快速數(shù)字仿真

快速數(shù)字仿真算法,仿真中對(duì)快速性的需求分為3個(gè)方面,1）利用仿真技術(shù)進(jìn)行控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要反復(fù)的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真運(yùn)算，以獲得滿(mǎn)意的工程參數(shù)；2）在物理數(shù)學(xué)混合仿真時(shí)，由于實(shí)物系統(tǒng)介入仿真模型，要求仿真模型的時(shí)間比例尺與真實(shí)系統(tǒng)的時(shí)間比例尺完全相同，如果系統(tǒng)比較復(fù)雜或者方程個(gè)數(shù)很多，要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成一次系統(tǒng)中每個(gè)方程的計(jì)算，要求仿真的計(jì)算速度比較快；3）在復(fù)雜的控制系統(tǒng)中，常常需要在線(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，以確定系統(tǒng)的控制策略，要求仿真模型的時(shí)間比例尺小于系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間比例尺，從而對(duì)仿真速度提出來(lái)更高的要求。,一般的快速數(shù)字仿真算法有以下兩點(diǎn)要求,1）每步計(jì)算量要小；2）算法要有良好的穩(wěn)定性，允許采用較多的計(jì)算步長(zhǎng)，同時(shí)又能保證必要的計(jì)算精度。,替換法是快速仿真的主要算法之一，它建立在相匹配原理的基礎(chǔ)上。,何為相匹配？如果被仿真系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是穩(wěn)定的，則其仿真模型也應(yīng)該是穩(wěn)定的，并且二者的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性一致。如果對(duì)于同一輸入信號(hào)，二者的輸出具有相一致的時(shí)域特性，或者二者具有相一致的頻率特性，則稱(chēng)仿真模型與原系統(tǒng)模型相匹配。,5.1替換法,一般快速仿真提高了對(duì)速度的要求，而合理地降低了對(duì)計(jì)算精度的要求。因此，對(duì)于控制系統(tǒng)中最常見(jiàn)的用傳遞函數(shù)G(s)描述的數(shù)學(xué)模型，如果能夠根據(jù)相匹配原理，直接將高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成與之相匹配、每步計(jì)算量較小、允許采用較大步長(zhǎng)且具有合理精度的仿真模型G(z)，就可以利用G(z)對(duì)應(yīng)的差分方程進(jìn)行快速仿真。,5.1替換法,求出G(z)。式中，T為采樣周期。另一種是將G(s)展開(kāi)成部分分式形式，然后通過(guò)查Z變換表求得G(z)。對(duì)于高階系統(tǒng)，采用這兩種轉(zhuǎn)換方法都不很容易。因此，應(yīng)該設(shè)法找到一個(gè)直接將G(s)轉(zhuǎn)換成G(z)的簡(jiǎn)便方法。,5.1替換法,1替換法的基本思想2雙線(xiàn)性變換法3雙線(xiàn)性變換法步驟4雙線(xiàn)性變換法特性分析5雙線(xiàn)性變換法仿真實(shí)例,5.1替換法,1替換法的基本思想,式中，T為采樣周期，亦為仿真計(jì)算時(shí)的步長(zhǎng)。,5.1替換法,5.3式是超越方程，如果直接將傳遞函數(shù)中的變量s用它替換，得到G(z)的也將是超越方程，很難由Y(z)=G(z)U(z)得到一個(gè)關(guān)于變量u和y的線(xiàn)性差分方程，因此必須另辟蹊徑。替換法就是解決上述問(wèn)題的一類(lèi)方法。