2012年理科高考試題分類匯編：圓錐曲線

1、2012理科高考試題分類匯編：圓錐曲線一、選擇題1 （2012年高考（新課標理）等軸雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,與拋物線的準線交于兩點,;則的實軸長為（）ABCD2 （2012年高考（新課標理）設是橢圓的左、右焦點,為直線上一點,是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD3 （2012年高考（浙江理）如圖,F1,F2分別是雙曲線C:(a,b0)的左右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是（）AB CD4 （2012年高考（四川理）已知拋物線關于軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經過

2、點.若點到該拋物線焦點的距離為,則（）ABCD5 （2012年高考（上海春）已知橢圓則 答（）A與頂點相同.B與長軸長相同.C與短軸長相同.D與焦距相等.6 （2012年高考（山東理）已知橢圓的離心學率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點,以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為（）A BCD7 （2012年高考（湖南理）已知雙曲線C :-=1的焦距為10 ,點P (2,1)在C 的漸近線上,則C的方程為（）A-=1B-=1C-=1D-=18 （2012年高考（福建理）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（）ABC3D59 （2012年高考（大

3、綱理）已知為雙曲線的左右焦點,點在上,則（）ABCD10（2012年高考（大綱理）橢圓的中心在原點,焦距為4,一條準線為,則該橢圓的方程為（）ABCD11（2012年高考（安徽理）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）ABCD二、填空題12（2012年高考（天津理）己知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中,焦點為,準線為,過拋物線上一點作的垂線,垂足為,若,點的橫坐標是3,則_.13（2012年高考（重慶理）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若則=_.14（2012年高考（四川理）橢圓的左焦點為,直線與橢圓相交于點、,當?shù)闹荛L最大時,的面積是_.15（2012年高考（

4、上海春）拋物線的焦點坐標為_.16（2012年高考（陜西理）xy右圖是拋物線形拱橋,當水面在時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬_米.17（2012年高考（遼寧理）已知P,Q為拋物線上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,2,過P、Q分別作拋物線的切線,兩切線交于A,則點A的縱坐標為_.18（2012年高考（江西理）橢圓(ab0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_.A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x19（2012年高考（江蘇）在平面直角坐標系中,若雙曲線的離心率為,則的值為_.

5、 20（2012年高考（湖北理）如圖,雙曲線的兩頂點為,虛軸兩端點為,兩焦點為,. 若以為直徑的圓內切于菱形,切點分別為. 則()雙曲線的離心率_;()菱形的面積與矩形的面積的比值_.21（2012年高考（北京理）在直角坐標系中,直線過拋物線的焦點F,且與該拋物線相較于A、B兩點,其中點A在軸上方,若直線的傾斜角為60,則OAF的面積為_.三、解答題22（2012年高考（天津理）設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.()若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;()若,證明直線的斜率滿足.23（2012年高考（新課標理）設拋物線的焦點為,準線為,已知以為圓心,為半徑的圓交于兩

6、點;(1)若,的面積為;求的值及圓的方程;(2)若三點在同一直線上,直線與平行,且與只有一個公共點,求坐標原點到距離的比值.24（2012年高考（浙江理）如圖,橢圓C:(ab0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.()求橢圓C的方程;() 求ABP的面積取最大時直線l的方程.25（2012年高考（重慶理）(本小題滿分12分()小問5分()小問7分)如圖,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且 是面積為4的直角三角形.來源:()求該橢圓的離心率

7、和標準方程; ()過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程26（2012年高考（四川理）如圖,動點到兩定點、構成,且,設動點的軌跡為.()求軌跡的方程;()設直線與軸交于點,與軌跡相交于點,且,求的取值范圍.27（2012年高考（上海理）在平面直角坐標系中,已知雙曲線.(1)過的左頂點引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;(2)設斜率為1的直線l交于P、Q兩點,若l與圓相切,求證:OPOQ;(3)設橢圓. 若M、N分別是、上的動點,且OMON,求證:O到直線MN的距離是定值.28（2012年高考（上海春）本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分

8、.已知雙曲線(1)求與雙曲線有相同的焦點,且過點的雙曲線的標準方程;(2)直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點.當時,求實數(shù)的值.29（2012年高考（陜西理）已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上,求直線的方程.30（2012年高考（山東理）在平面直角坐標系中,是拋物線的焦點,是拋物線上位于第一象限內的任意一點,過三點的圓的圓心為,點到拋物線的準線的距離為.()求拋物線的方程;()是否存在點,使得直線與拋物線相切于點?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由;()若點的橫坐標為,直線與拋物線有兩個不同的交點,與圓 有兩

