江蘇省高郵市界首中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第7課時(shí) 數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案（無(wú)答案）

第7課時(shí) 數(shù)列的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握數(shù)列的函數(shù)性及與方程、不等式、解析幾何相結(jié)合的數(shù)列綜合題2.掌握運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決數(shù)列綜合題及實(shí)際應(yīng)用題的能力【預(yù)習(xí)內(nèi)容】 1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表不同點(diǎn)相同點(diǎn)等差數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項(xiàng)唯一(1)都強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的關(guān)系；(2)結(jié)果都必須是同一個(gè)常數(shù)；(3)數(shù)列都可由a1，d或a1，q確定等比數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項(xiàng)有兩個(gè)值2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中3數(shù)列應(yīng)用題常見題型銀行儲(chǔ)蓄單利公式設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本利和 銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本利和 產(chǎn)值模型設(shè)第一年產(chǎn)值為，年增長(zhǎng)率為，則年內(nèi)的總產(chǎn)值 分期付款問題設(shè)某商品價(jià)格為，以等額分期付款的形式分次付清，若每期利率為，則每期應(yīng)付款【課前練習(xí)】1.已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2的值為 解析由題意知：aa1a4.則(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.2. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，則S4 解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，則4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.3.已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且a6b7，則有 a3a9b4b10；a3a9b4b10a3a9b4b10；a3a9與b4b10的大小關(guān)系不確定解析記等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由數(shù)列bn為等差數(shù)列可知b4b102b7，又?jǐn)?shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3a9a3(1q6)a6b7，又q32(當(dāng)且僅當(dāng)q1時(shí)，等號(hào)成立)，a3a92b7，即a3a9b4b10.4.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為5.銀行里的年存款利率為，某人于年初存入萬(wàn)元，若按單利計(jì)算利息，則年后，連本帶息，該人有萬(wàn)元；若復(fù)利計(jì)算，則年后，連本帶息，該人有萬(wàn)元（不扣除利息稅）。【典型示例】題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)令bn2an10，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列審題視點(diǎn) 第(1)問列首項(xiàng)a1與公差d的方程組求an；第(2)問利用定義證明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得an12(n1)22n10.(2)證明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4.bn是首項(xiàng)是4，公比q4的等比數(shù)列 對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法變式：設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6 成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_解析因?yàn)閍1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，又a11，所以a3q，a5q2，a7q3.因?yàn)閍2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，所以a4a21，a6a22.法一：因?yàn)?a1a2a7，所以即法二：a6a223，即a6的最小值為3.又a6a7，所以a7的最小值為3即q33，解得a .故q的最小值為.答案題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】(2020南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.審題視點(diǎn) 第(1)問將點(diǎn)(n，Sn)代入函數(shù)解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)問錯(cuò)位相減求和解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn ，兩式相減得Tn，Tn. 此類問題常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等變式：是上的函數(shù)，對(duì)于任意和實(shí)數(shù)，都有，且。 （1）求的值； （2）令，求證：為等差數(shù)列； （3）求的通項(xiàng)公式。解：（1）令；再令 （2） 令代入已知得： （3）。題型三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用【例3】(2020惠州模擬)在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；(3)是否存在kN*，使得k對(duì)任意nN*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由審題視點(diǎn) 第(1)問由等比數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為a3a5與a3a5的關(guān)系求a3與a5；進(jìn)而求an；第(2)問先判斷數(shù)列bn，再由求和公式求Sn；第(3)問由確定正負(fù)項(xiàng)，進(jìn)而求的最大值，從而確定k的最小值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，a3a55，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，Sn.(3)由(2)知Sn，.當(dāng)n8時(shí)，0；當(dāng)n9時(shí)，0；當(dāng)n9時(shí)，0.