數(shù)字信號(hào)處理復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)(第一章到第四章)

.,第四章快速傅立葉變換(FFT),一、直接用DFT計(jì)算的運(yùn)算量與用FFT計(jì)算的運(yùn)算量比較，減少運(yùn)算量的途徑,.,二、FFT算法中一些概念,按時(shí)間抽取法解過程的規(guī)律。1.原位運(yùn)算（in-place)2.碼位倒讀規(guī)則，亂序輸入，順序輸出（1）“級(jí)”概念將N點(diǎn)DFT先分成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，再是四個(gè)N/4點(diǎn)DFT直至N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT.每分一次稱為“一”級(jí)運(yùn)算。因?yàn)镹=2M所以N點(diǎn)DFT可分成M級(jí)依次m=0,m=1.M-1共M級(jí),.,（2）“組”概念,每一級(jí)都有N/2個(gè)蝶形單元，例如：N=8,則每級(jí)都有4個(gè)蝶形單元。每一級(jí)的N/2個(gè)蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)，相同的因子分布，第m級(jí)的組數(shù)為：,例：N=8=23，分3級(jí)。m=0級(jí),分成四組,每組系數(shù)為m=1級(jí),分成二組,每組系數(shù)為m=2級(jí),分成一組,每組系數(shù)為,.,(3)因子的分布,結(jié)論：每由后向前（m由M-1-0級(jí)）推進(jìn)一級(jí)，則此系數(shù)為后級(jí)系數(shù)中偶數(shù)序號(hào)的那一半。,.,三、一個(gè)完整N=8的按DIT時(shí)間抽取FFT的運(yùn)算流圖,x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7),X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7),m=0,m=1,m=2,.,一個(gè)完整N=8的按DIF頻率抽取FFT的運(yùn)算流圖,x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7),X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7),m=0,m=1,m=2,.,2.直接利用FFT流圖方法的推導(dǎo),可知：只須將頻域成份一個(gè)求共軛變換，即（1）將X(k)的虛部乘以-1，即先取X(k)的共軛，得X*(k)。(2)將X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再對(duì)運(yùn)算結(jié)果取一次共軛變換，并乘以常數(shù)1/N，即可以求出IFFT變換的x(n)的值。,此為DFT可用FFT程序,.,3.用CZT求解DFT的流圖,.,6、說(shuō)明1,（1）A為起始樣點(diǎn)位置,.,6、說(shuō)明2,（2）zk是z平面一段螺線上的等分角上某一采樣點(diǎn)。,.,6、說(shuō)明3,.,6、說(shuō)明4,.,10、CZT運(yùn)算量與直接運(yùn)算量比較,當(dāng)M、N足夠小時(shí)，直接算法運(yùn)算量少。但M、N值比較大時(shí)（大于50），CZT算法比直接算法的運(yùn)算量少得多。例M=50，N=50，N*M=2500次而CZT1600次。,.,重疊相加法,（1）x(n)為分段，每段長(zhǎng)為p點(diǎn)，p選擇與M數(shù)量組相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.,.,重疊保留法,.,.,第三章離散傅立葉變換（DFT）,一、四種不同的傅立葉變換對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT)：連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。序列的傅里葉變換(DTFT):離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換,.,四種付里葉變換形式的歸納,.,二、DFS定義,設(shè)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)為:正變換反變換其中:,.,三、DFT,1、定義正變換反變換X(k)、x(n)為有限長(zhǎng)序列的離散付里葉變換對(duì)，已知其中一個(gè)序列就能確定另一個(gè)序列。,.,2、DFT性質(zhì),時(shí)移特性已知DFTx(n)=X(k)則DFTx(n+m)NRN(n)=WN-mkX(k)頻移特性設(shè)頻域N點(diǎn)，有限長(zhǎng)序列X(k)則,.,3、圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比,.,.,4、奇偶虛實(shí)關(guān)系表,.,四、頻域抽樣理論,長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列,頻域抽樣不失真的條件：頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長(zhǎng)度M,即滿足NM.此時(shí)可得到表明長(zhǎng)度為N(或小于N)的有限長(zhǎng)序列可用它的z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示.,.,五、DFT做傅里葉變換(級(jí)數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題,混疊現(xiàn)象:頻譜泄漏柵欄效應(yīng),.,1、混疊現(xiàn)象,利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則：fs2fh其中fs為抽樣頻率,fh為信號(hào)最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh,其上限要受抽樣間隔F的約束.抽樣間隔F即頻率分辨力,它是記錄長(zhǎng)度的倒數(shù),即Tp=1/F若抽樣點(diǎn)數(shù)為N,則抽樣間隔與fs的關(guān)系為F=fs/N2fh/N,.,混疊現(xiàn)象的結(jié)論,由F=fs/N2fh/N看出：在N給定時(shí),為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導(dǎo)致F增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小F,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號(hào)的高頻容量.以上兩點(diǎn)結(jié)論都是在記錄長(zhǎng)度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fh與頻率分辨力F參數(shù)中,保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長(zhǎng)度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N,即fh和F都給定時(shí),則N必須滿足N2fh/F這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。,.,2、頻譜泄漏注意點(diǎn),由于我們無(wú)法取無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏?，因而泄漏也是必然存在的。為了減少頻率泄漏可采用：（1）適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值；（2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)嘀赋觯盒孤┦遣荒芘c混疊完全分開的。,.,3、減小柵欄效應(yīng)方法,減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法是在所取數(shù)據(jù)的末端加一些零值點(diǎn),使一個(gè)周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加,但是不改變?cè)械挠涗洈?shù)據(jù).這種方法等效于加長(zhǎng)了周期Tp.因公式F=1/Tp(F是抽樣間隔).Tp增加,抽樣間隔變小,從而能保持原來(lái)頻譜形式不變的情況下使譜線變密,也就使頻譜抽樣點(diǎn)數(shù)增加.這樣,原來(lái)看不到的頻譜分量就有可能看到了.,.,序列的傅立葉變換和性質(zhì)（教材78頁(yè)，表2-3）,