制圖 第二章 平面課件

1、制圖 第二章 平面,第 2 章,平 面,制圖 第二章 平面,目 錄,2.1 平面的投影,2.2 平面上的點和直線,2.3 直線、平面與平面的相對位置,制圖 第二章 平面,2.1 平面的投影,2.1.1 平面的投影圖,2.1.2 各類平面的投影特性,制圖 第二章 平面,幾何元素表示法,一個平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:,不在同一直線上的三個點； 一直線和直線外的一個點； 相交兩直線； 平行兩直線； 任意平面圖形。,制圖 第二章 平面,制圖 第二章 平面,跡線表示法,平面的跡線: 平面與投影面的交線。,正面跡線PV 水平跡線PH 側(cè)面跡線PW,制圖 第二章 平面,跡線是投影面內(nèi)的直

2、線。 因此, 跡線的一個投影與其本身重合, 另外兩個投影與相應(yīng)的投影軸重合（一般不畫出）。 平面內(nèi)任一直線的跡點必在平面的同面跡線上。,PV,PH,PW,跡線的投影性質(zhì),X,Z,O,PZ,YH,PYH,PYW,YW,PX,(a),(b),制圖 第二章 平面,跡線是平面內(nèi)的直線，因此，平面可用它的兩條跡線表示。,制圖 第二章 平面,2.1.2 各種位置平面的投影特性,2) 投影面垂直面,3) 投影面平行面,1) 一般位置平面,制圖 第二章 平面,ABCP面 投影積聚為一直線 abc,ABCP面 投影反映實形 abcABC,ABC傾斜于P面 投影為縮小的類似形 abcABC,平面對一個投影面的投影

3、特性,制圖 第二章 平面,對三個投影面都處于傾斜位置的平面。,1) 投影面傾斜面(一般位置平面),三個投影都是縮小的類似形。,制圖 第二章 平面,a,X,a,例 含點A作一般位置平面。,分 析 這種平面不含投影面垂直線。 含一點可作無窮多個一般位置平面。,制圖 第二章 平面,鉛垂面-僅H面的平面 正垂面-僅V面的平面 側(cè)垂面-僅W面的平面,2) 投影面垂直面,垂直于一個投影面而對另外兩個投影面傾斜的平面。,制圖 第二章 平面,鉛 垂 面,水平投影p 積聚為一與投影軸傾斜的線段，并反映、角。 正面投影p 和側(cè)面投影p” 都是縮小的類似形。,制圖 第二章 平面,鉛垂面的跡線表示法,平面H投影積聚性

4、在PH上，它與X軸的夾角即； pvX軸。,投影面垂直面在投影圖中一般可只畫有積聚性的跡線的投影（如PH），沒有積聚性的跡線的投影（如pv）可省略不畫。,制圖 第二章 平面,正 垂 面,正面投影p 積聚為一與投影軸傾斜的線段，并反映、角。 水平投影p 和側(cè)面投影p” 都是縮小的類似形。,制圖 第二章 平面,側(cè) 垂 面,側(cè)面投影p 積聚為一與投影軸傾斜的線段，并反映、 角。 水平投影p 和正面投影p 都是縮小的類似形。,制圖 第二章 平面,X,W,V,H,Y,O,RV,RZ,RW,RY,RH,R,z,o,yw,x,YH,RV,RZ,RW,RYW,RH,RYH,特點：RV / RH,側(cè)垂面的跡線表示

5、法,制圖 第二章 平面,a,X,a,用相交兩直線表示,例 含點A（a, a)作=30的正垂面。,分析：正垂面的正面投影為與X軸斜交的直線，它與X軸的夾角即。,制圖 第二章 平面,X,用跡線表示,例 含點A（a, a)作=30的正垂面。,a,a,制圖 第二章 平面,X,a,b,b,a,例 含AB (ab, ab) 作鉛垂面。,分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，有積聚性。 本題鉛垂面用三角形表示。,制圖 第二章 平面,3)投影面平行面,平行于某一投影面的平面。,正平面- / V面的平面 水平面- / H面的平面 側(cè)平面- / W面的平面,制圖 第二章 平面,正平面,正面投影p 反映平面P的

