黑龍江哈爾濱第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期份階段性總結(jié)理

黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月份階段性總結(jié)試題 理（含解析）一、選擇題（每題5分，共60分）1.以下說法正確有幾個(gè)（ ）四邊形確定一個(gè)平面；如果一條直線在平面外，那么這條直線與該平面沒有公共點(diǎn)；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)【答案】B【解析】【分析】對(duì)四個(gè)說法逐一分析，由此得出正確的個(gè)數(shù).【詳解】錯(cuò)誤，如空間四邊形確定一個(gè)三棱錐. 錯(cuò)誤，直線可能和平面相交. 正確，根據(jù)公理二可判斷正確. 錯(cuò)誤，在空間中，垂直于同一條直線的兩條直線可能相交，也可能異面，也可能平行.綜上所述，正確的說法有個(gè)，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2.一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：長(zhǎng)方形；正方形；圓其中正確的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖的投影關(guān)系判斷即可【詳解】根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”可知，幾何體的俯視圖不可能是圓和正方形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖投影關(guān)系“主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬”的運(yùn)用3.如圖，在正方體中，M， N分別為棱的中點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論：直線DM與是相交直線；直線AM與NB是平行直線；直線BN與是異面直線；直線AM與是異面直線其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，可通過判斷每個(gè)選項(xiàng)中的兩條直線字母表示的點(diǎn)是否共面；如果共面，則可能是相交或者平行；若不共面，則是異面.【詳解】：與是共面的，且不平行，所以必定相交，故正確；：若平行，又平行且，所以平面平面，明顯不正確，故錯(cuò)誤；：不共面，所以是異面直線，故正確；：不共面，所以是異面直線，故正確；故選：C.【點(diǎn)睛】異面直線的判斷方法：一條直線上兩點(diǎn)與另外一條直線上兩點(diǎn)不共面，那么兩條直線異面；反之則為共面直線，可能是平行也可能是相交.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于A. B. C. 3D. 5【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以雙曲線的半焦距，所以一條漸近線方程為，即，故選A.【點(diǎn)考點(diǎn)定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計(jì)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想5.如圖，四棱錐， 是 的中點(diǎn)，直線交平面 于點(diǎn) ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 四點(diǎn)不共面B. 四點(diǎn)共面C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公理一、二、三逐一排除即可?！驹斀狻恐本€與直線交于點(diǎn)，所以平面與平面交于點(diǎn)O，所以必相交于直線，直線在平面內(nèi)，點(diǎn)故面，故四點(diǎn)共面，所以A錯(cuò)。點(diǎn)若與共面，則直線在平面內(nèi)，與題目矛盾，故B錯(cuò)。為中點(diǎn)，所以，故，故C錯(cuò)。故選D?！军c(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查公理一、二、三的應(yīng)用，學(xué)生不易掌握，屬于易錯(cuò)題。6.如圖，正方體中，為棱的中點(diǎn)，用過點(diǎn)、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)剩余幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的定義即可得到主視圖【詳解】解：正方體中，過點(diǎn)的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖：則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間三視圖與直觀圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題7.圓心在拋物線上，且與x軸和拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為,則由所求圓與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切可得 所以，故圓心為半徑所以圓心在拋物線上,并與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切的圓方程為即，所以D選項(xiàng)是正確的8.若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是( )A. 130B. 140C. 150D. 160【答案】D【解析】 設(shè)直四棱柱中，對(duì)角線， 因?yàn)槠矫?平面，所以， 在中，可得, 同理可得， 因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得互相垂直平分?所以，即菱形的邊長(zhǎng)為， 因此，這個(gè)棱柱的側(cè)面積為， 故選D. 點(diǎn)睛：本題考查了四棱錐的側(cè)面積的計(jì)算問題，解答中通過給出的直四棱柱滿足的條件，求得底面菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出底面菱形的底面周長(zhǎng)，即可代入側(cè)面積公式求得側(cè)面積，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，其中正確認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵.9.已知橢圓的上焦點(diǎn)為，直線和與橢圓分別相交于點(diǎn)、，則（）A. B. 8C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和橢圓的幾何性質(zhì)可得四條線段的和.【詳解】橢圓的上焦點(diǎn)，下焦點(diǎn)為，直線過上焦點(diǎn)，直線過下焦點(diǎn)且兩條直線平行，又，因?yàn)闄E圓是中心對(duì)稱圖形，故，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意與焦點(diǎn)有關(guān)的問題，可利用橢圓的定義來處理.10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)（虛）線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ）A. 64B. C. 16D. 【答案】D【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐為棱長(zhǎng)為的正方體一部分，直觀圖如圖所示：是棱的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)得，平面的面積，所以該多面體的體積，故選D.11.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，直線l：，點(diǎn)，線段AF交橢圓C于點(diǎn)B，若，則()A. B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，易知F(1,0)，根據(jù)，得，根據(jù)點(diǎn)B在橢圓上，求得n=1，進(jìn)而可求得【詳解】根據(jù)題意作圖：設(shè)點(diǎn)，由橢圓C： ，知，即，所以右焦點(diǎn)F(1,0)由，得所以，且.所以，.將x0，y0代入，得.解得，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析幾何中的應(yīng)用；正確表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.12.已知橢圓的方程是，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，若直線與圓和橢圓在軸上方的部分分別交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示面積后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其最大值.