隨機(jī)積分與Ito定理[共62頁(yè)]

1、第八章 隨機(jī)積分 Ito積分,第一節(jié) 引 言,第二節(jié) Ito積分的理論,第三節(jié) Ito積分的特征,第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用,第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的Ito公式,第一節(jié) 引 言,一、 Ito積分的導(dǎo)出,在物理現(xiàn)象中是用微分方程來(lái)描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。,但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無(wú)法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分 Ito積分，建立積分方程。,首頁(yè),前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng) 都只是近似討論，而沒(méi)給出精確的解釋。但如果給

2、出Ito積分的定義，反過(guò)來(lái)才能更確切地討論。,即若用微分方程,代表資產(chǎn)價(jià)格 的動(dòng)態(tài)行為，,那么能否對(duì)兩邊取積分，即,也就是說(shuō)，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？,為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分,首頁(yè),也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義,即有,其中h為一定的時(shí)間間隔。,若,則上等式改寫(xiě)為,即,或,這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式,首頁(yè),此表示式為一近似式，其精確公式為,二、Ito積分的重要性,首先,隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來(lái)定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。,其次,在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然

3、后再通過(guò)Ito積分就可以給出近似值的精確形式。,返回,首頁(yè),第二節(jié) Ito積分的理論,Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間的變化無(wú)法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和。,布朗運(yùn)動(dòng),如果,標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),一、Ito積分的定義,首頁(yè),定義1,滿(mǎn)足,作和式,如果均方極限,存在,則稱(chēng),記為,首頁(yè),注意,在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式,原因是,即,所以這里取固定的左端點(diǎn)。,定理1,首頁(yè),定理2,則,證,令,則,首頁(yè),因?yàn)?0,首頁(yè),例1,解,試求,故,首頁(yè),注,表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分,二、Ito積分的性質(zhì),性質(zhì)1,則,（1）,（2）,證明,與黎曼積分相仿（略）,首頁(yè),性質(zhì)2,則,證明,略,首頁(yè),性質(zhì)3

4、,則,存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。,證明,首頁(yè),三、Ito微分法則,則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且,（1）,這時(shí),稱(chēng)(1)式定義的隨機(jī)過(guò)程 有(Ito)隨機(jī)微分,并記為,首頁(yè),例2,求隨機(jī)微分,解,由例可知,即,由隨機(jī)微分的定義,首頁(yè),定理3,Ito公式,的二次微分函數(shù)，,則,且,首頁(yè),例3,求隨機(jī)微分,解,設(shè),因?yàn)?所以由Ito公式得,首頁(yè),定理4,都是連續(xù)函數(shù),如果隨機(jī)過(guò)程 有隨機(jī)微分,則,首頁(yè),注,是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式,首頁(yè),四、Ito隨機(jī)微分方程,則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程,稱(chēng)為Ito隨機(jī)微分方程,與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的It

5、o隨機(jī)積分方程,其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分,首頁(yè),例4,考慮Ito方程,取,由Ito公式得,即,所以,即,注,將 看作普通函數(shù)，則解為,返回,首頁(yè),第三節(jié) Ito積分的特征,資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分,其中 在信息集 下是非預(yù)期的,一、Ito積分是鞅,在間隔 內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測(cè)的干擾總和可表示為,則此Ito積分就是鞅。,因?yàn)?首頁(yè),給定時(shí)間t的信息集 ，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測(cè)的，即,于是,故Ito積分 是鞅。,首頁(yè),下面考慮兩種有意思的情況：,1第一種情況,假設(shè),此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分,即有,則,即積分是鞅,首頁(yè)

6、,因?yàn)?維納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，,故此積分是鞅,注,當(dāng) 是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅,首頁(yè),2第二種情況,若,此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。,例如,如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差,則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。,用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)Ito積分會(huì)導(dǎo)致自相矛盾，,方法,具體過(guò)程如下例：,首頁(yè),3一個(gè)例子,其中偏移量和方差率分別為,假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程,即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格,考慮一個(gè)小時(shí)間間隔 ，對(duì)隨機(jī)微分方程積分,現(xiàn)在用Rieman求和來(lái)討

7、論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會(huì)有什么結(jié)果？,首頁(yè),Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)值來(lái)計(jì)算。,首先計(jì)算,然后再乘以矩形的底,得,從而有,兩項(xiàng)相關(guān),下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡(jiǎn)單形式,則其新增項(xiàng)形式為,首頁(yè),用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得,由于期望,這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測(cè)的，,首頁(yè),從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即,但由于Ito積分存在條件：,即有,則Ito積分 的近似計(jì)算必須是,矛盾,首頁(yè),注,如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的

8、部分求和的均方值會(huì)收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。,二、路徑積分,考察在期間0，T內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格,間隔長(zhǎng)度為,分割：,且有,首頁(yè),假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分,其有限求和形式為,取特殊路徑,則,顯然,但路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中并不一定收斂。,如,首頁(yè),取符號(hào)函數(shù),則有,即,故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。,注,路徑積分意義,在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒(méi)有用到與 相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測(cè)值來(lái)計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來(lái)計(jì)算并由隨機(jī)等式來(lái)決定。,非預(yù)期重要性,由于可預(yù)測(cè) 的符號(hào)，函數(shù) 能“看到未來(lái)情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)， 就會(huì)發(fā)散。,首頁(yè),三、Ito積分

