初三數(shù)學(xué) 圓的性質(zhì)定理.docx

1、 初三數(shù)學(xué) 圓的性質(zhì)定理1、圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.3、垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.4、垂徑定理的應(yīng)用：用直尺和圓規(guī)平分一條弧.作法是過圓心作弧所對弦的垂線，理由是垂徑定理；在利用垂徑定理計(jì)算或證明時(shí)，我們通常將其化為一個(gè)直角三角形的邊和角，這個(gè)特殊直角三角形的三邊分別是半徑、弦的一半和圓心到弦的垂線段.例1、如圖，已知以點(diǎn)O為公共圓心的兩個(gè)同心圓，大圓的弦AD交小圓于B、C.(1)求證：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圓環(huán)的面積.

2、 1.圓周角定義：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 2.圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半. 3.推論：同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧一定相等.半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 4圓的內(nèi)接四邊形：定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).例2、如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求O的

3、半徑. 1、 如圖，已知AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)P，CD=10cm，APPB=15，那么O的半徑是（） 2、圓的半徑為13cm，兩弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB、CD的距離是（）A7cm B17cm C12cm D7cm或17cm3、如下圖所示，AB是O的一條固定直徑，它把O分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn)C作弦CDAB，OCD的平分線交O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括A、B兩點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P（）A到CD的距離保持不變 B位置不變 C平分 D隨點(diǎn)C的移動(dòng)而移動(dòng) 4、如上中圖，BD是O的直徑，弦AC、BD相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不成立的是（）AABD=ACD B C

4、BAE=BDC DABD=BDC5、如上右圖，O的直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G，EOD=40，則DCF等于（）A80 B50 C40 D206、如下圖，A、B、C是O上三點(diǎn)，ACB=40，則ABO等于_度 7、如上左二圖，ABC的頂點(diǎn)都在O上，C=30，AB=2cm，則O的半徑為_cm8、如上左三圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是經(jīng)過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與O、A、B不重合），則OAB=_，OPB=_9、如右上圖，ABC內(nèi)接于O，B=OAC，OA=8cm，則AC=_cm10、如圖，ABC內(nèi)接于O，BAC=120，AB=AC，BD為O的直徑，AD=6，則BC=_11、

5、如圖，O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距離為求O的半徑及O到CD的距離 解：過點(diǎn)O作OMAB于點(diǎn)M，ONCD于點(diǎn)N則四邊形OMEN是矩形，ON=EM連接OB，MB=AMBE=13cmME=BEBM=4cmON=4cm在RtOMB中，故O的半徑為11cm，O到CD的距離為4cm12、如圖，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為正方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此時(shí)貨船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由 13、如圖，AB為O的直徑，BD是O的弦，延長到C，使BDDC，連接AC交O于點(diǎn)F，點(diǎn)F不與點(diǎn)A重

6、合（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）按角的大小分類，請你判斷ABC屬于哪一類三角形，并說明理由 一、確定圓的條件(1)因?yàn)樽鲌A實(shí)質(zhì)上是確定圓心和半徑，要經(jīng)過已知點(diǎn)A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來所以以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A所連的線段為半徑就可以作一個(gè)圓由于圓心是任意的因此這樣的圓有無數(shù)個(gè)如圖(1) (2)已知點(diǎn)A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑因此圓心到A、B的距離相等根據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，則圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線上在AB的垂直平分線上任意取一點(diǎn)，都能滿足到A、B兩點(diǎn)

7、的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)都可以作為圓心，這點(diǎn)到A的距離即為半徑，圓就確定下來了由于線段AB的垂直平分線上有無數(shù)點(diǎn)，因此有無數(shù)個(gè)圓心，作出的圓有無數(shù)個(gè)如圖(2)(3)要作一個(gè)圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，就是要確定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，使它到三點(diǎn)的距離相等因?yàn)榈紸、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點(diǎn)滿足到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，就是所作圓的圓心因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，所以只有一個(gè)圓心，即只能作出一個(gè)滿足條件的圓過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓2、經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，外接

8、圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形因?yàn)楫媹A的關(guān)鍵是確定圓心和半徑，所以作三角形的外接圓時(shí)，只要找三邊垂直平分線的交點(diǎn)，這就是圓心，以這點(diǎn)到三角形任一頂點(diǎn)間的距離為半徑就可作出三角形的外接圓3、利用尺規(guī)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法作法圖示1連結(jié)AB、BC2分別作AB、BC的垂直平分線DE和FG，DE和FG相交于點(diǎn)O3以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O就是所要求作的圓例1、已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點(diǎn)？（1） （2）（3） 例3、如圖，點(diǎn)A、B、C表示三個(gè)村莊，現(xiàn)要建一座深水井泵站，

9、向三個(gè)村莊分別送水，為使三條輸水管線長度相同，水泵站應(yīng)建在何處？請畫出圖，并說明理由1、下列關(guān)于外心的說法正確的是（）A外心是三個(gè)角的平分線的交點(diǎn) B外心是三條高的交點(diǎn)C外心是三條中線的交點(diǎn) D外心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2、下列條件中不能確定一個(gè)圓的是（）A圓心和半徑B直徑 C三角形的三個(gè)頂點(diǎn)D平面上的三個(gè)已知點(diǎn)3、三角形的外心具有的性質(zhì)是（）A到三邊的距離相等B到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 C外心在三角形外D外心在三角形內(nèi)4、等腰三角形底邊上的中線所在的直線與一腰的垂直平分線的交點(diǎn)是（）A重心B垂心 C外心D無法確定5、如圖所示，在55正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）A點(diǎn)PB點(diǎn)Q C點(diǎn)RD點(diǎn)M6、如圖，是ABC的外接圓，BAC=30，BC=2 cm ，則O