二次函數(shù)y=ax2-的圖像與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

二次函數(shù)y=ax2 的圖像與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì) 定遠(yuǎn)縣郭集學(xué)校 謝輝一、教材分析：本節(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念之后，對其圖象及性質(zhì)逐步進(jìn)行探究的一個(gè)內(nèi)容，在此之前學(xué)生已經(jīng)對正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念及圖象與性質(zhì)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，因此在本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法上學(xué)生已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗(yàn)。但二次函數(shù)，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識，體現(xiàn)函數(shù)知識螺旋發(fā)展的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。同時(shí)在此節(jié)后，我們還將循序漸進(jìn)，在此基礎(chǔ)上由簡到繁逐步展開二次函數(shù)的研究。二次函數(shù)的圖像是拋物線，是人們最為熟悉的曲線之一，同時(shí)拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應(yīng)用，如拋物線型拱橋、拋物線型隧道等?？梢哉f這節(jié)課既是承上啟下，同時(shí)本節(jié)課的學(xué)習(xí)也能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用及美感。其地位及作用不可小看。二、設(shè)計(jì)思想1.函數(shù)及其圖象在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置。如何突破這個(gè)既重要又抽象的內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機(jī)的結(jié)合起來，通過具有一定思考價(jià)值的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望持久的好奇心。我們知道，函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，初二時(shí)的函數(shù)的學(xué)習(xí)大多只關(guān)注到圖象的作用，這其實(shí)只是借助了圖象的直觀性，只是從一個(gè)角度看函數(shù)，具有一定的片面性。本節(jié)課，力圖讓初三學(xué)生從不同的角度去研究函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行一個(gè)全方位的研究，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學(xué)生去體會(huì)這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。2.結(jié)合新課程實(shí)施的教學(xué)理念，在本課的教學(xué)中我努力實(shí)踐以下兩點(diǎn)：（1）在課堂活動(dòng)中通過同伴合作、自主探究嘗試培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。（2）在教學(xué)過程中努力做到師生的互動(dòng)，并且在對話之后重視體會(huì)、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)讓學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的方法。（3）通過課堂教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。三、教學(xué)目標(biāo) 1、知識技能：經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=x2的圖象的作法和性質(zhì)的過程，獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。直接給學(xué)生出示y= x2，并作圖及觀察性質(zhì)，這樣，讓學(xué)生能通過運(yùn)用過去的知識經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)新知識，解決新知識，從而實(shí)現(xiàn)由掌握到遷移運(yùn)用的過程。 2、數(shù)學(xué)思考：能夠利用描點(diǎn)法作出y= x2的圖象，并能根據(jù)圖象認(rèn)識和理解二次函數(shù)y= x2的性質(zhì)。學(xué)生通過畫圖，觀察，分析，得出有關(guān)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生觀察，比較，概括的邏輯思維能力。3、解決問題：能夠作出二次函數(shù)y=- x2的圖象，并能夠比較與y=x2的圖象的異同，初步建立二次函數(shù)表達(dá)式與圖象之間的聯(lián)系。提高學(xué)生的觀察、交流、概括、總結(jié)及表達(dá)的能力，而且更進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)、形的轉(zhuǎn)化。4、數(shù)學(xué)體驗(yàn)：學(xué)生通過自己畫圖，觀察，比較得出有關(guān)結(jié)論，使學(xué)生有一種獲得成功的喜悅，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；通過畫圖使學(xué)生更能體會(huì)到數(shù)形可以互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生探究新知的欲望。 