期權定價公式及其應用05.05.25.ppt

1、1. Black-Scholes公式 經(jīng)典的Black-Scholes期權定價公式是 對于歐式股票期權給出的。其公式為,其中T是到期時間，S是當前股價， 是作為當前股價和到期時間的函 數(shù)的歐式買 入期權的價格.,第九章 期權定價公式及其應用,一、引言,第一節(jié)Black-Scholes期權定價公式,K是期權的執(zhí)行價格，r是無風險證券的（瞬時）收益率， 稱為股價的波動率volatility ,這是一個需要測算的參數(shù),稱為累積正態(tài)分布函數(shù)，定義為,圖1 期權價格曲線隨到期時間T的變化,Black-Scholes公式的方便之處在于除股價的 波動率外，其他參數(shù)都是直接在市場上可以找到的。 例如,如果這里

2、價格以元計,時間以年計,從而涉 及的兩個比率都指的是年率。那么（以下的等號實 際上都是近似等號）,把這些值代入公式，得到:,利用累積正態(tài)函數(shù)在點2.8017和2.7267處的 近似值，買入期權的價格是3.3749，即,更精確的計算可得:,2. 金融資產的定價問題,金融資產的定價問題(asset valuation)是現(xiàn)代財務 金融理論的一個基本問題。,對于具有固定現(xiàn)金流的金融產品、如債券等金融工具， 其價格都是通過凈現(xiàn)值方法來確定的。,對于期權來講，其風險究竟有多大?如何計算出相應的風險溢價以及未來的現(xiàn)金流? 這都是較為難解決的問題。,3. Black-Scholes公式發(fā)展過程,(1) 巴列

3、切爾公式 ( Bachelier 1900),n是標準正態(tài)分布的密度函數(shù),法國 數(shù)學家 Bachelier Louis,在其博士論文 The Theory of Speculation中首次給出了歐式買 權的定價公式,但他在建立模型時有3個假設與現(xiàn)實不符。 第一，假設標的股票的價格服從標準正態(tài)分布。這使得 股價出現(xiàn)負值的概率大于零，從而與現(xiàn)實明顯不符。 第二，認為在離到期日足夠遠的時候,買權的價值可能大 于標的股票的價值，這顯然也是不可能的。 第三，假設股票的期望報酬(即股價變化的平均值)為零， 這也違背了股票市場的實際情況。,(2) 斯普倫克萊 ( Sprenkle ,1961),在Bach

4、elier的研究基礎上,人們對期權定價問題進行 了長期的研究。 1961年Sprenkle提出了“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布” 的基本假設，并肯定了股價發(fā)生隨機漂移的可能性。,是股票價格的平均增長率，,A是對應的風險厭惡程度。,其中,(3) 博內斯 ( Boness, 1964),其中，,1964年，Boness將貨幣時間價值的概念引入到期權 定價過程，但他沒有考慮期權和標的股票之間風險水平 的差異。,(4) 塞繆爾森 (Samuelson, 1965),其中,是期權價格的平均增長率。,1965年，著名經(jīng)濟學家薩繆爾森(Samuelson)把上述 成果統(tǒng)一在一個模型中。,在1973年Black和

5、Scholes提出BlackScholes期權 定價模型.,我們可以看到，所有這些公式都與后來的Black-Scholes公式有許多相似的地方。,1969年，他又與其研究生Merton合作，提出了把期 權價格作為標的股票價格的函數(shù)的思想。,20世紀60年代末，兩人開始合作研究期權的定價問 題,并找到了建立期權定價模型的關鍵突破點,即構造一 個由標的股票和無風險債券的適當組合(買入適當數(shù)量的 標的股票,同時按無風險利率借入適當金額的現(xiàn)金)。該 組合具有這樣的特點,即無論未來標的資產價格如何變化, 其損益特征都能夠完全再現(xiàn)期權在到期日的損益特征。,Black和Scholes得到了描述期權價格變化所

6、滿足的 隨機偏微分方程，即所謂的BS方程。,從而得出了期權定價模型的解析解,這就是BS模型。,Merton也對期權定價理論和實踐的發(fā)展做出了獨立的 和開創(chuàng)性的貢獻,他幾乎在與Black和Scholes同一時間,得 到了期權定價模型及其他一些重要的成果。,1976年，Merton把BS期權定價模型推廣到股票價格變化可能存在跳躍點的場合,并包含了標的股票連續(xù)支付股利 的情況，從而把該模型的實用性又大大推進了一步，學術界將其稱為Merton模型。,另外Cox，Ross和Rubinstein等人還提出了二項式期權定 價模型。他們最初的動機是以該模型為基礎，從而為推導 B-S模型提供一種比較簡單和直觀的

