2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題三第1講空間幾何體的表面積和體積(文)學(xué)案

第1講空間幾何體的表面積和體積考向預(yù)測(cè)1三視圖的識(shí)別和簡(jiǎn)單應(yīng)用；2簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積計(jì)算1空間幾何體的三視圖(1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等(2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體2空間幾何體的兩組常用公式(1)正柱體、正錐體、正臺(tái)體的側(cè)面積公式：S柱側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；S錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為斜高/母線)；S臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h為斜高/母線)；S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V球R3熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1) (2018張家口期中)如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面上的正投影是（）ABCD(2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)等于()A4BCD5解析(1)由題意，點(diǎn)在平面上的投影是的中點(diǎn)，、在平面上的投影是它本身，所以在平面上的正投影是C中陰影部分，故選C. (2)根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側(cè)面垂直于底面，高為5的三棱錐PABC(如圖所示)棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)PA答案(1)C(2)C探究提高1由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn)二要熟悉常見幾何體的三視圖2由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置(3)確定幾何體的直觀圖形狀【訓(xùn)練1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A1 B2C3 D4(2)(2016天津卷)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析(1)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P，在平面C1CDD1的射影為P，如圖所示三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖分別為PAD與PCD，因此所求面積SSPADSPCD12122(2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖，故其側(cè)視圖為圖答案(1)B(2)B熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積【例2】(1)(2018上饒期末)如圖所示為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）ABCD(2)(2017山東卷)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_解析(1)根據(jù)三視圖可得該幾何體是有一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓柱所得，作出幾何體的直觀圖（如圖），則該幾何體的表面積為故選C(2)該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)半徑為1，高為1的圓柱體構(gòu)成，所以V21121212答案(1)C(2)2探究提高1由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式2(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用3求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解【訓(xùn)練2】 (1) (2017棗莊模擬)如圖，某三棱錐的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形及對(duì)角線，若該三棱錐的體積是，則它的表面積是_(2)(2016山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為()A BC D1解析(1)由題設(shè)及幾何體的三視圖知，該幾何體是一個(gè)正方體截去4個(gè)三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐BA1C1D(如圖所示)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則幾何體的體積是Va34a2aa3，a1，三棱錐的棱長(zhǎng)為，因此該三棱錐的表面積為S4()22(2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為121答案(1)2;(2) C熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問題【例3】(2019廣東一模)九章算術(shù)中將底面為長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一陽(yáng)馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形若該陽(yáng)馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）ABCD解析如圖所示，該幾何體為四棱錐，底面為長(zhǎng)方形.其中底面，.易知該幾何體與變成為的長(zhǎng)方體有相同的外接球，則該陽(yáng)馬的外接球的直徑為.球體積為：.答案A.探究提高1與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題2若球面上四點(diǎn)P，A，B，C，PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題【訓(xùn)練3】(2017濟(jì)南一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64C144 D256解析因?yàn)锳OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐OABC的體積取得最大值由R2R36，得R6從而球O的表面積S4R2144答案C1(2018全國(guó)I卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）ABCD2(2018全國(guó)I卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為ABCD3(2018全國(guó)III卷)設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）ABCD4(2018全國(guó)II卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_1(2018全國(guó)III卷)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）A B C D2(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A1B3C1D33(2016四川卷)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_4(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_5(2015全國(guó)卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值1(2018鄭州質(zhì)檢)如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為()ABCD2(2017衡陽(yáng)聯(lián)考)如圖所示，某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同，則此幾何體的表面積為()A6 BC4D23(2017衡水中學(xué)調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()ABC4D4體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_5(2017沈陽(yáng)質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn)(1)證明：A1O平面ABC；(2)求三棱錐C1ABC的體積參考答案1【解題思路】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【答案】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.2【解題思路】首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.【答案】根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.3【解題思路】作圖，為與球的交點(diǎn)，點(diǎn)為三角形的重心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得；【答案】如圖所示，點(diǎn)為三角形的重心，為中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，點(diǎn)為三角形的重心，中，有，故選B4【解題思路】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.【答案】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為，所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為，所以底面半徑為，因此圓錐的側(cè)面積為.點(diǎn)睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力1【解題思路】觀察圖形可得【答案】：觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A.2【解題思路】該幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐的組合體，分別求其體積即可【答案】由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為1，高為3，三棱錐的底面積為211，高為3故該幾何體體積為：V123131故選A3【解題思路】由正視圖的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)為2的等腰三角形確定俯視圖形狀【答案】由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，則體積VSh1故填4【解題思路】由圖確定球的半徑與圓柱高和底面半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而求其體積之比【答案】設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R又V1R22R2R3，V2R3，所以故填5【解題思路】(1)過EF往下作截面；(2)由正方形的邊長(zhǎng)關(guān)系確定底面的交點(diǎn)在棱上的位置，進(jìn)而求棱柱的體積【答案】解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EHEFBC10于是MH6，AH10，HB6故，因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為1【解題思路】由三視圖知原圖是一個(gè)底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，高為的斜四棱柱，【答案】.2【解題思路】該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成【答案】此幾何體為一個(gè)組合體，上為一個(gè)圓錐，下為一個(gè)半球組合而成表面積為S224故選C3【解題思路】該幾何體是一個(gè)四棱錐，球心在底面中心的正上方，確定球心的位置【答案】由三視圖知該幾何體為四棱錐，側(cè)面PBC為側(cè)視圖，PE平面ABC，E，F(xiàn)分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)是2的正方形，如圖所示設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2212(2h)2，h，R2幾何體的外接球的表面積S4R2故選B4【解題思路】正方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑【答