12初一數學自招閔行耿老師班 等邊三角形 教師

等邊三角形（等邊三角形（1） 第八講 等邊三角形 1 等邊三角形的定義： “等邊三角形”也被稱為“正三角形” 2 等邊三角形的性質：等邊三角形的三條邊相等；等邊三角形的三個內角都等于 60. 等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一）等邊三角形是軸 對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線 或角的平分線所在的直線.等邊三 角形內任意一點到三邊的距離之和為定值(等于其高)等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質. 3 等邊三角形的判定：如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必必為等邊三角形： 三邊長度相等； 三個內角度數均為 60 度； 一個內角為 60 度的等腰三角形（等邊三角形是特殊的等腰三角形）. 1. 等邊三角形 是 軸對稱圖形， 不是 中心對稱圖形. （填“是”或“不是” ） 2. 如圖， 等邊三角形 ABC 中，A的角平分線 AD 和B的角平分線 BE 交于點 F,則AFB= 120. 3. 在等邊三角形 ABC 中，如果延長 BC 邊到 D，使 CDBC，那么BAD 90. 4. （1） 如圖， BD 為等邊ABC 的邊 AC 上的中線， E 為 BC 延長線上一點， 且 DB=DE， 若 AB=6cm， 則 CE= 3 cm 等邊三角形（等邊三角形（1） （2） 如圖， 已知ABC是等邊三角形， BD是AC邊上的高， 延長BC到E， 使CECD， 說明DBDE 的理由 F D E C B A (第 2 題) （第 4 題） 5. 如圖，在邊長為 6 的等邊三角形中，D 是 BC 邊上一點，且 BD2DC，DEAB 于 E，DFBC 交 AC 于 F，BE2，求 AF 的長。 解：ABC 是等邊三角形 A=B=C=60 BD=2DC, BC=6 BD=4,DC=2 BDECFD CF=BD=4 AF=2. 6. 如圖，已知點 D、E 分別是等邊ABC 的邊 BC、CA 上的兩點，且 BDCE，AD 與 BE 相交于點 P. 求證：ABDBCE 的理由； 求APE 的度數. 解： (1)ACAB CEBD CABC ABDBCE (SAS) (2)ABPBAPAPE =ABPEBC = 60ABC F E D CB A 等邊三角形（等邊三角形（1） 7. 如圖，已知ABC 和BDE 都是等邊三角形，且 A、E、D 三點在同一直線上，求證：BDCD AD. 解：CBDABEBDBEBCAB, ABE()CBD SAS BDCDDECD DEEA AD 8. 如圖，C 為線段 AB 上一點，ACM、CBN 都是等邊三角形，直線 AN、CM 交于點 E，直線 BM、 CN 交于點 F . （1）說明 ANBM 的理由； （2）為什么CEF 也是等邊三角形？ 解：(1)ACN()MCB SAS BMAN (2)由(1)知 MBCANC ECN()FCB ASA CECF, 0 60ECF CEF為等邊三角形 9. 如圖已知等邊三角形 ABC 內一點 D，DADC，ABC 外一點 P，CPCA，且 CD 平分BCP， 求P 的度數. 解：CPCACB CDCDBCDPCDCBCP, CPD()CBD SAS PDBC F E AB C M N D BC A P 等邊三角形（等邊三角形（1） BDBDDCADBCAB, ABD()CBD SSS 0 1 30 2 DBCDBA PABC 10. （1）如圖，已知ABC 為等邊三角形，點 D、E、F 分別在 BC、CA、AB 上，且AFBDCE， 說明DEF 是等邊三角形的理由 （2）如圖，在（1）的條件下，分別聯(lián)結 AD、BE、CF 這三條線段兩兩相交于點 M、N、P，說明 MNP 是等邊三角形的理由 答案：（1）BDFCEDAFE，DFDEEF； （2）ABDBCE，BADCBE，60PMNBADABMEBCABMABC，同 理60MNP 11. 如圖，在ABC 中，90BAC，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AD 于 F （1） 說明AEF 是等腰三角形的理由 （2） 需要增加怎樣的條件，才能使AEF 是等邊三角形？簡要說明理由 答案：（1）BADC，ABECBE，AEFCBECABEBADAFE； （2）60ABC或30C 等邊三角形（等邊三角形（1） 1. 如圖，已知ABC 是等邊三角形，點 D、E、F 分別在 AB、BC、AC 上，且 DEBC，EFAC， FDAB， 求證：DEF 是等邊三角形. 解：ABC 是等邊三角形 60ABC DEBC，EFAC，F(xiàn)DAB 90 30 60 BEDEFCADF BDEDFAFEC DEFDFEEDF DEF 是等邊三角形. 2. 如圖，已知ABC 是等邊三角形，BD 平分ABC，CDCE，DFBC. 求證：DF 平分BDE . 解：已知ABC 是等邊三角形 60ABC BD 平分ABC,30DBC 120DCE , CDCE 30E DBE為等腰三角形 又 DFBE DF平分BDE(三線合一) 600 600 300 300 600 300 300 300 等邊三角形（等邊三角形（1） E DC B A 1. 在等邊ABC 所在的平面內求一點 P，使PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，則具有這樣性 質的點 P 最多有 10 個. 解： 首先，作出線段 BC 的中垂線，那么 P 只要在中垂線上，PBC 必為等腰三角形， 此時只要 使 PAB 為等腰三角形即可。 然后以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓弧與中垂線有兩個交點；再 以 B 為圓 心，BA 為半徑畫圓弧與中垂線有一個交點；最后 AB 的中垂線與 BC 的中垂線有 一個交點。這樣在 BC 的中垂線上共有 4 個點。 那么在三條邊的中垂線上共有 12 個點， 考慮到三角形的中心點被算了 3 次，所以共有 12-2=10 個點滿足條件。 2. 已知等邊ABC，延長 BC 至點 D，延長 BA 至點 E，并使 AEBD，求證：C