四、教學(xué)重點(diǎn) 會(huì)畫y=ax2的圖象，通過觀察圖象理解其性質(zhì)。五、教學(xué)難點(diǎn) 描點(diǎn)法畫y=ax2的圖象，體會(huì)數(shù)與形的相互聯(lián)系。 六、教學(xué)方法：學(xué)習(xí)二次函數(shù)關(guān)鍵是學(xué)習(xí)其性質(zhì)（開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，單調(diào)區(qū)間等），而用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像是我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的特征和了解其性質(zhì)的一個(gè)重要途徑。因此，在教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生畫出函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像的特點(diǎn)，概括出函數(shù)的性質(zhì)。在此過程中，可用“特殊-一般，具體-抽象“的方法來學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，給學(xué)習(xí)足夠的探索和交流的時(shí)間，讓學(xué)生在自己動(dòng)手體驗(yàn)中得出結(jié)果。七、教學(xué)過程 一 復(fù)習(xí)舊知，引入新課1.提問：請同學(xué)們回顧二次函數(shù)的概念和一般形式是什么？2.下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？ x（） 一次函數(shù)的圖像，正比例函數(shù)的圖像，反比例函數(shù)的圖像各是怎么樣的呢？它們各有什么特點(diǎn)，又有哪些性質(zhì)呢?上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，掌握了他的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y=ax2的圖像和性質(zhì)。（設(shè)計(jì)說明：利用前面學(xué)過的函數(shù)的圖像啟發(fā)學(xué)生思考二次函數(shù)的圖像。將本節(jié)課的內(nèi)容與已有知識聯(lián)系起來，便于學(xué)生類比學(xué)習(xí)。同時(shí)，通過設(shè)問讓學(xué)生了解本節(jié)課所要探索的問題，激發(fā)學(xué)生的探索興趣。）二 探究活動(dòng)：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)的圖像。(1)：在x的取列表值范圍內(nèi)列出函數(shù)對應(yīng)值表：x32 10123y9410149 (2)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)：用表里各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(3)連線：用光滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn)，得到函數(shù)y=x2的圖象，如圖所示。（4）讓學(xué)生概括圖像的特點(diǎn)，提示學(xué)生從開口方向、對稱性等方面考慮。學(xué)生互相交流、討論、回答：圖像是曲線，開口向上；它是軸對稱圖形，對稱軸是y軸。（5）肯定學(xué)生的表現(xiàn)，講解：拋物線。它有一條對稱軸，拋物線與它的對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。（6）請學(xué)生對照解析式對得出的性質(zhì)進(jìn)行一些解釋（對稱性、頂點(diǎn)、開口方（設(shè)計(jì)說明：在此問題上，教師不必按課本上的問題一一疊列給學(xué)生，而是充分發(fā)揮學(xué)生的觀察能力；再者學(xué)生已研究過正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)，已經(jīng)積累了一定的研究函數(shù)圖象的方法和能力，積累了研究函數(shù)圖象要“研究什么”的經(jīng)驗(yàn)，有了一定“模式”，即： 圖象形狀：拋物線（教師給出） 與x、y軸交點(diǎn)； y隨x的增減性； 圖象的對稱性。及系數(shù)與圖象的關(guān)系。 請每組的學(xué)生代表一一發(fā)表自己的觀察結(jié)果，（在此過程中，教師不能作裁判，應(yīng)及時(shí)表揚(yáng)學(xué)生，同時(shí)把評判權(quán)交給學(xué)生，注意培養(yǎng)學(xué)生語言的規(guī)范化、條理化。）然后按課本的問題加以總結(jié)和整理，做到有放有收。注意學(xué)生的解析式方式思考解釋。） 2.指導(dǎo)學(xué)生“做一做”。讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中分別畫出題目y=x2與y=-x2中函數(shù)的圖像，概括出他們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。學(xué)生積極動(dòng)手，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像。通過比較發(fā)現(xiàn)：（1），（2）中兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱，開口方向相反；兩個(gè)函數(shù)圖像的對稱軸都是軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。