長安大學(xué)《測量學(xué)》第六章 測量誤差的基本理論.ppt

1、第六章 測量誤差的基本理論,長安大學(xué)公路學(xué)院,6-1 概述,一、測量誤差的概念 人們對客觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識總會存在不同程度的誤差。這 種誤差在對變量進(jìn)行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測 量誤差。 二、觀測與觀測值的分類 1同精度觀測和不同精度觀測 在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設(shè)備，用 相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水 平的人所進(jìn)行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度 觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀 測值稱為不同（不等）精度觀測值。,6-1 概述,二、觀測與觀測值的分類 2直接觀測和間接觀測 為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測，即被觀測

2、量就是所求未 知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。通過被 觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測稱為間接觀 測，觀測值稱為間接觀測值。 3獨(dú)立觀測和非獨(dú)立觀測 各觀測量之間無任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測，稱為獨(dú) 立觀測，觀測值稱為獨(dú)立觀測值。若各觀測量之間存在一定 的幾何或物理?xiàng)l件的約束，則稱為非獨(dú)立觀測，觀測值稱為 非獨(dú)立觀測值。,6-1 概述,三、測量誤差及其來源 1測量誤差的定義 真值：客觀存在的值“X”（通常不知道） 真誤差：真值與觀測值之差，即：真誤差=真值-觀測值 2測量誤差的反映 測量誤差是通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來的。 3測量誤差的來源 （1）測量儀器：

3、儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。 （2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。 （3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等。,6-1 概述,四、測量誤差的種類 按測量誤差對測量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測量誤差分為 系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。 1系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行的一系列觀測中，數(shù)值大 小和正負(fù)符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 (計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校),例： 誤差 處理方法 鋼尺尺長誤差ld 計(jì)算改正 鋼尺溫度誤差lt 計(jì)算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng) 操作時(shí)抵消(前后視等距) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C 操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

4、 ,6-1 概述,四、測量誤差的種類 2偶然誤差 在相同的觀測條件下對某量進(jìn)行一系列觀測，單個(gè)誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差 。,6-1 概述,四、測量誤差的種類 幾個(gè)概念: 準(zhǔn)確度：(測量成果與真值的差異，取決于系統(tǒng)誤差的大小） 精（密）度：(觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大小） 最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）； 測量平差：（求解最或是值并評定精度）。,6-1 概述,五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 例如，在相同條件下對某一個(gè)平面三

5、角形的三個(gè)內(nèi)角重復(fù)觀 測了358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個(gè) 內(nèi)角觀測值之和一般不等于180，按下式算得三角形各次 觀測的真誤差i，然后對三角形閉合差i進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。,6-1 概述,6-1 概述,五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 偶然誤差的四個(gè)特性： （1）有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的； （2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大； （3）對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等； （4）補(bǔ)償性：在相同

6、條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即,6-1 概述,五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)： 頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。 頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。 各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后 的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差 的普遍規(guī)律。,6-1 概述,五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)： 當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n)、誤差區(qū)間d無限縮小(d0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又

7、稱為“高斯誤差分布曲線”。 所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。,6-1 概述,五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 偶然誤差處理方式,6-2 衡量精度的指標(biāo),一、精度 精確度是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。 對基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價(jià)該組觀測值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。 二、中誤差 某觀測值真值X已知；（設(shè)在相同觀測條件下，對任一個(gè)未 知量進(jìn)行了n次觀測，其觀測值分別為 、 ，n個(gè)觀測值 的真誤差 、 、 。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反 映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個(gè)真誤差的平方和 的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即,6-2 衡量精度的

8、指標(biāo),二、中誤差 某觀測值真值X已知；（設(shè)在相同觀測條件下，對任一個(gè)未 知量進(jìn)行了n次觀測，其觀測值分別為 、 ，n個(gè)觀測值 的真誤差 、 、 。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反 映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個(gè)真誤差的平方和 的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即 m稱為中誤差，m小精度高；m大精度低。n觀測值個(gè)數(shù) 真誤差,6-2 衡量精度的指標(biāo),二、中誤差 例:設(shè)有甲、乙兩個(gè)小組，對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9次觀 測，分別求得其真誤差為： 甲組： 乙組： 試比較這兩組觀測值的中誤差。 解： 說明乙組的觀測精度比甲組高。,6-2 衡量精度的指標(biāo),三、容許誤差 根據(jù)誤差分布的密

9、度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為： 誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為： 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在 一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 ； P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 ,6-2 衡量精度的指標(biāo),三、容許誤差 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在 一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 ； P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差： |容|=

10、3|m| 或 |容|=2|m,6-2 衡量精度的指標(biāo),四、相對誤差(相對中誤差) 中誤差絕對值與觀測量之比。 用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。 分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。 例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.03m。計(jì)算S1、S2的相對誤差。 解： K2K1，所以距離S2精度較高。,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,一、算術(shù)平均值 設(shè)在相同的觀測條件下，對某未知量進(jìn)行了n 次觀 測，得n個(gè)觀測值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值 為x：,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,一、算術(shù)平均值 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則