當(dāng)n8或9時(shí)，18最大故存在kN*，使得k對(duì)任意nN*恒成立，k的最小值為19. 解決此類問題要抓住一個(gè)中心函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理變式：已知函數(shù)f(x)(x1)2，g(x)10(x1)，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0，bn(n2)(an1)(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)當(dāng)n取何值時(shí)，bn取最大值？并求出最大值；(3)若對(duì)任意mN*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：因?yàn)?an1an)g(an)f(an)0，f(an)(an1)2，g(an)10(an1)，所以10(an1an)(an1)(an1)20，整理得(an1)10(an1an)an10，所以an1或10(an1an)an10.由得數(shù)列an是各項(xiàng)為1的常數(shù)列，而a12，不合題意由整理得10(an11)9(an1)，又a111，所以an1是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)可知an1()n1，nN*，所以bn(n2)(an1)(n2)()n0，所以(1)當(dāng)n7時(shí)，1，即b7b8；當(dāng)n7時(shí)，1，即bn1bn；當(dāng)n7時(shí)，1，即bn1bn.所以當(dāng)n7或8時(shí)，bn取得最大值，最大值為b8b7.(3)由得tm0.(*)由題意知，(*)式對(duì)任意mN*恒成立當(dāng)t0時(shí)，(*)式顯然不成立，因此t0不合題意；當(dāng)t0時(shí)，由0可知tm0(mN*)，而當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，tm0, 因此t0不合題意；當(dāng)t0時(shí)，由tm0(mN*)知，0，所以t(mN*)令h(m)(mN*)因?yàn)閔(m1)h(m)0，所以h(1)h(2)h(3)h(m1)h(m)，所以h(m)的最大值為h(1).所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(，)題型四數(shù)列應(yīng)用題例4、假設(shè)某市2020年新建住房面積400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房。預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%。另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米。那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)層的累計(jì)面積（以2020年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？解：（1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列，其中，則令 即，而是正整數(shù)，。到年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于萬(wàn)平方米。（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知是等比數(shù)列，其中，則，由題意可知有。故滿足上述不等式的最小正整數(shù)，到2020年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?！具x題意圖】1、一般地，若增加（或減少）的量是一個(gè)固定的具體量時(shí)，該模型是等差模型，若增加（或減少）的量是一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)時(shí)，該模型是等比模型；2、本題要求不等式的整數(shù)解，原則上應(yīng)使用計(jì)算器解得，也可以運(yùn)用代入數(shù)值驗(yàn)證來(lái)解得。變式：某企業(yè)年的純利潤(rùn)為萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降。若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤(rùn)為萬(wàn)元（為正整數(shù)）。（1）設(shè)從今年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求的表達(dá)式；（2）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？解：（1）依題設(shè)，；（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。僅當(dāng)時(shí)，。答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)。 【課堂練習(xí)】1(2020無(wú)錫期末)已知等差數(shù)列的公差為2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a20_.解析：設(shè)的首項(xiàng)為a，則a，a4，a6成等比數(shù)列，則(a4)2a(a6)，解得a8.又公差d2，所以a20a19d819(2)30.答案：302(2020泰州期末)通項(xiàng)公式為anan2n的數(shù)列，若滿足a1a2a3a4a5，且anan1對(duì)n8恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)閍1a2a3a4a5，即a14a29a316a425a5，所以a.因?yàn)閍nan1對(duì)n8恒成立，即an2na(n1)2(n1)，所以a.因?yàn)?n117，所以.要使得a對(duì)n8恒成立，則a.綜上，a.答案：(，)3在等差數(shù)列an中，a12，a36，若將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個(gè)數(shù)為_解析：由題意知等差數(shù)列an的公差d2，則a48，a510，設(shè)所加的數(shù)為x，依題意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114(2020江西高考)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為an，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.答案：65已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且首項(xiàng)b11，b48.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnabn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn；解：(1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.當(dāng)n1時(shí)，a1S11亦滿足上式，故an2n1(nN*)又?jǐn)?shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.【課堂小結(jié)】1熟練把握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)