機(jī)床工作臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析.pdf

2008年9月第36卷第9期機(jī)床與液壓MACHINETOOL&HYDRAULICSSep12008Vol136No19收稿日期:2007-12-05作者簡介:張會(huì)端(1972),女,博士研究生,主要研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)學(xué)。譚慶昌(1957),男,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)與控制。電話E-mail:tanqcjlu1edu1cn。機(jī)床工作臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析張會(huì)端,譚慶昌,裴永臣(吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長春130025)摘要:在考慮絲杠與螺母之間的接觸關(guān)系以及軸承支承剛度的情況下,利用拉格朗日方程建立了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,用振型疊加原理和隆格-庫塔法進(jìn)行求解,研究了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),按正交試驗(yàn)計(jì)算分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)的影響,優(yōu)化組合了系統(tǒng)參數(shù),為滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的選擇以及裝配調(diào)整提供了理論依據(jù),為提高工作臺(tái)軸向定位精度奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞:機(jī)床；動(dòng)力學(xué)；傳動(dòng)系統(tǒng)；參數(shù)優(yōu)化中圖分類號(hào):TB122文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1001-3881(2008)9-068-4TheDynamicAnalysisoftheWorktableofMachinesZHANGHuiduan,TANQingchang,PEIYongchen(CollegeofMechanicalScienceandEngineering,JilinUniversity,ChangchunJinlin130025,China)Abstract:Intheconditionofconsideringboththebearingstiffnessandthecontactdeformationbetweentheballscrewandthenut,dynamicmodeloftheballscrewdrivesystemofmachineswasestablishedusingLagrangeequation.ThemodelwasanalyzedbythemodesuperpositionandRunge2Kuttamethodtocalculatethetransientresponseofthesystem.Fromtheorthogonalexperiment,effectofthesystemparametersonaxialvibrationofthemachineworktablewasstudied,theoptimisticsystemparametersforthemini2mumvibrationwereobtained.Keywords:Machine；Dynamic；Drivesystem；Parameteroptimizing0引言機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)一般包括伺服電機(jī)、滾珠絲杠以及隨螺母做軸向往復(fù)運(yùn)動(dòng)的工作臺(tái)。隨著進(jìn)給速度和加工精度的提高,工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度和傳動(dòng)系統(tǒng)控制成為人們關(guān)注和研究的焦點(diǎn)1-4。研究傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)是利用控制技術(shù)提高工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度和定位精度的基礎(chǔ),特別是伺服電機(jī)越來越廣泛的應(yīng)用,使得傳動(dòng)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究越來越重要5。滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng),可以看作是帶有移動(dòng)質(zhì)量塊的梁的振動(dòng)。ArashYavari等6用離散單元研究了帶有移動(dòng)質(zhì)量塊的Timoshenko梁的橫向振動(dòng)。S1Zibdeh等7研究了Euler2Bernoulli梁、Rayleigh梁和Timoshenko梁在移動(dòng)的隨機(jī)力作用下的橫向振動(dòng)。P1Lee8研究了簡支條件下受移動(dòng)質(zhì)量塊作用的Timo2shenko梁的橫向振動(dòng),并與在移動(dòng)力作用下的橫向振動(dòng)做了比較。