復變函數總結

第1章 復數與復變函數1、 復數幾種表示（1） 代數表示 （2） 幾何表示：用復平面上點表示 （復數、點、向量視為同一概念）（3） 三角式：（4） 指數式 ： 輻角 2、 乘冪與方根（1）乘冪： ，（2）方根： 第2章 解析函數1、 連續(xù)、導數與微分概念類似于一元實變函數 求導法則與一元實變函數類似函數點解析的定義：函數在一點及其點的鄰域內處處可導注：（1）點解析點可導， 點可導推不出點解析（2）區(qū)域內解析與可導等價2、 定理1 在可導在可微，滿足C-R方程定理2 在區(qū)域D內解析（可導） 在區(qū)域D內可微，滿足C-R方程討論1 在區(qū)域D內4個偏導數存在且連續(xù)，滿足C-R方程 在區(qū)域D內解析（可導）3、 解析函數和調和函數的關系1、 定義1 調和函數：滿足拉普拉斯方程，且有二階連續(xù)偏導數的函數。 定義2 設是區(qū)域D內調和函數，且滿足C-R方程，則稱是的共軛調和函數。2、 定理1 解析函數的虛部與實部都是調和函數。 定理2 函數在D內解析虛部是實部的共軛調和函數。3、問題：已知解析函數的實部（或虛部），求虛部（或實部） 理論依據： （1）虛部、實部是調和函數。 （2）實部與虛部滿足C-R方程。 求解方法：（例如已知） （1）偏積分法：先求，再求，得出 （2）利用曲線積分：求，再 （3）直接湊全微分：求，再4、 初等函數1、 指數函數性質：（1）是單值函數， （2）除無窮遠點外處處有定義 （3） （4）處處解析， （5） （6）是周期函數，周期是2、 對數函數 （多值函數） 主值（枝） （單值函數）性質：（1）定義域是， （2）多值函數 （3）除去原點和負實軸的平面內連續(xù) （4）除去原點和負實軸的平面內解析， （5） 3、冪函數是復常數） （1）為正整數，函數單值、處處解析， （2）為負整數，函數單值、除去及其負實軸處處解析， 4、三角函數 歐拉公式 或 定義： 性質：周期性、可導性、奇偶性、零點、等于實函數一樣 各種三角公式、求導公式照搬 注：的有界性 保護成立。第3章 復變函數的積分1、 復積分 （c的正向為逆時針方向）計算方法：（1）第二類曲線積分計算（2）化為普通定積分 重要結果： （n為任意整數） 二、柯西積分定理定理1（柯西積分定理） 設在單連通區(qū)域D內解析，C為D內任意一條簡單閉曲線，則 。注：條件變?yōu)樵趩芜B通區(qū)域D內解析，在D的邊界C上連續(xù)，結論成立，即 。定理2 設在單連通區(qū)域D內解析，則積分與路徑無關。記積分為 ，或原函數定義結論：是的原函數。 （條件：是解析函數） 定理3 （閉路變形原理）（柯西積分定理推廣到多連通區(qū)域） 是兩條簡單閉曲線，在內部，在所圍區(qū)域D內解析，在上連續(xù)，則 注：定理3說明：區(qū)域內的解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內的連續(xù)變動而改變它的值。3、 柯西積分公式定理1 （柯西積分公式）在簡單閉曲線C上連續(xù)，C的內部解析（即單連通區(qū)域D內解析），是C的內部一點，則 注：（1）D為多連通區(qū)域時，公式仍 成立。 （2）提供了計算積分的一種方法。推論1 （平均值公式）設在內解析，在上連續(xù)，則 定理2 （最大模原理）設在區(qū)域D內解析，又不是常數，則在D內沒有最大值。推論1 區(qū)域D內的解析函數，若其模在D內一點達到最大值，則此函數被常數。（定理2的逆否命題） 4、 解析函數的高階導數定理1 （解析函數的高階導數）設在簡單閉曲線C所圍的單連通區(qū)域D內解析，在C上連續(xù)，則的各階導數均在D內解析，且對D內有 ，或注：由柯西積分公式求導即得。第4章 解析函數的級數表示1、 數項級數，其中定理 收斂的必要條件是定理 收斂 與 均收斂定理 收斂 收斂，稱為絕對收斂 發(fā)散，收斂，稱為條件收斂2、 冪級數 收斂半徑 則收斂圓3、 函數展開成泰勒級數（冪級數）公式：1、， 2、， 3、， ， 4、對數函數，反三角函數求導數4、 洛朗級數 （函數在環(huán)域內展開） 第五章 留數1、 孤立奇點（函數在不解析，在的去心鄰域內解析）分類：1、可去奇點（洛朗級數中沒有負冪項） 判定（1）洛朗級數，（2）存在2、 極點（洛朗級數中有有限負冪項） 判定（1）洛朗級數， （2）極點階數判定： （1）洛朗級數 （2），在解析，則是的m階極點。 （3）零點與極點關系（4） ，是分子的n階零點，是分母的m階零點， mn時，是函數的m-n階極點，否則，是可去奇點。3、 本性奇點（洛朗級數中有無限負冪項） 判定 （1）洛朗級數， （2）不存在，也不是無窮。2、 m階零點法1 法2 函數在展開成冪級數3、 留數 ，是洛朗級數中系數。留數計算：可去奇點處留數為零本性奇點：通過洛朗級數求解m階極點：一階極點 或 ，是分母1階零點，不是分子零點注