9、個不同的交點,求當時,的最小值.31（2012年高考（遼寧理）如圖,橢圓:,a,b為常數(shù)),動圓,.點分別為的左,右頂點,與相交于A,B,C,D四點.()求直線與直線交點M的軌跡方程;()設動圓與相交于四點,其中,.若矩形與矩形的面積相等,證明:為定值.32（2012年高考（江西理）已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足.(1)求曲線C的方程;(2)動點Q(x0,y0)(-2x02)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l向:是否存在定點P(0,t)(t0),則焦點坐標為(),準線方程為x=, 點評本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線

10、上任意一點,F為拋物線的焦點,d為點M到準線的距離). 5. D 6. 【解析】因為橢圓的離心率為,所以,所以,即,雙曲線的漸近線為,代入橢圓得,即,所以,則第一象限的交點坐標為,所以四邊形的面積為,所以,所以橢圓方程為,選D. 7. 【答案】A 【解析】設雙曲線C :-=1的半焦距為,則. 又C 的漸近線為,點P (2,1)在C 的漸近線上,即. 又,C的方程為-=1. 【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎知識,考查了數(shù)形結合的思想和基本運算能力,是近年來?？碱}型. 8. 【答案】A 【解析】拋物線的焦點是,雙曲線的半焦距,故雙曲線的漸近線的方程為 【考點定位】本題主要考查

11、雙曲線、拋物線的標準方程、幾何性質、點和直線的位置關系.考查推理誰能力、邏輯思維能力、計算求解能力、數(shù)形結合思想、轉化化歸思想. 9. 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質的運用,以及余弦定理的運用.首先運用定義得到兩個焦半徑的值,然后結合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由題意可知,設,則,故,利用余弦定理可得. 10.答案C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質的運用.通過準線方程確定焦點位置,然后借助于焦距和準線求解參數(shù),從而得到橢圓的方程. 【解析】因為,由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣,所以.故選答案C 11. 【解析】選21世紀教育

12、網 設及;則點到準線的距離為 得: 又21世紀教育網 的面積為 二、填空題12. 【答案】2 【命題意圖】本試題主要考查了參數(shù)方程及其參數(shù)的幾何意義,拋物線的定義及其幾何性質. 【解析】可得拋物線的標準方程為,焦點,點的橫坐標是3,則,所以點, 由拋物線得幾何性質得,解得. 13. 【答案】 【解析】設,則有,又,所以. 【考點定位】本題主要考查了拋物線的簡單性質及拋物線與直線的關系,當遇到拋物線焦點弦問題時,常根據(jù)焦點設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,把韋達定理和拋物線定義相結合解決問題,屬于難題. 14. 答案 解析根據(jù)橢圓定義知:4a=12, 得a=3 , 又 點評本題考查對橢圓概念的掌握程

13、度.突出展現(xiàn)高考前的復習要回歸課本的新課標理念. 15. 16.解析:建立如圖所示的直角坐標系,則拋物線方程為,當時, ,所以水面寬米. 17. 【答案】4 【解析】因為點P,Q的橫坐標分別為4,2,代人拋物線方程得P,Q的縱坐標分別為8,2. 由所以過點P,Q的拋物線的切線的斜率分別為4,2,所以過點P,Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱坐標為4 【點評】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程的方法,直線的方程、兩條直線的交點的求法,屬于中檔題. 曲線在切點處的導數(shù)即為切線的斜率,從而把點的坐標與直線的斜率聯(lián)系到一起,這是寫出切線方程的關鍵. 18. 【解析】本題著重考查等比中項的性

14、質,以及橢圓的離心率等幾何性質,同時考查了函數(shù)與方程,轉化與化歸思想. 利用橢圓及等比數(shù)列的性質解題.由橢圓的性質可知:,.又已知,成等比數(shù)列,故,即,則.故.即橢圓的離心率為. 【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程,然后化為有關的齊次式方程,進而轉化為只含有離心率的方程,從而求解方程即可. 體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸,短軸長及其標準方程的求解等. 19. 【答案】2. 【考點】雙曲線的性質. 【解析】由得. ,即,解得. 20.考點分析:本題考察雙曲線中離心率及實軸虛軸的相關定義,以及一般平面幾何圖形的面積計算. 解析:()由于以為直徑的圓內

