教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章.ppt

1、,第三章 集中量第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)第二節(jié) 中位數(shù)第三節(jié) 眾數(shù)第四節(jié) 加權(quán)平均數(shù) 幾何平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù),一、算術(shù)平均數(shù)的概念 算術(shù)平均數(shù)是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值的總和除以數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)所得的商。簡(jiǎn)稱平均數(shù)、均數(shù)或均值，用 （讀X杠）表示。,（3.1）,第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù),二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 1.原始數(shù)據(jù)計(jì)算法,例1 某班選八名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分別為82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成績(jī)。 解：把n=8，X1=82,X8=93代入公式（3.1），得,2.頻數(shù)分布表計(jì)算法,例2：P26,例3 某年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平

2、均成績(jī)分別為90分，85分，88分，92分，求年級(jí)的平均成績(jī)。,解：由公式（3.2）得,例4 某班50人外語(yǔ)期末考試成績(jī)的次數(shù)分布如下，求全班學(xué)生的平均成績(jī)。,表3-1 某班50人外語(yǔ)成績(jī)次數(shù)分布表,解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.2），得,說(shuō)明：利用次數(shù)分布求得的算術(shù)平均數(shù)是一個(gè)近似值。因?yàn)槲覀兿燃僭O(shè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，利用各組中值分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實(shí)際不符，把這一誤差叫分組誤差(P26)。,三、算數(shù)平均數(shù)的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn),1、算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的一些條件 （1）反應(yīng)靈敏 （2）嚴(yán)密確定 （3）簡(jiǎn)明易懂，計(jì)算方便 （4）適合代數(shù)運(yùn)算 （5）受抽樣變動(dòng)的影響較小,2

3、、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn) （1）只知一組觀測(cè)值的總和及總頻數(shù)即可求出； （2）用加權(quán)法可以求出幾個(gè)平均數(shù)的總平均數(shù)； （3）用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量時(shí)，算術(shù)平均數(shù)最接近總體集中量的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值； （4）在計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都要用到它。,3、算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn) （1）易受兩極端數(shù)值的影響； （2）有個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清時(shí)，無(wú)法計(jì)算,綜上知，算術(shù)平均數(shù)的適用條件是：一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠；無(wú)兩極端數(shù)值的影響。,一、中位數(shù)的概念及適用條件 1. 概念 中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用Md表示。它是將一組有序數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分為相等兩部分的

4、那個(gè)數(shù)據(jù)，它可能是原始數(shù)據(jù)中的一個(gè)，也可能是通過(guò)計(jì)算得到的一個(gè)數(shù)。,第二節(jié) 中位數(shù),2. 適用條件 (1) 當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時(shí)。 (2) 當(dāng)一組有序數(shù)據(jù)兩端有個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時(shí)。 (3) 當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。,二、中位數(shù)的計(jì)算方法 1. 原始數(shù)據(jù)計(jì)算法 一組數(shù)據(jù)未分組，先排序，中位數(shù)取決于數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則以第（N+1）/2個(gè)位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則取居中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第（N+1）/2處作為中位數(shù)的位置，其位置左右兩數(shù)據(jù)的平均值即為中位數(shù)。,例如求80，93，90，81，85

5、，88，92，84的中位數(shù)。 先排序： 80，81，84，85，88，90，92，93 再求(N+1)/2=4.5，這說(shuō)明中位數(shù)的位置在第四個(gè)和第五個(gè)數(shù)的中間，即 Md=(85+88)/2=86.5,（二）頻數(shù)分布表計(jì)算法 對(duì)分組數(shù)據(jù)常將n/2位置對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)看成中位數(shù)。,計(jì)算公式為：,中位數(shù)所在組的下限 總頻數(shù) 小于中位數(shù)所在組下限的頻數(shù)總和 頻數(shù)分布表上的組距 中位數(shù)所在組的頻數(shù),中位數(shù)所在組的上限 總頻數(shù) 大于中位數(shù)所在組上限的頻數(shù)總和 頻數(shù)分布表上的組距 中位數(shù)所在組的頻數(shù),以表3-2為例，說(shuō)明中位數(shù)的計(jì)算.,表3-2 48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)分布表,2. 百分位數(shù)的計(jì)算方法 在頻數(shù)分布表