11、各觀測值的真誤差為： 當(dāng)觀測次數(shù)無限多時(shí)，觀測值的算術(shù)平均值就是該量的真 值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時(shí)，觀測值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,二、觀測值改正數(shù) 未知量的最或是值x與觀測值li之差稱為觀測值改正 數(shù)vi，即,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,三、由觀測值改正數(shù)計(jì)算觀測值中誤差,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,三、由觀測值改正數(shù)計(jì)算觀測值中誤差,6-3 算術(shù)平均值及其中誤差,四、算術(shù)平均值中誤差 算術(shù)平均值的中誤差Mx，可由下式計(jì)算:,6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 定義：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定

12、律。 ? 如何由觀測值精度評定觀測值函數(shù)精度,6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差,為獨(dú)立觀測值,設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差,對(a)全微分：,由于 和 是一個(gè)很小的量，可代替上式中的 和 ：,(b),(c),6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差,令 的系數(shù)為 ， (c)式為：,6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差,(e),(f),對K個(gè)(e)式取總和：,(g),6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差,由偶然誤差的抵償性知：,(g),(h),6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差,(h),(

13、6-10),上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。,6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差 求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式； 2.對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。,6-4 誤差傳播定律,一、誤差傳播定律 一般函數(shù)的中誤差 中誤差傳播公式,6-4 誤差傳播定律,二、誤差傳播定律的應(yīng)用 例1：在1：500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離，其中誤差， 求該兩點(diǎn)間的地面水平距離D的值及其中誤差。 解:,6-4 誤差傳播定律,二、誤差傳播定律的應(yīng)用 例2：設(shè)對某一個(gè)三角形觀測了其中，兩個(gè)角，測角中誤差分別為， ，試求角的中誤差。 解：,6-4 誤

14、差傳播定律,二、誤差傳播定律的應(yīng)用 例3：試推導(dǎo)出算術(shù)平均值中誤差的公式： 解：,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,一、權(quán) 定義：在計(jì)算不同精度觀測值的最或然值時(shí)，精 度高的觀測值在其中占的“比重”大一些，而精度低 的觀測值在其中占的“比重”小一些。這里，這個(gè)“比 重”就反映了觀測的精度。“比重”可以用數(shù)值表示， 在測量工作中，稱這個(gè)數(shù)值為觀測值的“權(quán)”。 定義公式：設(shè)以Pi表示觀測值li的權(quán)，則權(quán)的定 義公式為：,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,一、權(quán) 是權(quán)等于1的觀測值的中誤差，通常稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，權(quán)為1的觀測值為單位權(quán)觀測值。 為單位權(quán)觀測值的中誤差，簡稱為單位權(quán)中誤差。 權(quán)與中誤差的平方成反比，即

15、精度愈高，權(quán)愈大 。,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,二、權(quán)的性質(zhì) （1）權(quán)是相對性數(shù)值，表示觀測值的相對精度。 （2）權(quán)與中誤差平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表示觀測值越可靠，精度越高。 （3）權(quán)始終取正號。 （4）對于單一觀測值而言，權(quán)無意義。 （5）權(quán)的大小隨的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變。 （6）在同一個(gè)問題中只能選定一個(gè)li值，不能同時(shí)選用幾個(gè)不同的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,三、測量中常用的確權(quán)方法 1同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán) 設(shè)一次觀測的中誤差為m，n次同精度觀測值的算術(shù)平均值的中誤差 。則一次觀測值的權(quán)為：,算術(shù)平均值的權(quán)為：,6-5 權(quán)及加

16、權(quán)平均值,三、測量中常用的確權(quán)方法 1同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán) 對于中誤差為mi的觀測值（或觀測值的函數(shù)），其權(quán)Pi為: 則相應(yīng)的中誤差的另一表示式可寫為:,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,三、測量中常用的確權(quán)方法 2權(quán)在水準(zhǔn)測量中的應(yīng)用 設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m站， 則不同測站數(shù)的水準(zhǔn)路線觀測高差的中誤差為： 取c個(gè)測站的高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即 則各水準(zhǔn)路線的權(quán)為,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,三、測量中常用的確權(quán)方法 3權(quán)在距離丈量工作中的應(yīng)用 設(shè)單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為 s公里的丈量中誤差為 。 取長度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即， 則得距離丈量的權(quán)為：,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,四、加權(quán)平均值及中誤差 1加權(quán)平均值 設(shè)對某未知量進(jìn)行了n次不同精度觀測，觀測值 為L1、L2、Ln，其相應(yīng)權(quán)為P1、P2、Pn。,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,四、加權(quán)平均值及中誤差 1加權(quán)平均值 看p129頁例6-8,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,四、加權(quán)平均值及中誤差 2. 加權(quán)平均值中誤差,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,四、加權(quán)平均值及中誤差 2. 加權(quán)平均值中誤差,6-5 權(quán)及加權(quán)平均值,四、加權(quán)平均