15、切于菱形,因此點到直線的距離為,又由于虛軸兩端點為,因此的長為,那么在中,由三角形的面積公式知,又由雙曲線中存在關系聯(lián)立可得出,根據(jù)解出 ()設,很顯然知道,因此.在中求得故; 菱形的面積,再根據(jù)第一問中求得的值可以解出. 21. 【答案】 來源:【解析】由,可求得焦點坐標為,因為傾斜角為,所以直線的斜率為,利用點斜式,直線的方程為,將直線和曲線方程聯(lián)立,因此. 【考點定位】 本題考查的是解析幾何中拋物線的問題,根據(jù)交點弦問題求圍成的面積.此題把握住拋物線的基本概念,熟練的觀察出標準方程中的焦點和準線坐標、方程是成功的關鍵.當然還要知道三角形面積公式. 三、解答

16、題22. 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質.以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方程,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力. 解答策略一：（1）取，；則（2）設；則線段的中點解答策略二 (1)設點,由題意有 方法二:依題意,直線的方程為,可設點,由點在橢圓上,有,因為,所以即 由,得整理得,于是,代入得. 23. 【解析】(1)由對稱性知:是等腰直角,斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 (2)由對稱性設,則 點關于點對稱得: 得:,直線 切點 直線 坐標原點到距離的比值為. 24. 【解析】 ()由題:;

17、 (1) 來源:左焦點(c,0)到點P(2,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求橢圓C的方程為:. ()易得直線OP的方程:y=x,設A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. A,B在橢圓上, . 設直線AB的方程為l:y=(m0), 代入橢圓:. 顯然. m且m0. 由上又有:=m,=. |AB|=|=. 點P(2,1)到直線l的距離為:. SABP=d|AB|=,其中m0,. 當MBA=90時,點M的坐標為(2, 3) 當MBA90時;x2.由MBA=2MAB, 有tanMBA=,即 化簡得:3x2-y2-

18、3=0,而又經過(2,3) 綜上可知,軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x1) (II)由方程消去y,可得.(*) 由題意,方程(*)有兩根且均在(1,+)內,設 所以 解得,m1,且m2 設Q、R的坐標分別為,由有 來源:數(shù)理化網 所以 由m1,且m2,有 所以的取值范圍是 點評本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識,考察思維能力、運算能力,考察函數(shù)、分類與整合等思想,并考察思維的嚴謹性. 27. 解(1)雙曲線,左頂點,漸近線方程:. 過點A與漸近線平行的直線方程為,即. 解方程組,得 所以所求三角形的面積1為 (2)設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切, 故,即 由,得

19、. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2),則. 又,所以 , 故OPOQ (3)當直線ON垂直于x軸時, |ON|=1,|OM|=,則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時, 設直線ON的方程為(顯然),則直線OM的方程為. 由,得,所以. 同理 設O到直線MN的距離為d,因為, 所以,即d=. 綜上,O到直線MN的距離是定值 28.解(1)雙曲線的焦點坐標為,設雙曲線的標準方程為,則,所以雙曲線的標準方程為. (2)雙曲線的漸近線方程為,設 由,由 又因為,而 所以. 29.解析:(1)由已知可設橢圓的方程為 其離心率為,故,則 故橢圓的方程為 (2)解法一 兩點的坐標分別記為

20、 由及(1)知,三點共線且點,不在軸上, 因此可以設直線的方程為 將代入中,得,所以 將代入中,則,所以 由,得,即 解得,故直線的方程為或 解法二 兩點的坐標分別記為 由及(1)知,三點共線且點,不在軸上, 因此可以設直線的方程為 將代入中,得,所以 由,得, 將代入中,得,即 解得,故直線的方程為或. 30.解析:()F拋物線C:x2=2py(p0)的焦點F,設M,由題意可知,則點Q到拋物線C的準線的距離為,解得,于是拋物線C的方程為. ()假設存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M, 而, , 由可得,則, 即,而,解得,點M的坐標為. ()若點M的橫坐標為,則點M,. 由可得,.設

21、, 圓, , 于是,令 ,設, 當時, 即當時. 故當時,. 31. 【答案及解析】 【點評】本題主要考查圓的性質、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質、直線方程求解、直線與橢圓的關系和交軌法在求解軌跡方程組的運用.本題考查綜合性較強,運算量較大.在求解點的軌跡方程時,要注意首先寫出直線和直線的方程,然后求解.屬于中檔題,難度適中. 32. 【解析】 解:(1)依題意可得, , 由已知得,化簡得曲線C的方程: (2)假設存在點P(0,t)(t0)滿足條件,則直線PA的方程是,直線PB的方程是,曲線C在點Q處的切線l的方程為它與y軸的交點為,由于,因此 當時, ,存在,使得,即l與直線PA平行,故當