6、上用內(nèi)插法計(jì)算百分位數(shù)，計(jì)算公式為,三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法 1. 百分位數(shù)的概念 百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值一般用Pp表示。 如第70百分位數(shù)（P70）就是依從小到大排列的一組數(shù)據(jù)中小于此數(shù)值有70%個(gè)頻數(shù)，大于此數(shù)值有30%個(gè)頻數(shù)的那個(gè)數(shù)值。 中位數(shù)就是第50百分位數(shù)。,（3.5）,百分位數(shù) 與百分位數(shù)相對(duì)應(yīng)的比數(shù) 總頻數(shù) 百分位數(shù)所在組的下限 小于百分位數(shù)所在組下限的頻數(shù)總和 百分位數(shù)所在組的頻數(shù) 組距,例如表32資料的第30百分位數(shù)Pp=P30=74,表3-2 48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)分布表,第三節(jié) 眾 數(shù),一、眾數(shù)的概念（用Mo表示） 1.理論眾數(shù)

7、：與頻率分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)。 2.粗略眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)。 實(shí)際中，一般求理論眾數(shù)的近似值，或直接尋找粗略眾數(shù)。,二、眾數(shù)的計(jì)算方法 1.用觀察法直接尋找粗略眾數(shù) 在一組原始數(shù)據(jù)中，頻數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)值就是眾數(shù)。,例如：2、4、3、6、4、5、4,在頻數(shù)分布表中，頻數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。例如下表的數(shù)據(jù)的粗略眾數(shù)為Mo=77.5。,表3.3 50個(gè)學(xué)生語(yǔ)文分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表,2.用公式求理論眾數(shù)的近似值 （1）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法 只有當(dāng)頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)，才能使用。,表3.3 50個(gè)學(xué)生語(yǔ)文分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表,（1）金氏插補(bǔ)法 當(dāng)頻數(shù)分布呈偏態(tài)，即

8、眾數(shù)所在組以上各組頻數(shù)總和相差較多時(shí)，可以使用金氏插補(bǔ)法。,眾數(shù)所在組的下限 大于眾數(shù)所在組上限那個(gè)相鄰組的頻數(shù) 小于眾數(shù)所在組下限那個(gè)相鄰組的頻數(shù) 組距,例如：下表數(shù)據(jù),表3.4 66個(gè)學(xué)生作文分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表,二、眾數(shù)的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn) 眾數(shù)雖然簡(jiǎn)明易懂，較少受兩極端數(shù)值的影響，但它并不具備一個(gè)良好集中量數(shù)的基本條件。如極不準(zhǔn)確、穩(wěn)定，反應(yīng)不靈敏，不適合代數(shù)運(yùn)算，受抽樣的影響較大等。因此，在一般情況下，眾數(shù)應(yīng)用也不廣泛，但在一些特殊情況下也常有應(yīng)用。 眾數(shù)適用的情況 （1）當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)； （2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)； （3）當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時(shí)；

9、（4）當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)。,1.當(dāng)次數(shù)分布呈正態(tài)時(shí)： 2.當(dāng)次數(shù)分布呈正偏態(tài)時(shí)： 且 3.當(dāng)次數(shù)分布呈負(fù)偏態(tài)時(shí)： 且,四、算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的關(guān)系,補(bǔ)充：平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的比較 1.從對(duì)數(shù)據(jù)次數(shù)分布形態(tài)的適用性來(lái)看 對(duì)稱分布：平均數(shù) 非對(duì)稱分布：中位數(shù)、眾數(shù) 2.從計(jì)算的精確性看 平均數(shù)最精確、中位數(shù)次之、眾數(shù)最差 3.從對(duì)統(tǒng)計(jì)分析的適用性看 平均數(shù)既可作描述統(tǒng)計(jì)量，又可作推論統(tǒng)計(jì)量。中位數(shù)與眾數(shù)常用作描述統(tǒng)計(jì)量。,第四節(jié) 加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù),一、加權(quán)平均數(shù),加權(quán)平均數(shù)的概念 加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，用 或 表示。 加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方

