高考數(shù)學選修知識講解_常用邏輯用語 全章復習與鞏固

常用邏輯用語全章復習與鞏固編稿：李霞 審稿：張林娟【學習目標】1. 理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2.了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.3. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.4. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一：命題（1）命題的概念：可以真假的語句叫做命題. 一般可以用小寫英文字母表示. 其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.（2）全稱量詞與全稱命題全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱為全稱量詞.如“所有的”、“任意一個”、“每一個”、“一切”、“任給”等.全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題. 符號表示為，（3）存在量詞與存在性命題存在量詞：表示個別或一部分的含義的量詞稱為存在量詞.如“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有的”,“有些”等.存在性命題：含有存在量詞的命題，叫做存在性命題. 符號表示為，.要點二：基本邏輯聯(lián)結(jié)詞基本邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”、“且”、“非”.（1）：用“且”把命題和聯(lián)結(jié)起來，得到的新命題，讀作“且”，相當于集合中的交集.（2）：用“或”把命題和聯(lián)結(jié)起來，得到的新命題，讀作“或”，相當于集合中的并集.（3）：對命題加以否定，得到的新命題，讀作“非”或“的否定”，相當于集合中的補集.要點三：充分條件、必要條件、充要條件對于“若p則q”形式的命題：若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結(jié)論是不等關系（或否定式）的命題，一般運用等價法.(3)利用集合間的包含關系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖： “”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件. 要點詮釋：（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論推條件，最后進行判斷.（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當且僅當”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價于”“反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語.要點四：四種命題及相互關系如果用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則命題的四種形式為：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.四種命題的關系原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.逆命題否命題，它們之間互為逆否關系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.要點五：命題真假的判斷方法（1）對于一般的命題，結(jié)合所學知識經(jīng)過推理論證或舉反例來判斷；（2）對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，可參考下表（真值表）：命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（3）對于“若，則”型的命題，因為原命題與逆否命題同真或同假，故可以利用其逆否命題的真假來判斷.要點詮釋：當、同時為假時，“或”為假，其它情況時為真，可簡稱為“一真必真”；當、同時為真時，“且”為真，其它情況時為假，可簡稱為“一假必假”；“”與的真假相反.要點六：量詞與全稱命題、特稱命題 全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關于x的命題.（2）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有點”,“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關于x的命題. 對含有一個量詞的命題進行否定（1）對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定： 。全稱命題的否定是特稱命題。 （2）對含有一個量詞的特稱命題的否定 特稱命題p：，他的否定： 。特稱命題的否定是全稱命題。 要點詮釋：（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對命題的結(jié)論進行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結(jié)論同時進行否定（否定二次）。（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個至多一個否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個也沒有至少兩個【典型例題】類型一：命題的四種形式例1. 