22、時不符合題意 當時,所以l 與直線PA,PB一定相交,分別聯(lián)立方程組, 解得D,E的橫坐標分別是 則,又, 有,又 于是 對任意,要使QAB與PDE的面積之比是常數(shù),只需t滿足, 解得t=-1,此時QAB與PDE的面積之比為2,故存在t=-1,使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2. 【點評】本題以平面向量為載體,考查拋物線的方程,直線與拋物線的位置關系以及分類討論的數(shù)學思想. 高考中,解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程,離心率等基本性質,直線與橢圓的位置關系引申出的相關弦長問題,定點,定值,探討性問題等;二、考查拋物線的標準方程,準線等基本性質,直線與拋物線的位置關系引申

23、出的相關弦長問題,中點坐標公式,定點,定值,探討性問題等;三、橢圓,雙曲線,拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結合考查的可能性較大,因為它們都是考綱要求理解的內容. 33. 【答案】解:(1)由題設知,由點在橢圓上,得 ,. 由點在橢圓上,得 橢圓的方程為. (2)由(1)得,又, 設、的方程分別為,. . . 同理,. (i)由得,.解得=2. 注意到,. 直線的斜率為. (ii)證明:,即. . 由點在橢圓上知,. 同理. 由得, . 是定值. 【考點】橢圓的性質,直線方程,兩點間的距離公式. 【解析】(1)根據(jù)橢圓的性質和已知和都在橢圓上列式求解. (2)根據(jù)已知條件,用待定系數(shù)法求解

24、. 34. 【解析】()解法1 :設M的坐標為,由已知得 , 易知圓上的點位于直線的右側.于是,所以 . 化簡得曲線的方程為. 解法2 :由題設知,曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點,直線為準線的拋物線,故其方程為. ()當點P在直線上運動時,P的坐標為,又,則過P且與圓 相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點,切線方程為.于是 來源: 整理得 設過P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程的兩個實根,故 來源:由得 設四點A,B,C,D的縱坐標分別為,則是方程的兩個實根,所以 同

25、理可得 于是由,三式得 . 所以,當P在直線上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400. 【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系,考查運算能力,考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程;第二問設出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到四點縱坐標之積為定值,體現(xiàn)“設而不求”思想. 35.考點分析:本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系,要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質,并能熟練運用代數(shù)方法解決幾何問題,對運算能力有較高要求. 解析: ()如圖1,設,則由, 可得,所以,. 因為點在

26、單位圓上運動,所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因為,所以 當時,曲線是焦點在軸上的橢圓, 兩焦點坐標分別為,; 當時,曲線是焦點在軸上的橢圓, 兩焦點坐標分別為,. ()解法1:如圖2、3,設,則, 直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為,于是由韋達定理可得 ,即. 因為點H在直線QN上,所以. 于是,. 而等價于, 即,又,得, 故存在,使得在其對應的橢圓上,對任意的,都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM 來源:解法2:如圖2、3,設,則, 因為,兩點在橢圓上,所以 兩式相減可得 . 依題意,由點在第一象限可知,

27、點也在第一象限,且,不重合, 故. 于是由式可得 . 又,三點共線,所以,即. 于是由式可得. 而等價于,即,又,得, 故存在,使得在其對應的橢圓上,對任意的,都有 36.解析:()因為,所以,于是.設橢圓上任一點,則(). 當時,在時取到最大值,且最大值為,由解得,與假設不符合,舍去. 當時,在時取到最大值,且最大值為,由解得.于是,橢圓的方程是. ()圓心到直線的距離為,弦長,所以的面積為,于是.而是橢圓上的點,所以,即,于是,而,所以,所以,于是當時,取到最大值,此時取到最大值,此時,. 綜上所述,橢圓上存在四個點、,使得直線與圓相交于不同的兩點、,且的面積最大,且最大值為. 點評:此題與2012年南海區(qū)高三8月摸底考試的試題相似度極高. (2012年南海區(qū)高三8月摸底考試)已知橢圓的兩焦點為、,并且經過點. ()求橢圓的方程; ()已知圓:,直線:,證明:當點在橢圓上運動時,直線與圓恒相交;并求直線被圓所截得的弦長的取值范圍. 37. 【考點定位】本題考查橢圓的性質、圓的性質、直線與圓的位置