7、方法。 但是,隨著研究的不斷深入，二項式模型不再是僅僅作為 解釋B-S模型的一種輔助性工具,它已經(jīng)成為建立復雜期 權（如美式期權和非標準的變異期權）定價模型的基本 手段。,二、Black-Scholes期權定價公式,（一）基本假設： 1. 股票價格滿足的隨機微分方程中,為常數(shù); 2. 股票市場允許賣空; 3. 沒有交易費用或稅收; 4. 所有證券都是無限可分的; 5. 證券在有效期內沒有紅利支付; 6. 不存在無風險套利機會; 7. 交易是連續(xù)的; 8. 無風險利率為常數(shù).,(二) 股票價格的軌道,在通常情況下，假設股票價格St滿足下列隨機微分方程：,為概率空間,上的Brownian運動,（1

8、),(三) 期權套期保值,尋找期權定價公式（函數(shù)）的主要思想： 構造以某一種股票以及以該股票為標的的期權的一個證 券組合，所構造的證券組合正好是一個無風險資產的復制。,命題 1 設,函數(shù) 關于t一階連續(xù)偏導數(shù),關于x二階連續(xù)有界偏 導數(shù),且滿足終值條件：,為期權現(xiàn)價格(t時刻的價格),則 是下列偏微分方程的解：,為要套期保值此期權,投資者必須賣空,股此股票,（7）,下面求復制期權的證券組合 期權價格的分解：,由此可知證券組合（portfolio）,是自融資證券組合,(四) 方程（7）解的概率表示,命題 2 設,是下列隨機微分方程的解：,其中,是定義在,上的P-Brownian運動。,又設,是方

9、程（7）式具有有界偏導數(shù)的解，,則Feynman-Kac公式成立：,(五) Black-Scholes 公式,定理 1 股票價格設所滿足的方程（1）中的系數(shù)均為常數(shù), 則期權價格由下式給出：,證明：,a) 由于,所滿足的方程(1)中的系數(shù)為常數(shù)，,由條件期望性質可得a)的結果。,對看漲期權（Call option）由于,(1),(2),(3),注 Black-Scholes公式不僅告訴我們Call option的 價格,且以證券組合的形式給出：,債券的套期保值證券組合或者說復制Call option的 證券組合。,注 設Call option和Put option的價格分別為,和,，則有,第二

10、節(jié) 期權價值的敏感性因素分析,影響期權價值的因素一共有五個， 即標的資產市場價格St、執(zhí)行價格X、無風險利率r、 距離到期日時間T-t和標的資產價格的波動率。,一、 標的資產價格變化對期權價值的一階影響,通常用Delta來表示期權價值對標的資產價格St變動 的敏感性。,從而 可以近似地表示為：,期權組合而言，其Delta值為：,二、 標的資產價格對期權價值的二階影響,Gamma指的是期權Delta對于股票價格的一階偏導數(shù),也就 是期權價值對于股票價格的二階偏導數(shù)。買權Gamma的計 算公式為：,另一方面，由賣權Gamma的計算公式，我們可以知道 賣權的Gamma值等于買權的Gamma值，即：,

11、 Gamma具有非負性。也就是說,無論對于買權還是賣權， 在其他因素不變時,其Delta值都隨著股票價格的上升而上 升，隨著股票價格的下降而下降。, Gamma與st的關系。當期權處于平價狀態(tài)附近（也就 是在附近），其Gamma相對比較大；當期權處于較深的 虧價或盈價狀態(tài)時,其Gamma接近于零。, Gamma與時間變量T-t的關系。如果期權處于平價狀 態(tài),在其他因素不變的情況下,其Gamma值隨著到期日的 臨近而變大。,三、 無風險利率對期權價值的影響,買權價格對無風險利率變化的敏感度由Rho值來衡量， 其公式為：,由上面的計算公式，可得到Rho的如下特點：, Rhoc一般大于零，而Rhop

12、一般小于零。只有在到 （T=t），Rhoc和RhoP才會等于零。, 相對于影響期權價值的其他因素而言，r的影響要 小得多。, 因為Rho的絕對值與T-t成正比，因此對于距到期日時間較長的期權，r對于其價值的影響不容忽視。,四、 標的資產價格波動率對期權價值的影響,方差或標準差是布萊克-斯科爾斯模型中的重要變量,也稱 波動率，是股票連續(xù)計息收益率的標準差，它也是公式中 唯一不可直接觀測的變量買權價格對很小的波動率變化的 反映被稱為Vega，即：,由買權價值與賣權價值可知賣權Vega與買權Vega完全相同,當期權處于平價狀態(tài)時，其Vega值較大； 當期權處于較深的盈價或虧價狀態(tài)時， 相應的Vega

