《用向量法求直線與平面所成的角》教案

第二講：立體幾何中的向量方法 利用空間向量求直線與平面所成的角大家知道，立體幾何是高中數學學習的一個難點，以往學生學習立體幾何時，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據題設條件，將空間圖形轉化為平面圖形，再由線線，線面等關系確定結果，這種方法沒有一般規(guī)律可循，對人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強，致使大多數學生都感到束手無策。高中新教材中，向量知識的引入，為學生解決立體幾何問題提供了一個有效的工具。它能利用代數方法解決立體幾何問題，體現了數形結合的思想。并且引入向量，對于某些立體幾何問題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問題，因此降低了學生學習的難度，減輕了學生學習的負擔，體現了新課程理念。為適應高中數學教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問題。本文舉例說明如何用向量法解決立體幾何的空間角問題。以此強化向量的應用價值，激發(fā)學生學習向量的興趣，從而達到提高學生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問題轉化為向量的代數運算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對線面角的求法進行總結。教學目標1.使學生學會求平面的法向量及直線與平面所成的角的向量方法；2.使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3.使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學重點求平面的法向量；求解直線與平面所成的角的向量法.教學難點 求解直線與平面所成的角的向量法.教學過程、復習回顧一、回顧有關知識：1、直線與平面所成的角：（范圍：）思考：設平面的法向量為，則與的關系？（圖1）（圖2）據圖分析可得：結論：2、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形）、典例分析與練習例1、如圖，正三棱柱的底面邊長為,側棱長為，求和所成角的正弦值.分析：直線與平面所成的角步驟： 1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角，(銳角)其余角為所求角ABCA1B1C1xyZD解：如圖建立空間直角坐標系，則 設平面的法向量為由取，設和所成角為 和所成角的正弦值.點撥 要注意“直線與平面所成的角”與“直線的方向向量與平面的法向量所成角”之間的關系，通常求斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其銳角就是斜線和平面所成的角。練習1：如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，求BB1與平面AB1C1所成的角.解：建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.則A(1，0，0)，B(0，0)，B1(0，3)，C1(1，0，3)設平面AB1C1的一個法向量為，由令z2，得設直線BB1與平面AB1C1所成角為，則|cosn，|. 又0， .練習2：如圖，在棱長為的正方體中，E、F分別是棱的中點求和面EFBD所成的角.解：如圖建立空間坐標系，則，設面的法向量為由 得又記和面所成的角為則 和平面所成的角為、小結與收