其基本思想是，設(shè)法找到s域與z域之間的某種簡(jiǎn)單的映射關(guān)系,（5.4）,然后將G(s)中的變量s用s=f-1(z)替換，從而得到與G(s)相對(duì)應(yīng)的G(z)。,5.1替換法,2雙線(xiàn)性變換法,5.1替換法,利用（5.7）式可以把G(s)轉(zhuǎn)換為G(z)。數(shù)學(xué)上稱(chēng)這種變換方法為雙線(xiàn)性變換法（或Tustin法）。,雙線(xiàn)性變換法是否滿(mǎn)足相匹配原理呢？1）穩(wěn)定性的匹配,（5.8）,則,5.1替換法,由（5.9）式可知,雙線(xiàn)性變換法將左半s平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。也就是說(shuō)，如果原來(lái)系統(tǒng)的G(s)是穩(wěn)定的，則通過(guò)雙線(xiàn)性變換法得到的G(z)必然是穩(wěn)定的。,2.4.2替換法,5.1替換法,2）判斷雙線(xiàn)性變換后的穩(wěn)態(tài)增益不變?cè)O(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,（5.10）,其穩(wěn)態(tài)增益為bn/an。若將G(s)進(jìn)行雙線(xiàn)性變換，有,（5.11）,顯然，G(z)的穩(wěn)態(tài)增益仍為bn/an。,5.1替換法,3）雙線(xiàn)性變換法具有一定的精度設(shè)有方程,（5.13）,將（5.6）式代入上式，得,（5.14）,5.1替換法,由此可得差分方程,（5.15）,這和將AM2法（也稱(chēng)為梯形法）應(yīng)用于（5.12）式所得結(jié)果相同。,5.1替換法,結(jié)論：雙線(xiàn)性變換法符合相匹配原理，是一種具有一定計(jì)算精度的絕對(duì)穩(wěn)定算法。雙線(xiàn)性變換法適合于以分子分母多項(xiàng)式形式描述的G(s)。,5.1替換法,例5.1已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,（5.16）,試采用雙線(xiàn)性變換法求出對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)和差分方程，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分析。解將（5.6）式代入上式，得脈沖傳遞函數(shù),（5.17）,5.1替換法,于是，差分方程為,（5.18）,因?yàn)?由（5.17）式可知，G(z)是穩(wěn)定的。,G(s)的分子多項(xiàng)式為1階，分母多項(xiàng)式為2階，而G(z)的分子、分母多項(xiàng)式的階次相同，均為2階。G(s)的穩(wěn)態(tài)增益為0，G(z)的穩(wěn)態(tài)增益也為0。,5.1替換法,為了考慮雙線(xiàn)性變換法所得仿真模型的精度，除了可以在時(shí)域中進(jìn)行討論外，也可以從頻域的角度進(jìn)行分析。事實(shí)上,將,(5.19),分別代入（5.16）式和（5.17）式，可得,5.1替換法,取T=1s，分別求出（5.20）式和（5.21）式的幅頻特性和相頻特性，如表2.6所示。,表5.1G(s)與G(z)的頻率特性比較,表5.1表明利用雙線(xiàn)性變換法得到的仿真模型既簡(jiǎn)單，又有一定的精度。,5.1替換法,3雙線(xiàn)性變換法步驟,設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,采用雙線(xiàn)性變換法求取仿真模型的步驟如下：,將中的s按（5.6）式替換得到，并整理成有理分式形式,（5.23）,5.1替換法,根據(jù)得到的G(z)，由Y(z)=G(z)U(z)，兩邊取Z反變換，得到便于計(jì)算機(jī)遞推計(jì)算的差分方程,(5.24),5.1替換法,4雙線(xiàn)性變換法特性分析,雙線(xiàn)性變換法是一種絕對(duì)穩(wěn)定的算法，允許采用大步長(zhǎng)。