6、實形； 水平投影p 和側(cè)面投影p” 都積聚為直線，分別OX軸和OZ軸。,制圖 第二章 平面,水平面,水平投影p反映平面P的實形； 正面投影p 和側(cè)面投影p” 都積聚為直線，分別OX軸和OYW軸。,Z,制圖 第二章 平面,V,H,X,p,pv,水平面的跡線表示法,(a),制圖 第二章 平面,制圖 第二章 平面,a,X,a,例 含點A作 ABC/ V面。,分 析: 正平面的水平投影積聚為直線并X軸。 作法：作abc / X軸。 作abcABC。,制圖 第二章 平面,b,c,b,X,c,例 含水平線BC作水平面。,圖 4-9(b),所作水平面P用跡線表示，PV與bc重合。,制圖 第二章 平面,2.2

7、 平面上的點和直線,2.2.2 平面上的特殊直線,2.2.1 平面上取直線和點,制圖 第二章 平面,直線在平面內(nèi)的幾何條件:,B,A,C,P,(1) 通過平面內(nèi)的兩已知點,2.2.1平面上取直線和點,1)平面上取直線,制圖 第二章 平面,E,F,D,結(jié)論 ： 要在平面內(nèi)取直線, 必須先在平面內(nèi)的已知直線上取點,再過點作直線。,(2) 通過平面內(nèi)的一點并平行于平面內(nèi)的另一直線。,P,直線在平面內(nèi)的幾何條件:,制圖 第二章 平面,b,a,c,b,X,c,a,作法: 在平面內(nèi)的兩已知邊上各取一點連成直線。,例 在ABC給定的平面內(nèi)作一任意直線。,直線在ABC內(nèi),制圖 第二章 平面,分析: 如在P面內(nèi)

8、則與AB, AC或者相交; 或者與其中一條相交而與另一條平行。,b,c,b,X,c,a,1,2,2,1,直線 不在 P面內(nèi)。,a,例 判斷直線是否在P(AB AC)內(nèi)。,制圖 第二章 平面,b,a,b,z,yw,yH,X,O,c,a,c,例 完成平面圖形的水平投影，并求側(cè)面投影。,分析：ABC中的 BCH面, ACW面; 又12bc, 即BC。 同理，AC。,制圖 第二章 平面,點在平面內(nèi)的幾何條件: 點在該平面內(nèi)的一已知直線上。,在平面內(nèi)取點的一般方法：含該點在平面內(nèi)作輔助直線,然后在所作直線上取點。,2)平面上取點,直線L在P面內(nèi)， M點在平面P內(nèi)。,制圖 第二章 平面,b,c,b,X,c

9、,a,a,d,d,k,1,例 已知點K在平面ABCD內(nèi)，據(jù)k求k。,分析 ：K點在平面ABCD內(nèi)，則它必在平面內(nèi)的一條直線上。,制圖 第二章 平面,b,b,X,c,a,a,d,d,例 完成平面四邊形ABCD的水平投影。,分析 ：平面ABCD的對角線一定相交。,制圖 第二章 平面,b,b,X,c,a,a,c,d,d,k,k,例 判斷點K(k、k)是否在平面(ABCD)內(nèi)。,分析: 如點K在平面內(nèi)，則它與平面內(nèi)任一點的連線(如KD)與AB相交或平行。,K點不在平面(ABCD)內(nèi)。,制圖 第二章 平面,例 已知點E 在ABC 平面上，且點E 距離H 面15，距離V 面10，試求點E 的投影。,制圖