10、法一 式中為權(quán)數(shù),加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用 當(dāng)測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，其單位權(quán)重并不相等時(shí)，要用加權(quán)平均數(shù)來(lái)求平均數(shù)。,例如，一個(gè)學(xué)生某門學(xué)科期中測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)?2分，期末測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)?6分，而期中與期末分?jǐn)?shù)之比為4:6，求此門課程學(xué)期總平均成績(jī)。,加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法二,例如，小學(xué)三年級(jí)英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)，甲班32人平均分72.6，乙班40人平均分為80.2，丙班36人平均分為75，求全年級(jí)英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)總平均分?jǐn)?shù)。,二、幾何平均數(shù) （一）概念 它是n個(gè)數(shù)值連乘積的n次方根，用符號(hào) 表示,計(jì)算公式為,（二）應(yīng)用時(shí)機(jī) 1、求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)。 2、一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)偏態(tài)，求平均數(shù)時(shí)。

11、3、在教育上，主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠?xiàng)目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)。,例6 求2，8，32，125，502的幾何平均數(shù)。 解：由于這組數(shù)屬于近似等比數(shù)列，直接利用公式，得,=31.72,例7 已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增長(zhǎng)率。,解：先求出平均發(fā)展速度,然后用公式：平均增長(zhǎng)率=平均發(fā)展速度-1，求出年平均增長(zhǎng)率。,平均增長(zhǎng)率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增長(zhǎng)率為9%。,只用首末項(xiàng)求幾何平均數(shù) 設(shè)a0,a1,an是n個(gè)年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0是初期量， an是末期量。X1,X2,Xn為各年度發(fā)展速度

12、，即,（3.6）,例8 某重點(diǎn)高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長(zhǎng)率。,表3-2 某高中招生人數(shù)統(tǒng)計(jì)表,解：由于a0=594,an=700,n=5, 所以年平均發(fā)展速度為,故年平均增長(zhǎng)率為（10.3-1)*100%=3%,例9 某校辦工廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬(wàn)元，該廠計(jì)劃以年平均增長(zhǎng)率為5%的速度遞增，試估計(jì)到2004年該廠可創(chuàng)產(chǎn)值多少萬(wàn)元。,解：,an=a0(1+平均增長(zhǎng)率)n =10（1+0.05）20=26.53（萬(wàn)元）,調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用 調(diào)和平均數(shù)在心理與教育研究方面的應(yīng)用，主要是用以描述學(xué)習(xí)速度方面的問(wèn)題。,三、調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)的概念 調(diào)和平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)

13、倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，亦稱倒數(shù)平均數(shù)。用 表示。,例如：一個(gè)學(xué)生閱讀兩頁(yè)書(shū)，讀前一頁(yè)的速度是每小時(shí)20頁(yè)，讀后一頁(yè)的速度是每小時(shí)40頁(yè)，問(wèn)平均每小時(shí)閱讀速度是多少？,如果用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算該生閱讀速度，則每小時(shí)為30頁(yè)，即：,但與實(shí)際情況不符，因?yàn)?讀第一頁(yè)用時(shí) （分），讀第二頁(yè)用時(shí) （分） 兩頁(yè)共用 （分）。,如果用算術(shù)平均數(shù)每小時(shí)為30頁(yè)的閱讀速度，則 分鐘應(yīng)當(dāng)閱讀 （頁(yè)），而實(shí)際只讀了2頁(yè)。,調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式 調(diào)和平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，用公式 可表示為：,利用此公式求出上例平均閱讀速度，并驗(yàn)證其合理性。,即每小時(shí)讀 頁(yè)，每分鐘則讀 頁(yè)， 分鐘 就讀 頁(yè)，恰與事實(shí)相符。,又如：4個(gè)學(xué)生每小時(shí)解題數(shù)目分別為3、4、6、8。問(wèn)平均每小時(shí)解題速度如何？,調(diào)和平均數(shù)可這樣解釋