2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳解.doc

2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.計(jì)算（ ）（A） （B）1 （C） （D）2 【答案】（B） 【解析】原式=，故選（B）.2.滿足等式的所有實(shí)數(shù)的和為（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】（A） 【解析】分三種情況進(jìn)行討論： （1）若，即時(shí)，滿足已知等式； （2）若，即時(shí)，滿足已知等式； （3）若，即且時(shí)，由已知，得解得， 故滿足等式的所有實(shí)數(shù)的和，故選（A）.3.已知是圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，的平分線交圓于點(diǎn)，若，則=（ ）（A）2 （B） （C） （D）3【答案】（A）【解析】連接,過點(diǎn)作于點(diǎn)，則,從而,由是圓的直徑，得,因平分,故,在中，,故選（A）.4.不定方程的全部正整數(shù)解的組數(shù)為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（B）【解析】由，得，因?yàn)檎麛?shù)，故，從而于是，即，由，知，故，故或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故原不定方程的全部正整數(shù)解有兩組：，,故選（B）.5.矩形的邊長(zhǎng),為的中點(diǎn),在線段上,，分別與,交于點(diǎn),則=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【解析】因,故,因,故,故,故.延長(zhǎng)交于點(diǎn),則由為的中點(diǎn)，知,故,因,故,故，故,于是,故選（C）.6.設(shè)為正整數(shù)，若不超過的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)等于合數(shù)的個(gè)數(shù)，則稱為“好數(shù)”那么，所有“好數(shù)”之和為（ ）（A）33（B）34（C）2013（D）2014【答案】（B）【解析】因既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，故“好數(shù)”一定是奇數(shù).設(shè)不超過的正整數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為,合數(shù)的個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí)，列表如下（只考慮為奇數(shù)的情況）： 由上表可知，都是“好數(shù)”. 因，當(dāng)時(shí)，在的基礎(chǔ)上，每增加2個(gè)數(shù)，其中必有一個(gè)為偶數(shù)，當(dāng)然也是合數(shù)，即增加的合數(shù)的個(gè)數(shù)不會(huì)少于增加的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，故一定有故當(dāng)時(shí)，不可能是“好數(shù)”. 因此，所有的“好數(shù)”之和為，故選（B）.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1.已知實(shí)數(shù)滿足則 .【答案】【解析】由得，代入，得，故，又，故，故，于是.2.將一個(gè)正方體的表面都染成紅色，再切割成個(gè)相同的小正方體，若只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，則= .【答案】【解析】只有一個(gè)面染成紅色的小正方體的總數(shù)為個(gè)，任何面都不是紅色的小正方體的總數(shù)為個(gè)，依題意有，解得(舍去).3.在中，分別在上，則的周長(zhǎng)最小值為 .【答案】【解析】分別作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱的.則.連接,則,且,從而，故，,過點(diǎn)作于點(diǎn),則，于是的周長(zhǎng)為當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且四點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，即的周長(zhǎng).4.若實(shí)數(shù)滿足，用表示的最大值，則的最大值為 . 【答案】 【解析】由已知，得，不妨設(shè)，則解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 故的最大值.第二試（A）一、（本題滿分20分）已知實(shí)數(shù)滿足求的值.解：設(shè)，則因，即，故 又因?yàn)?故 由，可得即注：符合條件的實(shí)數(shù)存在且不唯一，應(yīng)滿足 由（1）得，令，則，代入（2）得或，于是或，代入（3）或（4），得，故符合條件的實(shí)數(shù)存在且不唯一，如就是一組.又如也是一組，當(dāng)然還有很多組.二、（本題滿分25分）已知點(diǎn)在以為直徑的圓上，過點(diǎn)作圓的切線，交于點(diǎn)，連接，若，求的值.解：連接，因?yàn)闉閳A的切線，所以因?yàn)?所以,因?yàn)?，所?所以,所以連接,因?yàn)閳A的直徑，為圓的切線，故又，所以，所以.又,（為圓的半徑），代入,得.在中，由勾股定理,得,所以.三、（本題滿分25分）已知是一元二次方程的一個(gè)根，若正整數(shù)使得等式成立，求的值.解：因?yàn)槭且辉畏匠痰囊粋€(gè)根，顯然是無理數(shù)，且.由，得，將代入，得，即因?yàn)槭钦麛?shù)，是無理數(shù)，所以，于是可得因此是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)正整數(shù)根，該方程的判別式又因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，從而可得又因?yàn)榕袆e式是一個(gè)完全平方數(shù)，驗(yàn)證可知，只有符合要求.把代入,得第二試（B）一、（本題滿分20分）已知，若正整數(shù),使成立，求的值.解：因?yàn)椋杂?，得，將代入，得，整理得因?yàn)槭钦麛?shù)，是無理數(shù)，所以于是可得因此是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)正整數(shù)根，該方程的判別式又因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，從而可得又因?yàn)榕袆e式是一個(gè)完全平方數(shù)，驗(yàn)證可知，只有符合要求.把代入,得.二、（本題滿分25分）在中，分別是的外心和內(nèi)心，且滿足, 求證：（1）;（2） .證明:（1）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則,設(shè)，由分別是的外心和內(nèi)心，得，所以，又恰好是兩條平行線之間的垂線段，所以也是兩條平行線之間的垂線段，所以，所以.（2）由（1）知是矩形，連接，設(shè)（即為的內(nèi)切圓半徑），則 三、（本題滿分25分）若正數(shù)滿足求代數(shù)式的值.解：由于具有輪換對(duì)稱性，不