U1C1Cu和C1C1Cheng9研究了由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的帶有移動(dòng)質(zhì)量塊軸的扭轉(zhuǎn)和彎曲振動(dòng)。PaoloGallina10研究了帶有移動(dòng)螺母的絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)與縱向振動(dòng)。機(jī)床工作時(shí),工作臺(tái)受力如圖1所示:垂直于導(dǎo)軌底面的主切削力Pc,與吃刀方向相反的背向力Pr,沿x方向的進(jìn)給力Pe,工作臺(tái)移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力Ff。主切削力與背向力由機(jī)床導(dǎo)軌的底面及側(cè)面支承,因此,沿滾珠絲杠軸向受到的外力為工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間的摩擦力Ff以及工作臺(tái)受到的進(jìn)給力Pe,二者組成軸向力Pu通過工作臺(tái)作用到絲杠上。圖1傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖在滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)中,絲杠和螺母之間產(chǎn)生的軸向接觸變形和扭轉(zhuǎn)接觸變形,是導(dǎo)致絲杠產(chǎn)生縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的主要激勵(lì),引起螺母產(chǎn)生軸向位移,從而影響工作臺(tái)的定位精度,所以絲杠的縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是研究絲杠傳動(dòng)精度首先應(yīng)考慮的問題10-11。筆者考慮了絲杠與螺母之間的接觸變形以及軸承的支承作用,利用拉格朗日方程,建立了滾珠絲杠與質(zhì)量塊(即工作臺(tái))系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,利用振型疊加原理和隆格-庫塔法求解,分析了傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)的影響,獲得了使振幅減小的優(yōu)化參數(shù)組合,為滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和裝配提供了理論依據(jù),為提高工作臺(tái)定位精度奠定了基礎(chǔ)。1滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型圖2滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示,各參數(shù)含義見附錄。絲杠以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量塊沿x軸的位移s(t),包括絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)引起的軸向位移d、絲杠的扭轉(zhuǎn)變形引起的質(zhì)量塊的軸向位移(d,t)(忽略二階小量)、絲杠的軸向變形引起的質(zhì)量塊的軸向位移u(d,t),以及質(zhì)量塊在螺母與絲杠接合處的局部振動(dòng)位移qs,記為:s(t)=d+(d,t)+u(d,t)+qs(1)滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能表示為:T=12ms2+12L0A9u(x,t)9t2dx+12L0J+9(x,t)9t2dx(2)滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的勢能表示為:U=12L0EA9u(x,t)9x2dx+12L0GJ9(x,t)9x2dx+12kuq2s+12k(d,t)2+12ku1u(0,t)2+12ku2u(L,t)2+12k1(0,t)2+12k2(L,t)2(3)系統(tǒng)耗能函數(shù)表示為:D=12cuq2s+12c9(d,t)9t2+12cu1du(0,t)dt2+12cu2du(L,t)dt2+12c1+d(0,t)dt2+12c2+d(L,t)dt(4)系統(tǒng)外力為質(zhì)量塊所受摩擦力和進(jìn)給力的合力Pu,所做虛功表示為:Wu=Pus(5)由文獻(xiàn)12-13,設(shè)絲杠的縱向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移函數(shù)在時(shí)間和空間上可分離,并表示為:u(x,t)=U(x)qu(t)(6)(x,t)=(x)q(t)(7)將式(6)和(7)代入式(2)、(3)、(4)后,連同式(5),根據(jù)拉格朗日方程,并利用式(1),整理后得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:Mq+Cq+Kq=F(t)(8)其中:q=squqT,q,q分別代表加速度和速度,M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,F(t)為力向量。2絲杠的頻率方程與振型函數(shù)211絲杠的縱向振動(dòng)由文獻(xiàn)12-13,設(shè)絲杠縱向振型函數(shù)為:U(x)=Csinuaux+Dcosuaux(9)邊界條件為:EAdU(x)dxx=0-ku1U(0)=0(10)EAdU(x)dxx=L+ku2U(L)=0(11)其中:au=E,C、D為常數(shù)。