10、第二章 平面,討論 當平面為投影面垂直面時，可利用平面投影的積聚性求點或線而不必另作輔助線。,X,PH,1,k,PV,k,(a),V,H,X,p,pv,PH,k,K,制圖 第二章 平面,H,K,a,X,a,b,b,c,c,k,1,a,b,c,k,1,B,A,C,討論 當點在平面內(nèi)，其投影在面有積聚性的投影上。點的投影在面積聚性投影上，則點在平面內(nèi)。,制圖 第二章 平面,b,a,c,b,c,a,X,1)平面上的投影面平行線,1.符合投影面平行線的投影特性; 2.滿足直線在平面內(nèi)的幾何條件。,投影特性,2.2.2平面上的特殊直線,制圖 第二章 平面,b,c,b,X,c,a,a,d,d,例 在平面(

11、ABCD)內(nèi)含點C作水平線。,分 析 所作水平線的正面投影X軸，且與ab、cd相交。,制圖 第二章 平面,例 在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,制圖 第二章 平面,b,c,b,X,c,a,a,d,d,例在平面（ABCD）內(nèi)作EFV面，使距V面為15。,分 析 所作正平線的水平投影X軸，且與ab, cd相交。,制圖 第二章 平面,2) 平面上的最大斜度線,1.定義 在平面內(nèi)的所有直線中對某一投影面夾角最大的直線，稱為平面內(nèi)對這個投影面的最大斜度線。,有三種： 平面內(nèi)對H面的最大斜度線 平面內(nèi)對V面的最大斜度線 平面內(nèi)對W面的最大斜度線,制圖 第二章 平面,

12、2.投影特性 平面對某一投影面的最大斜度線必定平面內(nèi)對該投影面的平行線。,平面內(nèi)對H面的最大斜度線平面內(nèi)的水平線； 平面內(nèi)對V面的最大斜度線平面內(nèi)的正平線； 平面內(nèi)對W面的最大斜度線平面內(nèi)的側(cè)平線。,制圖 第二章 平面,證明： 平面內(nèi)對H面的最大斜度線平面內(nèi)的水平線。它們的水平投影互相垂直。,已知：ANH面(即PH）， AM1AN(即PH）。 求證：AM1為面內(nèi)過A點對H面的最大斜度線，并am1PH 。,ANH面，根據(jù)直角投影特性：am1an (即PH）。,制圖 第二章 平面,Am1aPH，Am1a即為P、H兩平面的兩面角。即平面P對H面的傾角。比較Am1a與Amna, m1a PH ,為到P

13、H的最短距離， 為n中的最大。,結(jié)論：AM1與H面的夾角即平面P對H面的傾角。,制圖 第二章 平面,應(yīng)用 用來求平面對某一投影面的傾角。,平面內(nèi)對H面的最大斜度線與H面的夾角即平面對H面的傾角； 平面內(nèi)對V面的最大斜度線與V面的夾角即平面對V面的傾角。 平面內(nèi)對W面的最大斜度線與W面的夾角即平面對W面的傾角。,制圖 第二章 平面,b,c,b,X,c,a,a,例 求ABC對V面的傾角。,分析 ：利用平面對V面的最大斜度線求。,制圖 第二章 平面,例 求ABCD對H面的傾角。,分析 ：利用平面對H面的最大斜度線求 。,b,c,b,c,a,a,d,d,e,f,e,f,制圖 第二章 平面,2.3.1

14、平行,2.3.2 相交,2.3.3 垂直,2.3 直線、平面與平面的相對位置。,制圖 第二章 平面,2.3.1 平行,1) 直線與平面平行,2) 兩平面平行,制圖 第二章 平面,1)直線和平面平行,定理 如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。,A,B,制圖 第二章 平面,有關(guān)直線與平面平行的作圖問題： 作直線已知平面。 作平面已知直線。 判斷已知直線、平面是否平行。,制圖 第二章 平面,例 含點I(1,1)作平面與直線AB(ab,ab)平行。,1,1,a,a,b,b,X,作 法 (1) 過點作直線與AB平行(2)含直線作一任意平面。,制圖 第二章 平面,例 判