13、值較小。 因此，期權Vega隨變化的曲線是一個倒U形。,五、到期時間長短對期權價值的影響,由于到期時間的臨近,期權的時間價值下降,這就造成 期權的價格下降。 時間價值的消耗用Theta表示，買權Theta的定義為,始終是一個小于零的數(shù),則有可能大于零，,第三節(jié) 期權套期保值的基本原理,一、有關期權套期保值的一個例子,綜上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下兩個特點： 第一是自融資性(selffinancing)，即套期所需的資 金只需期初一次性投人,此后，在套期的整個過程中不需 要增加新的外部融資。或者說，套期策略只需要期初投入， 不需要維持成本。,第二是精確復制性(replicating),

14、即套期策略能夠精 確地復制受險資產的收益和風險特征，從而將面對的風險 完全抵消。,套期策略所具有的這兩個特點具有十分重要的意義。 首先，自融資性說明套期策略的成本可以在事先確定， 即為期初所需的投入。 其次，精確復制性說明套期策略組合應當與受險資產 具有相同的價值，這是由無套利定價原則所決定的。 最后，既然風險已經(jīng)完全抵消，甲所要求的報酬率就 應該是無風險報酬率。,二、 期權套期保值的基本原理,考慮一個由m種期權,組成的投資組合，vi,i=1,2,m表示第i種資產的價格, 該投資組合的價值V可以表示為：,其中，,是組合中第j種期權的權重。,期權套期保值的基本思想是構造一個頭寸,使其風險 暴露與

15、原組合的風險暴露相反,從而部分或者全部對沖掉 風險。如果所構造的頭寸,其風險性質與原組合的風險性 質呈完全相反的狀態(tài)，則原組合的風險可以被全部消除。 這稱為完全對沖。,在構造對沖時，就是通過選擇合適的nj,使得當風險因素 變動時，組合價值V能夠保持不變。對于一階風險，就是 選擇nj，使得：,這樣，當x發(fā)生微小變化x時，組合的價值變化為：,這里，風險因素可以是標的股票價格的變化、無風險利 率的變化、時間的變化或者是波動率的變化。,第四節(jié) 連續(xù)調整的期權套期策略,一、 Delta套期（Delta中性組合）,通過適當?shù)卣{整不同期權及其標的資產的比例， 我們可以將風險暴露程度降低到所愿意的任何程度，

16、甚至可以將該資產組合對于標的資產價格變動的風險 降低到零。這樣的一個資產組合,我們稱之為“Delta 中性組合”。,我們可以用公式來表示上述這一概念。,假設構造這樣一個投資組合：做空一個買權，其價格為 Ct，Delta值為N(d1)；同時買入數(shù)量為N(d1)的標的資產， 其價格為St。不難證明，該組合為一個Delta中性買權組 合。事實上，這個組合當前的價值為：,顯然，V關于St的偏導數(shù)為0，即該組合是一個Delta中性 組合，組合的價值不受St變化的影響。,更一般地，對于任意一個資產組合而言，總能通過適當?shù)?選擇n1,n2，使得整個組合的Deltay等于0，也就是：,很容易就可以解得：,二、

17、 Delta-Gamma套期策略,Delta-Gamma套期策略是Delta套期策略的推廣, 它指的是構造一個Delta和Gamma值都為0的組合, 即通過構造一個Delta-Gamma中性的組合，從根 本上回避價格風險。,構成了以下組合,關于St求一、二階偏導數(shù),投資者只要根據(jù)計算出來的n2和n3的值買賣相應的資產 就可以完全回避手中資產的價格風險。,三、Delta-Gamma-Vega套期策略,如果投資者不愿意承擔波動率的變化對套期結果的 影響,可以在Delta-Gamma中性組合的基礎上,構造一 個Delta-Gamma-Vega中性組合,我們需要引進第三種 期權的交易，記該期權的價格為

18、4，交易數(shù)量為n4,新的組合為,對上式兩端分別關于St求一、二階偏導， 并且關于求一階偏導,實現(xiàn)完全的連續(xù)性套期會受到一些限制,這是因為：,第一，市場不具備充分的多樣性。,第二，交易費用的存在。,第五節(jié) 組合套期策略,一、 9010策略,9010策略又稱為保證報酬基金(guaranteed return funds)，它有狹義和廣義之分。,廣義的9010策略則不限于上述對投資比例的機械劃 分，而是允許根據(jù)情況適當進行調整。,狹義的9010策略是指機構投資者將暫時閑置資金的 90用來購買無風險的貨幣市場工具,剩余的10%用來購買期權。,為保證9010策略的兩個基本目標(保證資本安全和得到足夠的杠