【詳解】圓的方程為，故，故，整理得到，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問題，往往需要構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，再借助常見函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來求其最值，此類題為中檔題.二、填空題（每空5分，共20分）13.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則_.【答案】【解析】【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則a0且2，得a.14.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面，若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_【答案】【解析】【分析】列出關(guān)于球的半徑和棱長(zhǎng)的方程組，解這個(gè)方程組可得正方體的棱長(zhǎng).【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，其外接球的半徑為，則，整理得到即，故填.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的棱長(zhǎng)及其外接球半徑之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15.已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_【答案】【解析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，MAN=60，|AP|=b，|OP|=設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為，則tan =又tan =，解得a2=3b2，e=答案：點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時(shí)，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上的點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為3：1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用焦半徑公式可得，從而可得與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，由面積比可得，從而得到所求的的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，故，因?yàn)?，故即，故即，?【點(diǎn)睛】一般地，拋物線 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；拋物線 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.三、解答題（共70分）17.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它的俯視圖的直觀圖是，其中，求該幾何體的體積和表面積【答案】，【解析】【分析】根據(jù)俯視圖的直觀圖和正視圖、側(cè)視圖復(fù)原幾何體，根據(jù)公式可求其體積和表面積.【詳解】根據(jù)俯視圖的直觀圖和正視圖、側(cè)視圖復(fù)原的幾何體如圖所示：其中平面，中，到的距離為，.故，又在中，在中，故，因?yàn)殇J角，故，所以，又，故表面積.【點(diǎn)睛】本題考慮三視圖及三棱錐體積、表面積的計(jì)算，根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體時(shí)，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系，面積的計(jì)算可利用解三角形中的公式來進(jìn)行計(jì)算，本題屬于中檔題18.（1）已知四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，四邊形為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值（2）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則可證或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.（2）連接，則可證或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，在中，為中點(diǎn)，則，同理，而，故，所以四邊形為平行四邊形，從而，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，設(shè)四棱錐棱長(zhǎng)為，則，故，故異面直線與所成角的余弦值為.（2）如圖，連接，在中，為中點(diǎn)，則，在正方體中，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，又，故.故異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，注意可通過平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再利用余弦定理求出角的大小或余弦值.19.（1）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個(gè)半圓和兩條線段組成，求該幾何體的表面積（2）圓臺(tái)的較小底面半徑為，母線長(zhǎng)為，一條母線和底面的一條半徑有交點(diǎn)且成，求圓臺(tái)的側(cè)面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖可復(fù)原幾何體，該幾何體為半個(gè)圓柱中挖去半個(gè)圓柱，根據(jù)公式可算計(jì)算其表面積.（2）在圓臺(tái)軸截面中，可計(jì)算出底面半徑，根據(jù)公式可求其側(cè)面積.【詳解】（1）三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體如圖所示：其表面積為.（2）圓臺(tái)的軸截面如圖所示：由題設(shè)可知：，過作的垂線，垂足為，則，故，故底面半徑為，故圓臺(tái)的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】本題（1）考查三視圖及其幾何體的復(fù)原，注意根據(jù)復(fù)原前后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，（2）考查圓臺(tái)的基本量的計(jì)算，注意利用軸截面來實(shí)現(xiàn)各基本量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.20.過點(diǎn)作直線與曲線：交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】存在滿足題意，詳見解析【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求的長(zhǎng)度及的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)后求其到的距離，利用可求，從而可求.【詳解】依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，由消y整理，得，由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即，由韋達(dá)定理，得：.則線段的中點(diǎn)為.線段的垂直平分線方程為：，令，得，則，為正三角形，到直線的距離為，解得，滿足式，此時(shí)【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的方程，解此方程即可.21.橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【詳解】（1）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，b），（0，b）又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），且1于是，解得a2，b所以橢圓E方程為.（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）聯(lián)立，得（2k21）x24kx20其判別式（4k）28（2k21）0所以從而x1x2y1y2x1x2（y11）（y21）（1）（1k2）x1x2k（x1x2）1所以，當(dāng)1時(shí)，3，此時(shí)，3為定值.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD此時(shí)213故存在常數(shù)1，使得為定值3.考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)，,求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）容易知道當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，再根據(jù) 橢圓的離心率為可得到關(guān)于a，c的方程組，解該方程組即可得到a，c，b，從而得出橢圓的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一條直線不存在斜率時(shí)，當(dāng)直線AC存在斜率k且不為0時(shí)