15、斷直線AB與是否平行。,a,b,3,2,1,a,b,3,1,2,x,作 法 (1)在平面任一投影中，作面內(nèi)直線CFAB的同面投影。 (2) 求CF的另一投影，并判斷直線CF是否AB 。,制圖 第二章 平面,特殊情況 若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們在該投影面上的投影一定平行。,X,直線投影平面有積聚性的同面投影,它們在空間必互相平行,制圖 第二章 平面,特殊情況 若直線與平面同時垂直某一投影面，則它們空間一定平行。,X,直線與平面對某一投影面同時有積聚性,它們在空間必互相平行。,PH,制圖 第二章 平面,2) 兩平面平行,定理 如果一個平面內(nèi)的相交兩直線與另一個平面內(nèi)的相交兩直線對應(yīng)平行

16、，那么這兩個平面平行。,P,Q,A,B,C,D,制圖 第二章 平面,有關(guān)兩平面平行的作圖問題： 作平面已知平面。 判斷兩已知平面是否平行。,制圖 第二章 平面,例 含點A1作平面平行定平面 (A2B2A2C2)。,c2,X,a1,a2,b2,b2,a1,a2,c2,制圖 第二章 平面,c2,X,a2,b2,b2,a2,c2,例 判斷兩平面是否平行。,分析：若兩面相互平行，則它們有一對相互平行的相交直線。,制圖 第二章 平面,討論 相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對有積聚性的同面投影必平行。,若兩正垂面相互平行，則它們的正面投影相互平行。,制圖 第二章 平面,若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投

17、影相互平行。,X,制圖 第二章 平面,x,1,2,3,1,2,3,分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性的同面投影相互平行。,例 含點A1作平面平行平面 。,a,a,制圖 第二章 平面,2.3.2 相交,1) 特殊直線、平面相交 (重影性法),2) 一般直線、平面相交 (輔助平面法),制圖 第二章 平面,相 交 問 題,直線與平面不平行時即相交，交點是直線與平面的共有點； 兩平面不平行時必相交，其交線是兩平面的共有線。,制圖 第二章 平面,1)重影性法,交點、交線為直線與平面、平面與平面兩者所共有，如果其中有一個處于垂直投影面的特殊位置，則可利用其投影的積聚性直接求出交點或交線的一個投影，另外

18、的投影可根據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點按投影關(guān)系求出。,制圖 第二章 平面,例 求直線AB與鉛垂面EFGH的交點K。,求出交點后，對于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性。,制圖 第二章 平面,（1） 求出交點后，對于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性（不重疊的部分都是可見的）。 （2）交點是直線可見部分與不可見部分的分界點。 （3）判別方法 A.直接觀察; B.利用交叉直線的重影點。,關(guān)于直線可見性的判別,制圖 第二章 平面,k,1(2),x,c,e,d,a,b,c,a,b,e,d,例 求直線AB與鉛垂面CDE的交點K。,分 析 利用鉛垂面水平投影的積聚性求交點,制圖 第二章

19、 平面,1,x,c,e,d,a,（b）,c,a,b,e,d,例 求正垂線AB與CDE的交點K。,分 析 利用線V面投影的積聚性確定交點的一個投影，根據(jù)點在面上求出交點的另一投影。,1,2,k,2,制圖 第二章 平面,兩平面不平行時必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面可見部分與不可見部分的分界線。 兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線的方法是：求出交線上的兩個點，在兩個平面的公共范圍處連出交線。,兩平面相交,制圖 第二章 平面,d,e,a,a,b,b,X,e,d,f,f,c,c,例 求DEF(H面)與ABC的交線KL。,分 析 利用dfe的積聚性，求兩平面交線。,1(2),（1） 求出交線