（提示學(xué)生從圖像開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸幾方面分析函數(shù)圖象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。）肯定學(xué)生的表現(xiàn)，總結(jié)：函數(shù)x2的圖像是一條拋物線，它關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）。4.提問：在同一坐標(biāo)系中畫出, y=2x2的圖像，試比較其與y=x2反應(yīng)了什么性質(zhì)？你能通過解析式說明嗎？學(xué)生互相交流，討論，嘗試歸納總結(jié)。5.肯定學(xué)生的表現(xiàn)，指出y=x2, y=2x2的圖像特點(diǎn)是：當(dāng)a0時(shí)，拋物線x2開口向上，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降：在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升。頂點(diǎn)是拋物線上位置最低的點(diǎn)。當(dāng) a0 時(shí)，二次函數(shù)x2具有這樣的性質(zhì)：當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減?。寒?dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大：當(dāng)x=0 時(shí)，函數(shù)取最小值y=0.(引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面分別總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)。在學(xué)生總結(jié)的過程中，可以提示學(xué)生從函數(shù)單調(diào)性和頂點(diǎn)方面考慮，從而讓學(xué)生能夠順利的發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的性質(zhì)。同時(shí)讓學(xué)生用解析式特征進(jìn)行淺析)6.讓學(xué)習(xí)觀察函數(shù)y= - x2, y= -2 x2的圖像，思考：當(dāng)a0時(shí)，拋物線x2有哪些特點(diǎn)？它反映了當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)x2 具有哪些性質(zhì)?（學(xué)生互相交流，討論，然后舉手回答：）當(dāng) a0 時(shí)，拋物線x2開口向下，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降。頂點(diǎn)是拋物線上位置最高的點(diǎn)。當(dāng) a0 時(shí)，二次函數(shù)x2具有這樣的性質(zhì)：當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減少；當(dāng)x=0 時(shí)，函數(shù)取最小值y=0。（學(xué)生對比前面的總結(jié)，歸納方式概括出當(dāng) a0 時(shí)函數(shù)圖象的性質(zhì)，既讓學(xué)生掌握了知識，又提高了學(xué)生歸納，總結(jié)的能力。）（設(shè)計(jì)說明：主要以小組討論完成，將四種形式的函數(shù)圖象放在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，并發(fā)表自己的意見。從而加強(qiáng)學(xué)生的完善性思維訓(xùn)練。在語言問題上，為了規(guī)范化，教師要給以糾正。（如：開口方向，開口大小等語言） 完成二次函數(shù)y=ax2中系數(shù)a的變化，引出圖象一些性質(zhì)的變化。） 三 鞏固練習(xí)1.拋物線y=1/2 x2 的圖像的對稱軸是（ ），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），當(dāng)x（ ）時(shí)，y 隨x的增大而（ ）,當(dāng)x（ ）時(shí)，y 隨x的增大而（ ）。2.拋物線y=-5 x2 的圖像的開口向（ ），圖像的對稱軸是（ ） ，除了他的頂點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)都在（ ） 的（ ）方，它的頂點(diǎn)是圖像的最（ ）點(diǎn)；當(dāng)x（ ）時(shí)，y 隨x的增大而（ ）,當(dāng)x（ ）時(shí)，y 隨x的增大而（ ）。3 已知，點(diǎn)（，1），（，2），（，3）都在函數(shù)y=2x2上的圖像上，則1、2、3的大小關(guān)系是什么？4.指導(dǎo)學(xué)生完成課后練習(xí)。若正方形的邊長為a，面積為s，試求出面積s與邊長a的關(guān)系式，并畫出圖象。(設(shè)計(jì)說明：在實(shí)際應(yīng)用的問題上，教師先不要進(jìn)行過多的提醒，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)自變量“x”的取值范圍的特殊性。學(xué)生獨(dú)立完成以后，讓他們發(fā)表自己的看法，辨證出圖象只在第一象限存在。) 四 課堂總結(jié) 布置作業(yè)1、學(xué)生談一談收獲我們通過觀察總結(jié)得出二次函數(shù)y=ax2的圖象的一些性質(zhì)：、圖象“拋物線”是軸對稱圖形； 、與x、y軸交點(diǎn)（0，0）即原點(diǎn)； 、a的絕對值越大拋物線開口越大，a0，開口向上， 當(dāng)x0時(shí)，（對稱軸左側(cè)），y隨x的增大而減小 （y隨x的減小而增大） 當(dāng)x0時(shí)，（對稱軸右側(cè)），y隨x的增大而增大 （y隨x的減小而減?。?a0，開口向下， 當(dāng)x0時(shí)，（對稱軸左側(cè)），y隨x的增大而增大 （y隨x的減小而減?。?當(dāng)x0時(shí)，（對稱軸右側(cè)），y隨x的增大而減小 （y隨x的減小而增大） 2、今天我們通過觀察收獲不小，其實(shí)只