專升本試題及解答(四川理工2015)

2015年四川理工學(xué)院專升本高等數(shù)學(xué)考試題（理工類）一、選擇題（每題3分，共15分）1、極限（ D ）（A） （B） （C） （D）【知識(shí)點(diǎn)】第二個(gè)重要極限。解析：。2、函數(shù)在處（ D ）（A） （B） （C） （D）不存在【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的定義。解析：，即不存在。3、直線與直線的夾角為（ A ）（A） （B） （C） （D）【知識(shí)點(diǎn)】直線間的夾角公式（方向向量的夾角）。解析：由參數(shù)方程得對(duì)稱式方程：；于是，即。4、設(shè)，則（ D ）（A） （B） （C） （D）【知識(shí)點(diǎn)】湊微分法。解析：。5、設(shè)連續(xù)，交換二次積分的次序是（ C ）（A） （B）（C） （D）【知識(shí)點(diǎn)】交換二次積分次序。解析：新積分區(qū)域，所以，。二、填空題：（每題3分，共15分）6、函數(shù)的定義域是 。【】【知識(shí)點(diǎn)】二元函數(shù)的定義域。解析：定義域?yàn)椋骸?、 ?！尽俊局R(shí)點(diǎn)】換元法、分部積分法。解析：令，。于是，。8、判定級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散，答： ；【收斂】【知識(shí)點(diǎn)】比值審斂法。解析：。9、微分方程的通解 ?！尽俊局R(shí)點(diǎn)】可分離變量微分方程。解析：。10、曲面在點(diǎn)處的切平面 。【】【知識(shí)點(diǎn)】曲面的切平面方程。解析：令，；過(guò)點(diǎn)的切平面方程的法向量，故，切平面方程為：，即。三、解答題（每小題8分，共56分）11、求極限?！局R(shí)點(diǎn)】等價(jià)替換。解析：。12、已知函數(shù)由方程確定，求?！局R(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)。解析：，。13、由元素法的思想寫出：由型區(qū)域，繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積公式，然后計(jì)算由，與軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積。【知識(shí)點(diǎn)】元素法（微元法）。解析：在區(qū)間任取小區(qū)間，面積元素，而繞軸旋轉(zhuǎn)而成圓環(huán)（周長(zhǎng)），其體積元素；（展開(kāi)為長(zhǎng)方體）于是，平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積為：。由此公式得：。14、設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。【知識(shí)點(diǎn)】二階偏導(dǎo)數(shù)（抽象函數(shù)）。解析：；。15、求曲線積分，其中取逆時(shí)針?lè)较?。【知識(shí)點(diǎn)】曲線積分（曲線積分與路徑無(wú)關(guān)）。解析：因，所以，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。取直線段（軸上）：，于是，。16、計(jì)算，其中由、和所圍成區(qū)域?！局R(shí)點(diǎn)】直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算。解析：積分區(qū)域。17、求函數(shù)的極值?！局R(shí)點(diǎn)】二元函數(shù)的極值。解析：令得駐點(diǎn)；又，在點(diǎn)處，且，故，函數(shù)的極小值為。四、證明題：（每題7分，共14分）18、證明：設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，則，使?！局R(shí)點(diǎn)】積分中值定理、羅爾定理。證明：由在上連續(xù)可導(dǎo)知，在上連續(xù)，由積分中值定理，使；又，即，由題設(shè)知在上連續(xù)可導(dǎo)，由羅爾定理，（即），使。19、證明：當(dāng)時(shí)，有