§2.2_拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射ppt課件

2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射,我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，從開集及其基本性質(zhì)(定理2.1.2)出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念.,定義2.2.1設(shè)X是一個(gè)集合，是X的一個(gè)子集族.如果滿足如下條件：(l)X,；(2)若A，B，則AB；(3)若,有,則稱是X的一個(gè)拓?fù)?稱偶對(duì)(X，)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g(X，)或X中的一個(gè)開集.即：AA是開集.,1,(此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎),現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇.定義2.2.2設(shè)(X，)是一個(gè)度量空間.令為由X中的所有開集構(gòu)成的集族.根據(jù)定理2.1.2，(X，)是X的一個(gè)拓?fù)?稱為X的由度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?如果沒有另外的說明，我們提到度量空間(X，)的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)?；在稱度量空間(X，)為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g(X，),2,例2.2.1平庸空間.設(shè)X是一個(gè)集合.令=X，.容易驗(yàn)證，是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g(X，)為一個(gè)平庸空間.在平庸空間(X，)中，有且僅有兩個(gè)開集，即X本身和空集.,例2.2.2離散空間.設(shè)X是一個(gè)集合.令=P(X)，即由X的所有子集構(gòu)成的族.易證，是X的一個(gè)拓?fù)?，稱為X的離散拓?fù)?；在離散空間(X，)中，X的每一個(gè)子集都是開集.,3,例2.2.4有限補(bǔ)空間.設(shè)X是一個(gè)集合.首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起.因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集XA我們寫為.令=U易驗(yàn)證是X的一個(gè)拓?fù)洹?X|是X的一個(gè)有限子集,4,一個(gè)令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？就是問：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來？,定義2.2.3設(shè)(X，P)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在X的一個(gè)度量使得拓?fù)銹即是由度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?，則稱(X，P)是一個(gè)可度量化空間.,滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？,5,現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射.,定義2.2.4設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY.如果Y中每一個(gè)開集U的原象(U)是X中的一個(gè)開集，則稱f是X到Y(jié)的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱映射f連續(xù).,按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).,6,下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì).,定理2.2.1設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1)恒同映射：:XX是一個(gè)連續(xù)映射；(2)如果f:XY和g:YZ都是連續(xù)映射，則gf:XZ也是連續(xù)映射.,7,定義2.2.5設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f：XY是一個(gè)一一映射，并且f和：YX都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚.,定理2.2.2設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1)恒同映射：XX是一個(gè)同胚；(2)如果f：XY是一個(gè)同胚，則：YX也是一個(gè)同胚；(3)如果f：XY和g：YZ都是同胚，則gf：XZ也是一個(gè)同胚.,8,定義2.2.6設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在一個(gè)同胚f：XY，則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻gY是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y.粗略地說，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間.定理2.2.3設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1)X與X同胚；(2)如果X與Y同胚，則Y與X同胚；(3)如果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚.,9,拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一