寫出命題“已知是實數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假?！舅悸伏c撥】找準條件和結(jié)論，根據(jù)定義寫出命題，再利用知識進行判斷.【解析】逆命題：已知是實數(shù)，若a=0或b=0, 則ab=0, 真命題； 否命題：已知是實數(shù)，若ab0，則a0且b0，真命題； 逆否命題：已知是實數(shù)，若a0且b0，則ab0，真命題?！究偨Y(jié)升華】1.“已知是實數(shù)”為命題的大前提，寫命題時不應該忽略；2. 互為逆否命題的兩個命題同真假；3. 注意區(qū)分命題的否定和否命題. 舉一反三：【變式1】“已知是實數(shù)，若，則”，寫出下面相應的命題，并判斷真假.上述命題的逆命題為： , ；上述命題的否命題為： , ；上述命題的否定為： , .【答案】 逆命題：已知 是實數(shù)，若 ，則，；假命題。否命題：已知是實數(shù)，若或，則；假命題。命題的否定：已知是實數(shù)，若，則.假命題?！咀兪?】寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。（1）若q1，則方程x2+2x+q=0有實根；（2）若x2+y2=0,則x,y全為零?！敬鸢浮浚?）逆命題：若方程x2+2x+q=0有實根，則q1，為假命題； 否命題：若q1，則方程x2+2x+q=0無實根，假命題； 逆否命題：若方程x2+2x+q=0無實根，則q1，真命題。（2）逆命題：若x,y全為零，則x2+y2=0,真命題； 否命題：若x2+y20,則x,y不全為零，真命題；逆否命題：若x,y不全為零，則x2+y20，真命題。【高清課堂：常用邏輯用語綜合395487 例1】例2. 寫出下列命題的否命題： （1）若abc=0，則a，b，c中至少有一個為0； （2）若x2+y2=0，則x，y全是0.【解析】（1）若，則a，b，c都不為0；（2）若則x，y不都為0.【總結(jié)升華】注意否命題的結(jié)構和含有邏輯量詞的命題的否定.舉一反三：【變式】寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。（1）若q1，則方程x2+2x+q=0有實根；（2）若x2+y2=0,則x,y全為零?！敬鸢浮浚?）逆命題：若方程x2+2x+q=0有實根，則q1是的（ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，a1時成立；但當時也成立，設aR，則a1是的充分不必要條件.【變式3】(2015 北京)設，是兩個不同的平面，m是直線且“m”是“”的( )A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，是兩個不同的平面，是直線且若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，則有，則“”是“”的必要而不充分條件.類型三：命題真假的判斷例4. 已知下列各組命題，寫出滿足條件的新的形式命題，并判斷真假.（1）：是方程的根，：是方程的根； p或q，（2）：， ：是有理數(shù)； p且q，（3）：若，則或； 非p【解析】（1）p或q：或是方程的根，真命題；（2）p且 ：是大于3的有理數(shù)，假命題；（3）非p：若，則且，假命題；【總結(jié)升華】1. 判斷復合命題的真假的步驟：確定復合命題的構成形式；判斷其中簡單命題p和q的真假；根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復合命題的真假.2. 條件“或”是“或”的關系，否定時要注意.舉一反三：【變式1】若命題P：，則命題“非P”是（ ）A且 B或 C D 【答案】A ；【解析】因為命題可陳述為：屬于集合A或?qū)儆诩螧，非：即不屬于集合A且也不屬于集合B，即非：且，故選A.【高清課堂：常用邏輯用語綜合395487 例3】【變式2】例4 若命題pq是真命題，p是真命題，則（ ） （A）p和q都是真命題 （B）p和q都是假命題 （C）p是真命題，q是假命題 （D）p是假命題，q是真命題【答案】D【變式3】滿足“p或q”為真，“非p”為真的是 （填序號）（1）p：在ABC中，若cos2Acos2B，則AB；q: sinx在第一象限是增函數(shù)（2）p：；q: 不等式的解集為（3）p:圓的面積被直線平分；q：橢圓的一條準線方程是.【答案】(2)； 【解析】由已知條件，知命題p假、命題q真. 選項(1)中，命題p真而命題q假，排除；選項(2)中命題p假、命題q真；選項(3)中，命題p和命題q都為真，排除；故填(2)類型四：全稱命題與存在性命題真假的判斷例5. 判斷下列命題的真假： （1）；（2）.【解析】（1）由于，當時，不成立，故(1)為假命題；（2）由于，當時能使，所以（2）為真命題.【總結(jié)升華】1. 要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素，驗證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立即可；2.要判斷一個特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.舉一反三：【變式1】命題“x0，)，x3x0”的否定是( )Ax(，0)，x3x0Bx(，0)，x3x0Cx00，)，x03x00Dx00，)，x03x00【答案】C【解析】命題“x0，)，x3x0”是一個全稱命題其否定命題為：x00，)，x03x00故選C【變式2】寫出下列命題的否定，并判斷真假。 （1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一個實數(shù)x0，使得?！敬鸢浮浚?）：（假命題）；（2）：至少存在一個正方形不是矩形（真命題）；（3）：（真命題）； （4）：（真命題）?！咀兪?】（2016 晉中模擬）已知f（x）=ex