9、存在性,存在的條件是,也就是說(shuō),的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)為Ito積分的隨機(jī)變量,首頁(yè),四、相關(guān)性,Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量,一次量,即,二次量,協(xié)方差,方差,返回,首頁(yè),第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用,在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動(dòng)太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來(lái)代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡(jiǎn)化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。,一、 導(dǎo)數(shù)類(lèi)型,在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類(lèi)型的導(dǎo)數(shù)：,首頁(yè),偏導(dǎo)數(shù),全微分,鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用,偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)因子

10、的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。,典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù) 中用到偏導(dǎo)數(shù)，,假設(shè)一個(gè)市場(chǎng)參與者知道 的函數(shù)形式，,1,則,首頁(yè),因此,對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知道的不是 隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對(duì)的小變化有什么反應(yīng)。,2,3,全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動(dòng)，而導(dǎo)致 的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對(duì)市場(chǎng)交易者很有用。,在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)變量相對(duì)于初始變量經(jīng)過(guò)某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。 在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。,首頁(yè),例1,且,則,

11、注,但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。 上式給出的是對(duì) 為非隨機(jī)變量的情況。,首頁(yè),二、Ito定理的應(yīng)用,（一）Ito定理,則有Ito公式可得,或,首頁(yè),說(shuō)明,在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。,例2,求,解,因,故有Ito定理可得,首頁(yè),因此得到在信息集 下的 的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為 即漂移率是常數(shù)，方差依賴(lài)于信息集。,例3,若,則有,此時(shí)得到在信息集 下的 的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為,首頁(yè),例4,計(jì)算Ito積分,解,設(shè),得,其相關(guān)積分等式,故,即,注,這個(gè)結(jié)果與本

12、章第二節(jié)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相同，可作為計(jì)算Ito積分的工具。,首頁(yè),例5,計(jì)算積分,解,定義,由Ito定理得,其對(duì)應(yīng)的積分等式,故,首頁(yè),注,用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟,1,2,3,對(duì)新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡(jiǎn)單。,4,重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。,首頁(yè),（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）,現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說(shuō)明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。,假定各個(gè)時(shí)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之間的關(guān)系可表示為,所以,首頁(yè),如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且

13、預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是 和 ，即,那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過(guò)程為,將 代入上式，得,可見(jiàn)，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是 ，而不是 。,首頁(yè),三、 Ito定理的積分形式,微分形式,進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：,兩邊取積分，得積分形式,該式說(shuō)明關(guān)于維納過(guò)程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來(lái)的。,注,返回,首頁(yè),第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的Ito公式,第一種是在某些條件下，函數(shù) 可能不只是依賴(lài)于單一隨機(jī)變量 ，這樣就要用到多變量的Ito公式。,不能直接使用Ito公式的兩種情況：,第二種考慮金融市場(chǎng)受到小概率事件影響，這樣需

14、要對(duì)隨機(jī)微分方程加上跳躍過(guò)程來(lái)決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會(huì)改變很多。,首頁(yè),一、多變量情況,設(shè) 為 兩個(gè)受維納過(guò)程影響的隨機(jī)過(guò)程,其中,則,首頁(yè),是兩個(gè)獨(dú)立的維納過(guò)程的增量結(jié)果,這個(gè)問(wèn)題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：,由于,在單變量Ito定理中， 等交叉項(xiàng)在均方意義下都等于0。,且,若在一個(gè)固定的間隔內(nèi)，有,則在均方意義下，有,首頁(yè),由此可得,這些等式代入上式即得雙變量Ito公式,首頁(yè),例1,（金融衍生品）,在評(píng)價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)值時(shí)，收益曲線(xiàn)起到很大作用。,利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線(xiàn)依賴(lài)于兩個(gè)狀態(tài)變量，分別是短期利率 和長(zhǎng)期利率,則利率衍生品的價(jià)格就可表示為,假定利率服

15、從隨機(jī)微分方程,其中，長(zhǎng)短期利率誤差項(xiàng)具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為,首頁(yè),市場(chǎng)參與者可通過(guò)參數(shù) 的選擇，由該等式得到長(zhǎng)短期利率的相關(guān)性和方差特性。,在評(píng)估利率期權(quán)時(shí)，需要知道期權(quán)價(jià)格對(duì)收益曲線(xiàn)的變化 和 會(huì)怎樣變化，也就是要知道隨機(jī)微分 ，即有Ito公式的多變量形式可得,首頁(yè),例2 財(cái)富,假設(shè)市場(chǎng)有n種資產(chǎn)，,都是受同一隨機(jī)變動(dòng)影響的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程,投資總價(jià)格可由財(cái)富函數(shù) 表示,則由Ito定理可得隨著時(shí)間的變化而財(cái)富的增量,首頁(yè),二、Ito公式和跳躍,假設(shè)觀(guān)測(cè)一個(gè)過(guò)程 ，它服從隨機(jī)微分方程：,其中,且假定在一個(gè)固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：,原因：任何可預(yù)測(cè)的跳躍成分可被包含在漂移項(xiàng) 中,對(duì)跳躍過(guò)程，作如下假定：,1,首頁(yè),2,跳躍類(lèi)型是隨機(jī)和獨(dú)立的。,首頁(yè),在這些條件下,漂移參數(shù) 可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和：,其中 是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的維納過(guò)程部分，第二項(xiàng)為 中純跳躍部分,跳躍過(guò)程兩個(gè)隨機(jī)性,跳躍的發(fā)生為隨機(jī)事件，發(fā)生大小也是隨機(jī)的。假定這兩個(gè)隨機(jī)性