(jīng)過A、B、C三點拋物線的解析式（2）設(shè)直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE圖8圖8-1G（3）設(shè)拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似嗎？請說明理由?！窘馕觥浚海?）已知三點的坐標，代入二次函數(shù)的一般式，或利用二次函數(shù)的交點式，求出待定系數(shù)的值。（2）求出直線BC的解析式及點E的坐標，過點C向y軸作垂線，通過計算AE、CE的長來說明AE=CE；（3）抓住是這兩個三角形的公共角，證明它們的夾邊是否對應(yīng)成比例即可。圖8-1G【解答】：如圖81（1）解：設(shè)拋物線的解析式為在拋物線上，故 為所求（2）過點C作CGy軸于點G，有，設(shè)直線BC的解析式為則 解之得：， 故， （3）相似由于，令，則 直線的解析式為： 同理可求直線的解析式為：，有：，解之得：故交點，易求得：可知：，又，故【點評】：幾何與坐標是中考中重點考查的內(nèi)容。本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，求直線與坐標軸交點的坐標，并能熟練將點的坐標轉(zhuǎn)換為線段的長，利用勾股定理進行計算。能根據(jù)題目的特點熟練選擇相似三角形的判定定理（2012山西，24，10分）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？【解析】（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元 1分 根據(jù)題意，得 （60x40）（100+20）=2240 4分 化簡，得 x210x+24=0 解得x1=4，x2=66分答：每千克核桃應(yīng)降價4元或6元 7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元 因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元 8分 此時，售價為：606=54（元）， 9分答：該店應(yīng)按原售價的九折出售 10分【答案】（1）每千克核桃應(yīng)降價4元或6元 （2）該店應(yīng)按原售價的九折出售 【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用實際生活問題構(gòu)建出數(shù)學模型，考生解決此類問題的關(guān)鍵是充分挖掘出題目中的等量關(guān)系，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而解決實際問題難度中等（2012山西，26，14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標【解析】（1）當y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3點A在點B的左側(cè)，AB的坐標分別為（1，0），（3，0）當x=0時，y=3C點的坐標為（0，3）設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點D的坐標為（1，4） （2）拋物線上有三個這樣的點Q，當點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標為3，代入拋物線可得點Q1的坐標為（2，3）；當點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標為3，代入拋物線可得點Q2坐標為（1+，3）；當點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標為3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標為（1，3）；綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關(guān)于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則點M為所求，過點B作BEx軸于點E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點的坐標為（，）設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），解得，直線BD的解析式為：y=x+，聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得：，解得，M點的坐標為（，）【答案】（1）直線AC的解析式為y=3x+3；B的坐標分別為（3，0）；頂點D的坐標為（1，4）（2）滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）M點的坐標為（，）【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)中用配方法求頂點坐標、與兩坐標軸的交點的求法、待定系數(shù)法求直線解析式、三角形相似的判定及性質(zhì)；平面上兩點之間最短距離的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等多個知識點和多個初數(shù)的數(shù)學思想的綜合，對考生在知識和能力上均提出了很高的要求，能很好的區(qū)分不同層次的考生，達到拉開不同層次考生差距的目的難度較大（2012山東東營，24，11分）已知拋物線經(jīng)過A（2，0） 設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B（1）求b的值，求出點P、點B的坐標；（2）如圖，在直線 y=x上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；APBxyO（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使AMPAMB？如果存在,試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由【解析】(1)把A（2，0）代入即可求得b的值，配方可求P的坐標，令y=0,解方程可求B的坐標；（2）根據(jù)兩組對邊分平行的四邊形是平行四邊形，求邊所在直線的解析式，然后求出交點D的坐標；（3）可判斷PAB是等邊三角形，因此只要作PAB的平分線交拋物線于M點即為所求的點?！敬鸢浮拷猓海?）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），所以，解得，所以拋物線的解析式為.（*），將（*）配方，得，所以頂點P的坐標為（4，-2）.令y=0，得，解得. 所以點B的坐標是（6，0）. （2）在直線 y=x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形. 理由如下：設(shè)直線PB的解析式為+b，把B（6,0）,P(4,-2)分別代入，得 解得所以直線PB的解析式為.又直線OD的解析式為，所以直線PBOD. 設(shè)直線OP的解析式為，把P(4,-2)代入，得，解得.如果OPBD，那么四邊形OPBD為平行四邊形.設(shè)直線BD的解析式為，將B(6,0)代入，得0=，所以所以直線BD的解析式為，解方程組得所以D點的坐標為（2,2）（3）符合條件的點M存在.驗證如下：過點P作x軸的垂線，垂足為為C，則PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等邊三角形，只要作PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在這樣的點M,使AMPAMB.【點評】綜合考查了二次函數(shù)、平行四邊形、特殊三角形的性質(zhì)，熟練掌握所學知識，并能融會貫通，運用數(shù)形結(jié)合的思想去解題。APBxyOCMD（2012，黔東南州，24）如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三點。（1）、求拋物線的解析式。（2）、點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN軸交拋物線于N若點M的橫坐標為，請用的代數(shù)式表示MN的長。（3）、在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在點，使BNC的面積最大？若存在，求的值，若不存在，說明理由。點的縱坐標解析：(1)我們可以設(shè)一般式：或坐標式：，（2）MN的長即N點的縱坐標減M點的縱坐標的值（3）因為，所以當最大時，BNC的面積最大.