參數(shù)方程的概念(教學(xué)設(shè)計(jì))

曲線(xiàn)的參數(shù)方程（孫雷）教材 人民教育出版社高中數(shù)學(xué)選修4-4第二講第一節(jié)授課教師 孫雷教學(xué)目標(biāo) 1、理解曲線(xiàn)參數(shù)方程的概念，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程； 2、通過(guò)對(duì)圓和直線(xiàn)的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義； 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，形成數(shù)學(xué)抽象思維能力，初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。教學(xué)重點(diǎn) 曲線(xiàn)參數(shù)方程的概念。教學(xué)難點(diǎn)曲線(xiàn)參數(shù)方程的探求。教學(xué)過(guò)程 （一）曲線(xiàn)的參數(shù)方程概念的引入 引例：當(dāng)兩個(gè)齒輪接觸時(shí)，藍(lán)色齒輪會(huì)帶動(dòng)紅色齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)齒輪沒(méi)有接觸時(shí)，藍(lán)齒輪要帶動(dòng)紅色齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，有一種方法是加入一個(gè)新的齒輪，使之與紅藍(lán)兩個(gè)齒輪同時(shí)接觸。(上述過(guò)程讓學(xué)生感受中間變量的作用，為參數(shù)方程中的參變量的引出作鋪墊。)思考1：若齒輪A、B、C的半徑相等，他們轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度分別是x、y、t，方向忽略不計(jì)(1) 第一組圖中，A與B角速度之間的關(guān)系是_；(2) 第二組圖中，A與C角速度之間的關(guān)系是_； B與C角速度之間的關(guān)系是_；思考2：思考：若齒輪A、B、C的半徑分別為4、1、2，他們轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度分別是x、y、t，方向忽略不計(jì)(1) 第一組圖中，它們角速度之間的關(guān)系是_；(2) 第二組圖中，它們角速度之間的關(guān)系是_；引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決（1、通過(guò)生活中的實(shí)例，引發(fā)學(xué)生研究的興趣；2、通過(guò)引例明確學(xué)習(xí)參數(shù)方程的現(xiàn)實(shí)意義；3、通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決，使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究往往難以獲得滿(mǎn)意的結(jié)果，從而了解學(xué)習(xí)曲線(xiàn)的參數(shù)方程的必要性；4、通過(guò)具體的問(wèn)題，讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑，為研究圓的參數(shù)方程作準(zhǔn)備。） （二）曲線(xiàn)的參數(shù)方程例1、圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)（1）一般的，設(shè)的圓心為原點(diǎn)，半徑為，所在直線(xiàn)為軸，如圖，以為始邊繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)以勻角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與時(shí)刻的關(guān)系該如何建立呢？（其中與為常數(shù)，為變數(shù)） 結(jié)合圖形，由任意角三角函數(shù)的定義可知： 為參數(shù) （2）點(diǎn)的角速度為，運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為，則角位移，那么方程組可以改寫(xiě)為何種形式？ 結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理意義可得： 為參數(shù) （在引例的基礎(chǔ)上，把原先具體的數(shù)據(jù)一般化，為圓的參數(shù)方程概念的形成作準(zhǔn)備，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力）（3）方程、是否是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓方程？為什么？由上述推導(dǎo)過(guò)程可知：對(duì)于上的每一個(gè)點(diǎn)都存在變數(shù)（或）的值，使，（或，）都成立。對(duì)于變數(shù)（或）的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)都在圓上； （1、對(duì)曲線(xiàn)的方程以及方程的曲線(xiàn)的定義進(jìn)行必要的復(fù)習(xí)；2、學(xué)生從曲線(xiàn)的方程以及方程的曲線(xiàn)的定義出發(fā)，可以說(shuō)明以上由變數(shù)（或）建立起來(lái)的方程是圓的方程；）（4）若要表示一個(gè)完整的圓，則與的最小的取值范圍是什么呢？ ， （5）圓的參數(shù)方程及參數(shù)的定義 我們把方程（或）叫做的參數(shù)方程，變數(shù)（或）叫做參數(shù)。（6）圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)（）參數(shù)方程與是否表示同一曲線(xiàn)？為什么？（）根據(jù)下列要求，分別寫(xiě)出圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓的部分圓弧的參數(shù)方程：在軸左側(cè)的半圓（不包括軸上的點(diǎn)）；在第四象限的圓弧。（通過(guò)具體問(wèn)題的解決，加深對(duì)圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)，體會(huì)到參數(shù)的取值范圍也是圓的參數(shù)方程的重要組成部分；并為曲線(xiàn)的參數(shù)方程的定義及其理解與認(rèn)識(shí)作鋪墊。）