線性代數(shù)課件2.ppt

1、第二章 線性方程組,第一節(jié) 高斯消元法,第二節(jié) n維向量,第三節(jié) 矩陣的秩,第四節(jié) 線性方程組解的一般理論,線性代數(shù) 第二章 線性方程組,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,第一節(jié) Gauss消元法,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,例：求解下列線性方程組：,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,用Gauss消元法可以解一般的線性方程組（*），消元的結(jié)果得到一個與原方程組同解的“標準”的階梯形方程組或出現(xiàn)矛盾式，可得如下一般形式：,（其中r為階梯形方程組中方程式的個數(shù)。）,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,由階梯

2、形方程組知原方程組（*）的解有以下三種情況：,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,分析Gauss消元法的過程，可以看出，我們對方程組作了以下三種變換： （1）將一個方程兩邊同時乘以一個非零常數(shù)； （2）將兩個方程位置調(diào)換； （3）將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上。 這三種變換統(tǒng)稱為方程組的初等變換，也稱為同解變換。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,為書寫方便，可將未知元，加號以及等號省略，只寫方程組（*）的系數(shù)和常數(shù)項，排出如下數(shù)表：,增廣矩陣,系數(shù)矩陣,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) G

3、auss消元法,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,一個線性方程組與其增廣矩陣相對應(yīng)，方程組中的每個方程與增廣矩陣的一行相對應(yīng)，因而方程組的三種初等變換對應(yīng)于矩陣的下述三種行初等變換： （1）將矩陣的一行乘以一個非零常數(shù)， （2）將矩陣的兩行互換； （3）將矩陣一行的倍數(shù)加到另一行上。,矩陣經(jīng)初等變換可化為階梯形矩陣。所謂行階梯陣，即為滿足以下兩個條件的矩陣： （1）該矩陣如果有零行（元素全為零的行），那么零行位于最下方； （2）非零行的非零首元（自左至右第一個不為零的元素） 的列標隨行標遞增。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,將方程組消元成階梯形方

4、程組就對應(yīng)為將增廣矩陣用行初等 變換化為階梯形矩陣，即：,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第1節(jié) Gauss消元法,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,第二節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,向量加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，滿足下列八條運算規(guī)律：,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,此例的結(jié)果表明了向量的線性表出關(guān)系具有傳遞性。,線性代數(shù) 第二章

5、 線性方程組 第2節(jié) n維向量,二、向量的相關(guān)性,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,注：由推論2逆否命題可知，若一個向量組線性無關(guān)，那么它的任一部分組均線性無關(guān)。,例5、若一個向量組中包含零向量，則這個向量組線性相關(guān)。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,三維空間中向量線性相關(guān)性的幾何意義。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,三、向量組的秩,定義、一個向量組的一個部分組稱為極大線性無關(guān)組。如果這個部分組是線性無關(guān)

6、的，而且從這向量組的其余向量（如果有的話）中任取一個添進去，所得的新的向量組都線性相關(guān)。,注2：若一個向量組是線性無關(guān)的，那么極大線性無關(guān)組即為其本身。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,關(guān)于極大線性無關(guān)組有如下結(jié)論：,1）一個向量組與它的極大線性無關(guān)組等價。,2）一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組等價。,3）一個向量組的極大線性無關(guān)組中必含有相同個數(shù)的向量。,定義、一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為 這個向量組的秩。,向量組秩的結(jié)論：,2）一個向量組的秩必大于或等于它任一部分組的秩。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,例6、若一個向量組的秩為r，則在向量

7、組內(nèi)，任意r個線性 無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個極大線性無關(guān)組。 （書P65/18）,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第2節(jié) n維向量,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,第三節(jié) 矩陣的秩,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,一、矩陣秩的概念,例1 試求下列矩陣的秩,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,二、矩陣秩的計算,注：一個階梯形矩陣的秩等于它的不為零的行數(shù)。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,定理1、矩陣經(jīng)過初等變換，它的秩不變。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,三、矩陣的秩與向量

8、組秩的關(guān)系,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第3節(jié) 矩陣的秩,定理2、矩陣的秩等于它的行向量組的秩,推論1、矩陣的秩等于它的列向量組的秩,推論2、將矩陣A用行初等變換化為B，則A的列向量組的任一 部分組與B的列向量組對應(yīng)的部分組有相同的線性相關(guān)性。,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,第四節(jié) 線性方程組解的一般理論,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,一、線性方程組解的存在定理,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,特別地對于齊次方程組有如下結(jié)論（A為系數(shù)矩陣）,例：書第57頁例2,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,二、線性方程組解的性質(zhì),將線性方程組(*)的常數(shù)項均改為零，未知數(shù)系數(shù)不變， 得一齊次線性方程組(*)：,稱之為線性方程組(*)相應(yīng)的齊次線性方程組，或稱為 線性方程組(*)的導(dǎo)出組,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,線性方程組的解有以下性質(zhì)：,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論,線性代數(shù) 第二章 線性方程組 第4節(jié) 線性方程組解的一般理論