解：（1）設(shè)拋物線方程為：，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三點代入方程得，（2）設(shè)直線BC:把B（3，0）、C（0，3）代入得，.又（3），當最大時，BNC的面積最大.，所以當時，BNC的面積最大為：. 點評：本題考查了二次函數(shù)和幾何知識的綜合應(yīng)用，難度較大.（2012山東萊蕪， 24，12分）如圖，拋物線的頂點坐標為，并且與y軸交于點C，與x軸交于兩點A,B.(1) 求拋物線的表達式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連結(jié)AC、AD, 求ACD的面積；（3）點E位直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F.問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似.若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的表達式為.點C在拋物線上，解得.拋物線的表達式為，即（2）令，即，解得，.設(shè)BC的解析式為將代入得，解得.直線BC的解析式為當時，.所以(3) 假設(shè)存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似，BCO是等腰直角三角形，則以D、E、F為頂點的三角形也必須是等腰直角三角形.由EFOC得DEF=45，故以D、E、F為頂點的等腰直角三角形只能以點D、F為直角頂點 點F為直角頂點時，DFEF，此時DEFBCO，所以DF所在的直線為由，解得將代入，得，將代入，得， 當D為直角頂點時，DFED，此時EFDBCO.點D在對稱軸上，DA=DB ，CBA=45，DAB=45,ADB=90,ADBC,故點在直線AD上設(shè)直線AD的解析式為將代入得：，解得，所以直線AD的解析式為，由，解得。將代入，得，將代入，得，.綜上所述，點E的坐標可以是，【答案】（1）拋物線的表達式為，即；（2）2；（3）存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似，點E的坐標可以是，【點評】本題考查的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，和差法計算三角形的面積，關(guān)于三角形相似的分類討論?？疾榈闹R點全面，考查了學生綜合利用所學知識分析問題和解決問題的能力。此類問題通常前兩個小題簡單，最后一小題難度較大.(2012廣東汕頭，24，12分)如圖，拋物線y=x2x9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，進而確定AB、OC的長（2）直線lBC，可得出AED、ABC相似，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于s、m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題干條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍（3）首先用m列出AEC的面積表達式，AEC、AED的面積差即為CDE的面積，由此可得關(guān)于SCDE、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到SCDE的最大面積以及此時m的值；過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的E的半徑，可根據(jù)相似三角形BEF、BCO得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解解答：解：（1）已知：拋物線y=x2x9；當x=0時，y=9，則：C（0，9）；當y=0時，x2x9=0，得：x1=3，x2=6，則：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9（2）EDBC，AEDABC，=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0m9）（3）解法一：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SABCSADE=mm2=（m）2+0m9，當m=時，SCDE取得最大值，最大值為此時，BE=ABAE=9=記E與BC相切于點M，連接EM，則EMBC設(shè)E的半徑為r在RtBOC中，BC=BOC=EBM，COB=EMB=90BOCBME，=，=，r=所求E的面積為：（）2=解法二：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SAECSADE=mm2=（m）2+0m9，當m=時，SCDE取得最大值，最大值為此時，BE=ABAE=9=SEBC=SABC=如圖2，記E與BC相切于點M，連接EM，則EMBC，設(shè)E的半徑為r在RtBOC中，BC=SEBC=BCEM，r=，r=所求E的面積為：（）2=點評：該題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法等綜合知識在解題時，要多留意圖形之間的關(guān)系，有些時候?qū)⑺髥栴}進行時候轉(zhuǎn)化可以大大的降低解題的難度（2012四川成都，26，8分） “城市發(fā)展 交通先行”，成都市今年在中心城區(qū)啟動了緩堵保暢的二環(huán)路高架橋快速通道建設(shè)工程，建成后將大大提升二環(huán)路的通行能力研究表明，某種情況下，高架橋上的車流速度V(單位：千米時)是車流密度(單位：輛千米)的函數(shù)，且當028時，V=80；當28188時，V是的一次函數(shù). 函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1）求當28188時，V關(guān)于的函數(shù)表達式； （2）若車流速度V不低于50千米時，求當車流密度為多少時，車流量P(單位：輛時)達到最大，并求出這一最大值 (注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量=車流速度車流密度)解析：本題先用待定系數(shù)法求出V關(guān)于的函數(shù)表達式，然后建立車流量關(guān)于車流密度的二次函數(shù)解析式，最后將解析式化成頂點式，得到函數(shù)的最大值。答案：（1）當28188時，設(shè)（2）根據(jù)題意，得=可見，當車流密度x為94輛/千米時，車流量P最大，為4418輛/時。點評：待定系數(shù)法是中考出現(xiàn)頻率比較高的知識點，解題時要注意運算準確迅速，格式正確；將二次函數(shù)的一般式化成頂點式，也要能正確運算，避免出錯。(2012重慶，25，10分)企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進行處理。某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進行。1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量（噸）與月份(，且取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表：7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量（噸）與月份(，且取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為。其圖象如圖所示。1至6月，污水廠處理每噸污水的費用：（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用：（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為1.5元(l）請觀察題中的表格和圖象，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，分別直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；(3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計擴大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a一30)%，為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，財政對企業(yè)處理污水的費用進行50的補助若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出a的整數(shù)值(參考數(shù)據(jù)：)解析