將式(9)代入以上兩式,得:EACuau-ku1D=0(12)EACuaucosuauL-DuausinuauL+ku2CsinuauL+DcosuauL=0(13)令C=ku1au,由式(12)、(13)可得絲杠的縱向振動(dòng)頻率方程為:(E2A22u-ku1ku2a2u)sinuauL=EAuau(ku1+ku2)cosuauL(14)把C=ku1au和式(12)代入式(9),可得考慮軸承支承剛度的絲杠縱向振型函數(shù):U(x)=ku1ausinuaux+EAucosuaux(15)為使振型函數(shù)唯一,把振型函數(shù)正則化,即令2uL0AU2(x)dx=1(16)把式(15)代入式(16),得:2u=1Ak2u1a2u+E2A22u2L+au4u(E2A22u-k2u1a2u)sin2uauL+ku1EAa2u21-cos2uauL(17)則兩端軸承支承的絲杠縱向振動(dòng)正則振型為:U(x)=uku1ausinuaux+EAucosuaux(18)96第9期張會(huì)端等:機(jī)床工作臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析212絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)設(shè)絲杠扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振型函數(shù)為:(x)=Csinafx+Dcosafx(19)與縱向振動(dòng)同理,可得兩端軸承支承的絲杠扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率方程與正則振型為:(G2J22f-kf1kf2a2f)sinfafL=GJfaf(kf1+kf2)cosfafL(20)(x)=fkf1afsinfafx+GJfcosfafx(21)其中:af=G2f=1Jk2f1a2f+G2J22f2L+af4f(G2J22f-k2f1a2f)sin2fafL+kf1GJa2f21-cos2fafL3模型驗(yàn)證為驗(yàn)證本文傳動(dòng)系統(tǒng)模型的正確性,在方程(8)中,令s=0,(x,t)=0,ku1、k1,ku2=k2=0,m=0,ku=k=0,=0,不計(jì)阻尼,軸向力P(t)=Psint作用在桿的右端,則模型簡化為文圖3桿縱向振動(dòng)的對(duì)比獻(xiàn)14中一端固定、另一端自由的桿的縱向振動(dòng)。為與該文獻(xiàn)的結(jié)果對(duì)比,取P=200N、=2進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如圖3所示。圖中曲線吻合,說明本文建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(8)是正確的。4結(jié)果與分析把頻率及相應(yīng)的振型函數(shù)式(18)、(21)代入式(8),利用振型疊加原理和隆格-庫塔法求解方程,分析工作臺(tái)沿絲杠的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)式(1)可知,絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)引起的質(zhì)量塊位移s1=d為線性位移,而系統(tǒng)振動(dòng)引起的質(zhì)量塊位移s2=(d,t)+u(d,t)+qs為波動(dòng)位移,是影響定位精度的主要因素,所以下面分析傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)s2的影響。按正交試驗(yàn),利用L12(211)正交表,確定要分析的參數(shù)及其取值,見表1。根據(jù)表1的數(shù)據(jù),計(jì)算位移s2,分析各參數(shù)對(duì)質(zhì)量塊振幅的影響,結(jié)果見表2。由表可見,絲杠的導(dǎo)程越大,質(zhì)量塊s2的振幅越小；質(zhì)量塊的質(zhì)量越小,振幅越??；質(zhì)量塊與絲杠連接的軸向接觸剛度越大,扭轉(zhuǎn)剛度越小,質(zhì)量塊振幅越??；絲杠兩端的軸承縱向支承剛度越大,扭轉(zhuǎn)剛度越小,質(zhì)量塊的振幅越??；而系統(tǒng)各連接處的阻尼和系統(tǒng)所受的軸向力對(duì)質(zhì)量塊的振幅影響不大。表1按正交試驗(yàn)選取的系統(tǒng)參數(shù)及其取值取值參數(shù)ku1=ku2/(Nm-1)k1=k2/(Nrad-1)ku/(Nm-1)k/(Nrad-1)m/kgh/mmcu/(Nsm-1)c/(Nsrad-1)cu1=cu2/(Nsm-1)c1=c2/(Nsrad-1)Pu/N140001002000400300815050200304002600020030008005001030010040060800表2各參數(shù)對(duì)質(zhì)量塊振幅影響的分析結(jié)果10-4m參數(shù)1234567891011s2j131222179316221882131416421822198218921902193s2j221763119213631103167113431163100310931083105Rj01460140112601221136313001340102012001180112優(yōu)值21211211111主次參數(shù)4537216118910注:s2j1、s2j2為各參數(shù)取不同值時(shí),質(zhì)量塊振幅的極差分析的均值；Rj為各參數(shù)的極差。