由于雙線(xiàn)性變換法是由（5.3）式取一次項(xiàng)近似得到的，所以得到的差分方程雖具有一定的精度，但當(dāng)取得太大時(shí)精度會(huì)降低。因此在選取時(shí)，主要應(yīng)考慮計(jì)算精度和仿真速度的需求。經(jīng)驗(yàn)表明，若取,(5.25),式中，為被仿真系統(tǒng)的自然頻率，可以保證較好的仿真精度。,5.1替換法,雙線(xiàn)性變換法得到的差分方程的每項(xiàng)系數(shù)，都是預(yù)先一次計(jì)算確定的，在仿真遞推過(guò)程中不需要重新計(jì)算，因此仿真遞推的計(jì)算量較小。事實(shí)上，由（5.24）式可知，對(duì)于n階連續(xù)系統(tǒng)，每步計(jì)算量約為(2n+1)次乘法。所以，該法適合于快速仿真。雙線(xiàn)性變換法中由G(s)到G(z)的轉(zhuǎn)換，以及由G(z)到差分方程的轉(zhuǎn)換，都可以很容易地編程實(shí)現(xiàn)。,5.1替換法,雙線(xiàn)性變換法具有串聯(lián)性。如圖5.1所示，G1(s)和G2(s)相串聯(lián)。若令,(5.26),（5.27）,式中，G(s)，G1(s),G2(s)分別是G(z)，G1(z)，G2(z)的雙線(xiàn)性變換結(jié)果。,圖5.1,雙線(xiàn)性變換公式不僅可以方便地應(yīng)用于傳遞函數(shù)，也可以應(yīng)用于狀態(tài)空間模型。雙線(xiàn)性變換后系統(tǒng)的階次不變，且分子、分母多項(xiàng)式具有相同的階次。事實(shí)上，將（5.6）式代入（5.22）式，有,（5.28）,5.1替換法,5.1替換法,可見(jiàn)，G(z)的分子、分母多項(xiàng)式均為n次，即在分子上增添了(nm)個(gè)z=-1的零點(diǎn)。由此得到的差分方程是多步關(guān)系式（當(dāng)n1時(shí)）。由于被仿真系統(tǒng)一般僅給出在初始時(shí)刻t=0處的系統(tǒng)的初始值，而在t0以前各采樣點(diǎn)處的信息需要經(jīng)過(guò)變換求得，這就可能給雙線(xiàn)性變換法的應(yīng)用帶來(lái)一定的麻煩。,可以證明，雙線(xiàn)性變換后得到的脈沖傳遞函數(shù)頻率特性與原連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性在低頻段相差較小，在高頻段差別較大。這一點(diǎn)也可以從表5.1看出。所以，雙線(xiàn)性變換法主要用于有限帶寬的系統(tǒng)。,化簡(jiǎn)得到,解：,將轉(zhuǎn)換成差分方程,例51已知一線(xiàn)性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,求：利用圖士汀公式的仿真模型。,3.3采樣控制系統(tǒng)的快速數(shù)字仿真,快速數(shù)字仿真目的：減小計(jì)算工作量，加快仿真速度，即：原來(lái)的T1（采樣周期）較小，現(xiàn)希望用一個(gè)較大的T1來(lái)仿真。這時(shí)，需要數(shù)字控制器部分的仿真模型做必要的修改。這是因?yàn)楫?dāng)離散部分仿真模型的采樣周期與原來(lái)的實(shí)際采樣周期不同時(shí)，會(huì)導(dǎo)致仿真模型與原型兩者脈沖傳函對(duì)應(yīng)著不同的零點(diǎn)、極點(diǎn)和終值，導(dǎo)致仿真結(jié)果與原來(lái)的實(shí)際情況不符，所以，必須修改仿真模型的脈沖傳函。做法：只需對(duì)離散部分的仿真模型進(jìn)行修改。,例：若要求T1=0.1，那么，仿真模型應(yīng)如何變化？解：確定差分模型原則，在控制系統(tǒng)的Z域分析中已經(jīng)知道，如果兩個(gè)脈沖傳函映射到S平面上時(shí)，具有相同的零、極點(diǎn)，且具有相同的穩(wěn)態(tài)值，則這兩個(gè)系統(tǒng)等價(jià)。利用D(z)|T1=0.04和D(z)|T1=0.1在S平面上的映射，具有