（7）曲線(xiàn)的參數(shù)方程的定義（）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)、都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) ，并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線(xiàn)上，那么方程組就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程。變數(shù)叫做參變量或參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。（）相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，直接給出曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)、間關(guān)系的方程叫做曲線(xiàn)的普通方程。 （8）曲線(xiàn)的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí) （）參數(shù)方程的形式；（橫、縱坐標(biāo)、都是變量的函數(shù)，給出一個(gè)能唯一的求出對(duì)應(yīng)的、 的值，因而得出唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；但橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系。）（）參數(shù)的取值范圍；（在表述曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，必須指明參數(shù)的取值范圍；取值范圍的不同，所表示的曲線(xiàn)也可能會(huì)有所不同。）（）參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性；（普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的，普通方程反映了坐標(biāo)變量與之間的直接聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)反映坐標(biāo)變量與之間的間接聯(lián)系；普通方程和參數(shù)方程是同一曲線(xiàn)的兩種不同表達(dá)形式；參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化。）（）參數(shù)的作用；（參數(shù)作為間接地建立橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系的中間變量，起到了橋梁的作用。）（）參數(shù)的意義。（如果參數(shù)選擇適當(dāng)，參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意義，也可以有明確的物理意義，可以給問(wèn)題的解決帶來(lái)方便。即使是同一條曲線(xiàn)，也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù)。）（三）鞏固曲線(xiàn)的參數(shù)方程的概念例2.已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1) 判斷點(diǎn)M1(0,1)，M2(5,4)與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系(2) 已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線(xiàn)C上，求a的值練習(xí)：1.曲線(xiàn)(t為參數(shù))與x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A.(1,4) B.(,0) C.(1,-3) D.(,0)2.方程所表示的曲線(xiàn)上一點(diǎn)是( ) A.(2,7) B.() C.() D.(1,0) （通過(guò)普通方程化為參數(shù)方程求得函數(shù)的最值，使學(xué)生初步體驗(yàn)參數(shù)方程的作用與意義。）例3.如圖所示，已知點(diǎn)A(1，2)，B(5，6)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)M(x,y)軌跡的參數(shù)方程O(píng)ABxyM（通過(guò)直線(xiàn)的參數(shù)方程的求解，使學(xué)生初步體驗(yàn)同一條曲線(xiàn)的參數(shù)方程隨參數(shù)選取的變化而不同，這一點(diǎn)與普通方程不同。）（四）課堂小結(jié)1、知識(shí)內(nèi)容：知道圓的參數(shù)方程以及曲線(xiàn)參數(shù)方程的概念；能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程；通過(guò)對(duì)圓和直線(xiàn)的參數(shù)方程的研究，理解其中參數(shù)的意義。2、思想與方法：參數(shù)思想。（引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，小結(jié)與交流學(xué)習(xí)體會(huì)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。）（五）作業(yè)課本，練習(xí)17.1（1），第2、3題。 （六）思考若圓的一般方程為，你能寫(xiě)出它的一個(gè)參數(shù)方程嗎？ 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一、教材分析本節(jié)課所用的教材是由人民教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)選修4-4課本，內(nèi)容為第二講，第一節(jié)?！皡?shù)方程和極坐標(biāo)方程”這一章節(jié)內(nèi)容是在“圓錐曲線(xiàn)”這一章的基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開(kāi)研究曲線(xiàn)的方程。學(xué)習(xí)曲線(xiàn)的參數(shù)方程是為了進(jìn)一步探討直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)，它在生產(chǎn)實(shí)踐中有很多實(shí)際的應(yīng)用。