根據(jù)減小s2的幅值,提高工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度的原則,通過正交計(jì)算分析,確定傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化組合:ku1=ku2=6000N/m；k1=k2=100N/rad；ku=3000N/m；k=400N/rad；m=300kg；h=10mm；cu=150N/rad；c=50N/rad,cu1=cu2=200Ns/m；c1=c2=30Ns/rad；Pu=400N。按優(yōu)化參數(shù)計(jì)算質(zhì)量塊的振動(dòng)曲線,如圖4所示。質(zhì)量塊在最初的波動(dòng)之后很快趨于平穩(wěn),且振幅較小,說明通過調(diào)整傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù),可以使工作臺(tái)處于比較平穩(wěn)的軸向移動(dòng)狀態(tài)。圖4質(zhì)量塊的優(yōu)化振動(dòng)曲線07機(jī)床與液壓第36卷5結(jié)論筆者利用拉格朗日方程建立了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,用振型疊加原理和隆格-庫塔法求解,研究了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)質(zhì)量塊軸向振動(dòng)的影響,并優(yōu)化了系統(tǒng)參數(shù)組合。為了減小工作臺(tái)軸向位移的波動(dòng),提高定位精度,設(shè)計(jì)或裝配傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí),在滿足其它條件的前提下,應(yīng)遵循以下原則:增大絲杠導(dǎo)程；減小工作臺(tái)的質(zhì)量；增大絲杠兩端軸承的縱向支承剛度,減小扭轉(zhuǎn)支承剛度；增大螺母與絲杠連接的縱向剛度,減小扭轉(zhuǎn)剛度。參考文獻(xiàn)【1】AminKamalzadeh,KaanErkorkmaz.Accuratetrackingcontrollerdesignforhigh2speeddrivesJ.InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2007,47:1393-1400.【2】DominicSGuecarra,AkiraKyusojin.Developmentofanewlappingmethodforhighprecisionballscrew(2ndre2port)DesignandexperimentstudyofanautomaticlappingmachinewithinprocesstorquemonitoringsystemJ.JournaloftheInternationalSocietiesforprecisionEngi2neeringandNanotechnology,2002,26:389-395.【3】R1Whalley,M1Ebrahimi,A1A1Abdul2Ameer.HybridmodelingofmachinetoolaxisdriveJ.JournalofMa2chineToolandManufacture,2005,45:1560-1576.【4】Min2SeokKim,Sung2ChongChung.Integrateddesignmethodologyofball2screwdrivenservomechanismswithdiscretecontrollersPart1Modelingandperformanceanaly2sisJ.Mechatronics,2006,16:491-502.【5】H1Diken.Dynamicbehaviorofacoupledelasticshaft2elasticbeamssystemJ.JournalofSoundandVibra2tion,2006,293:1-15.【6】ArashYavari,MostafaNouri.DiscreteelementanalysisofdynamicresponseofTimoshenkobeamsundermovingmassJ.AdvanceinEngineeringSoftware,2002,33:143-153.【7】H1S1Zibdeh,H1S1Juma.DynamicresponseofarotatingbeamsubjectedtoarandommovingloadJ.JournalofSoundandVibration,1999,223(5):741-758.【8】H1P1Lee.DynamicresponseofaTimoshenkobeamonwinklerfoundationsubjecttoamovingmassJ.Ap2pliedAcoustics,1998,55(3):203-205.【9】U1C1Cu,C1C1Cheng.Vibrationanalysisofahigh2speedspindleundertheactionofamovingmassJ.JournalofSoundandVibration,2004,278:1131-1146.【10】PaoloGallina.Vibrationinscrewjackmechanisms:exp2erimentalresultsJ.JournalofSoundandVibration,2005,282:1025-1041.【11】王培功,彭偉,等.數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)J.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2005(8):101-103.【12】