20、后，對于兩平面同面投影重疊的部分，要判別可見性（不重疊的部分都是可見的）。 （2）交線是可見部分與不可見部分的分界線。 （3）判別方法: A.直接觀察; B.利用交叉直線的重影點。,制圖 第二章 平面,(a) 全交,(b) 互交,兩平面相交的兩種情況,全交：一個平面全部穿過另一個平面; 互交：兩個平面的邊線互相穿過。,制圖 第二章 平面,分 析 利用水平面efg的積聚性求兩平面交線。,e,c,g,f,1,e,f,g,1,d,b,a,k,l,l,a,b,c,d,k,x,例 求EFG(H面)與平面ABCD的交線，并判斷可見性。,本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時要注意除去交線多余的部分。,制圖

21、第二章 平面,當兩平面同時垂直某一投影面時，它們的交線也是此投影面的垂直線。,制圖 第二章 平面,x,e,g,f,e,f,g,c,b,a,a,b,c,例 求兩面的交線。,制圖 第二章 平面,當直線和平面都處于一般位置時，交點的求法是：,含已知直線作輔助平面; 求輔助平面與已知平面的交線; 交線與已知直線的交點即為所求。,為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。,2) 輔助平面法,制圖 第二章 平面,例 求直線DE與平面ABC的交點。,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,制圖 第二章 平面,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,k,1(2),例 求直線DE與平面ABC的交點。

22、,利用兩交叉直線的重影點判別直線的可見性。,制圖 第二章 平面,解法空間分析： 含點與一直線作平面，求與另一直線的交點。,a,f,2,3,g,4,1,x,2,a,3,4,k,1,例 含點A作直線AB使與交叉直線、都相交。,制圖 第二章 平面,兩一般位置平面的交線,常用方法：1 線面交點法 2. 輔助平面法,制圖 第二章 平面,1. 線面交點法,當相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時，可用求直線和平面交點的方法找出交線上的兩個點。,制圖 第二章 平面,例 求ABC和DEF的交線。,a,a,f,f,b,b,c,c,X,d,d,e,e,制圖 第二章 平面,a,a,f,f,b,b,

23、c,c,k,X,d,d,e,e,l,l,1(2),3(4),例 求ABC和DEF的交線。（判別可見性）,制圖 第二章 平面,若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴大后才有交點），則不宜選這類直線來求交點。,使用線面交點法時注意：,制圖 第二章 平面,2. 輔助平面法,作圖原理 求P、Q平面的交線時，任作平面S1，使與Q相交得交線L1，與P相交得交線L2； L1、L2的交點I為P、Q、S1三面的共有點，即P、Q交線上的一個點。 再作平面S2，又可得到交線上的另一個交點。 連接I 即P、Q的交線。,制圖 第二章 平面,b,例 求ABC和平面(

24、L1 L2)的交線。,c,a,x,a,b,c,l2,l1,l2,l1,制圖 第二章 平面,2.3.3 垂直,1) 直線與平面垂直,2) 兩平面垂直,制圖 第二章 平面,1) 直線與平面垂直,定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。,直線L平面P內(nèi)的兩相交直線AB、CD, 則LP面,L,B,A,C,D,P,制圖 第二章 平面,直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影平面內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影平面內(nèi)的正平線的正面投影。,c,C, mk ef, mk ad, MKABC所確定的平面。,制圖 第二章 平面,有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題： 作直線已知平面；作平面已知直線。 判斷已知直線、平面是否垂直。,制圖 第二章 平面,例 含點E作直線垂直于ABC，并求垂足。,a,a,b,b,c,e,c,e,X,分 析 先求平面的垂線，然后求垂線與平面的交點。,制圖 第二章 平面,(b) 已知,例 求C點到直線AB的距離。（分析）,a,a,b,b,c,c,X,解題步驟: 1.過C點作P面直線AB; 2.求AB與P面的交點K; 3