本章主要學(xué)習(xí)參數(shù)方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教學(xué)中要求應(yīng)適當(dāng)，難度要控制，基本應(yīng)以課本例題與習(xí)題為主。通過(guò)本章節(jié)的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題是多種多樣的，僅用一種坐標(biāo)系，一種方程來(lái)研究各種不同的問(wèn)題是不適合的，有時(shí)難以獲得滿(mǎn)意的效果。參數(shù)方程有其自身的優(yōu)越性，學(xué)習(xí)參數(shù)方程有其必要性。通過(guò)學(xué)習(xí)參數(shù)方程的有關(guān)概念，以及方程之間、坐標(biāo)之間的互化，使學(xué)生感悟到坐標(biāo)系及各種方程的表示方法是可以視實(shí)際需要，主觀能動(dòng)的加以選擇的?！扒€(xiàn)的參數(shù)方程”為本章節(jié)的第一部分。主要讓學(xué)生了解參數(shù)方程的有關(guān)概念，通過(guò)探索圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程初步掌握求曲線(xiàn)的參數(shù)方程的方法，并且在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)根據(jù)以上分析，本節(jié)課設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)為：1、理解曲線(xiàn)參數(shù)方程的概念，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程。 2、通過(guò)對(duì)圓和直線(xiàn)的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義。 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力，初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)我校是湖北省示范型高中，我校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好，思維活躍，具備一定的分析問(wèn)題和自主探究能力。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用，希望加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。本課設(shè)置如下教學(xué)環(huán)節(jié)以體現(xiàn)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。1、作為曲線(xiàn)的參數(shù)方程的概念課，一味的灌輸是不可取的。而是要讓學(xué)生體會(huì)到為什么要建立曲線(xiàn)的參數(shù)方程，感受其產(chǎn)生的必要性、合理性以及可行性。因此，由齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)這一實(shí)例引入，一方面使學(xué)生了解參數(shù)方程是基于生產(chǎn)、生活發(fā)展的實(shí)際需要而產(chǎn)生的，在引發(fā)學(xué)生研究的興趣時(shí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決，使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究不同的問(wèn)題不一定方便，往往難以獲得滿(mǎn)意的結(jié)果，從而了解研究曲線(xiàn)的參數(shù)方程的必要性；另一方面通過(guò)具體問(wèn)題的解決，找到解決問(wèn)題的途徑，也為圓的參數(shù)方程的研究作必要的準(zhǔn)備。 2、由特殊到一般，從具體到抽象。以“引導(dǎo)設(shè)問(wèn)”為主線(xiàn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考和解答，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，自主探索和獲取知識(shí)，從而得到圓的參數(shù)方程。同時(shí)在探索的過(guò)程中也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。 3、作為一堂概念課，學(xué)生對(duì)于概念的理解必須精確，深入，為后續(xù)課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，教師必須在這一環(huán)節(jié)進(jìn)行深入的分析。因此，在圓以及曲線(xiàn)的參數(shù)方程的概念引入之后，針對(duì)參數(shù)方程的形式、參數(shù)的取值范圍、參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性、參數(shù)的作用以及參數(shù)的意義進(jìn)行深入的理解與探討。通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生活躍的思維逐步從感性上升到理性；同時(shí)，對(duì)于概念的理解得到鞏固與深化。通過(guò)加強(qiáng)師生交流、關(guān)注學(xué)生思維，把握課堂教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的原因，發(fā)展的過(guò)程及其應(yīng)用的價(jià)值。4、在本節(jié)課中，設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)木毩?xí)與例題。一方面可以鞏固學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)的參數(shù)方程概念的理解認(rèn)識(shí)；另一方面通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)曲線(xiàn)的參數(shù)方程的作用及意義。教學(xué)中通過(guò)教師的適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)，同時(shí)大膽地放手由學(xué)生自主探究、及時(shí)激勵(lì)學(xué)生以體驗(yàn)