電磁場(chǎng)與電磁波課后習(xí)題及答案六章習(xí)題解答

1、第六章 時(shí)變電磁場(chǎng)6.1 有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動(dòng)，整個(gè)裝置位于正弦時(shí)變磁場(chǎng)之中，如題6.1圖所示?；奈恢糜纱_定，軌道終端接有電阻，試求電流i.解 穿過(guò)導(dǎo)體回路abcda的磁通為故感應(yīng)電流為6.2 一根半徑為a的長(zhǎng)圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場(chǎng)中與z軸平行。設(shè)棒以角速度繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度、體積內(nèi)和表面上單位長(zhǎng)度的極化電荷。解 介質(zhì)棒內(nèi)距軸線(xiàn)距離為r處的感應(yīng)電場(chǎng)為故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強(qiáng)度為極化電荷體密度為極化電荷面密度為則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長(zhǎng)度的極化電荷分別為6.3 平行雙線(xiàn)傳輸線(xiàn)與一矩形回路共面，如題6.3圖所示。設(shè)、，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 由題給定的電流方向可知

2、，雙線(xiàn)中的電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，在回路中都是垂直于紙面向內(nèi)的。故回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為式中故則6.4 有一個(gè)環(huán)形線(xiàn)圈，導(dǎo)線(xiàn)的長(zhǎng)度為l，分別通過(guò)以直流電源供應(yīng)電壓U0和時(shí)變電源供應(yīng)電壓U（t）。討論這兩種情況下導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度E。解 設(shè)導(dǎo)線(xiàn)材料的電導(dǎo)率為，橫截面積為S，則導(dǎo)線(xiàn)的電阻為而環(huán)形線(xiàn)圈的電感為L(zhǎng)，故電壓方程為當(dāng)U=U0時(shí)，電流i也為直流，。故此時(shí)導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的切向電場(chǎng)為當(dāng)U=U（t）時(shí)，故即求解此微分方程就可得到。6.5 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，長(zhǎng)為l。設(shè)外加電壓為，試計(jì)算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。解 當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時(shí)，圓柱形

3、電容器兩極板間的電場(chǎng)分布與外加直流電壓時(shí)的電場(chǎng)分布可視為相同（準(zhǔn)靜態(tài)電場(chǎng)），即故電容器兩極板間的位移電流密度為則式中，是長(zhǎng)為l的圓柱形電容器的電容。流過(guò)電容器的傳導(dǎo)電流為可見(jiàn)6.6 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式和泊松方程。解 點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)滿(mǎn)足麥克斯韋方程和由得據(jù)散度定理，上式即為利用球?qū)ΨQ(chēng)性，得故得點(diǎn)電荷的電場(chǎng)表示式由于，可取，則得即得泊松方程6.7 試將麥克斯方程的微分形式寫(xiě)成八個(gè)標(biāo)量方程：（1）在直角坐標(biāo)中；（2）在圓柱坐標(biāo)中；（3）在球坐標(biāo)中。解 （1）在直角坐標(biāo)中（2）在圓柱坐標(biāo)中（3）在球坐標(biāo)系中6.8 已知在空氣中，求和。提示：將E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可

4、求得。解 電場(chǎng)E應(yīng)滿(mǎn)足波動(dòng)方程將已知的代入方程，得式中故得則由得將上式對(duì)時(shí)間t積分，得6.9 已知自由空間中球面波的電場(chǎng)為求H和k。解 可以和前題一樣將E代入波動(dòng)方程來(lái)確定k，也可以直接由麥克斯韋方程求與E相伴的磁場(chǎng)H。而此磁場(chǎng)又要產(chǎn)生與之相伴的電場(chǎng)，同樣據(jù)麥克斯韋方程求得。將兩個(gè)電場(chǎng)比較，即可確定k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。由得將上式對(duì)時(shí)間t積分，得 （1）將式（1）代入得將上式對(duì)時(shí)間t積分，得 （2）將已知的與式（2）比較，可得含項(xiàng)的Er分量應(yīng)略去，且，即將代入式（1），得6.10 試推導(dǎo)在線(xiàn)性、無(wú)損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用E和B表示麥克斯韋方程。解 注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)是空間坐

5、標(biāo)的函數(shù)，因此而因此，麥克斯韋第一方程變?yōu)橛止墅溈怂鬼f第四方程變?yōu)閯t在非均勻媒質(zhì)中，用E和B表示的麥克斯韋方程組為6.11 寫(xiě)出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。解 空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為根據(jù)電磁對(duì)偶原理，采用以下對(duì)偶形式即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件式中，Jms為表面磁流密度。6.12 提出推導(dǎo)的詳細(xì)步驟。解 如題6.12圖所示，設(shè)第2區(qū)為理想導(dǎo)體（）。在分界面上取閉合路徑。對(duì)該閉合路徑應(yīng)用麥克斯韋第一方程可得 （1）因?yàn)闉橛邢拗?，故上式中?1)式中的另一項(xiàng)為閉合路徑所包圍的傳導(dǎo)電流。取N為閉合路徑所圍面積的單位矢量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關(guān)系

6、），則有因故式（1）可表示為 （2）應(yīng)用矢量運(yùn)算公式，式（2）變?yōu)楣实?（3）由于理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率，故必有，故式（3）變?yōu)?.13 在由理想導(dǎo)電壁（）限定的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)由以下各式表示的電磁場(chǎng)：這個(gè)電磁場(chǎng)滿(mǎn)足的邊界條件如何？導(dǎo)電壁上的電流密度的值如何？解 如題6.13圖所示，應(yīng)用理想導(dǎo)體的邊界條件可以得出在x=0處，在x=a處，上述結(jié)果表明，在理想導(dǎo)體的表面，不存在電場(chǎng)的切向分量Ey和磁場(chǎng)的法向分量Hx。另外，在x=0的表面上，電流密度為在x=a的表面上，電流密度則為6.14 海水的電導(dǎo)率，在頻率f=1GHz時(shí)的相對(duì)介電常數(shù)。如果把海水視為一等效的電介質(zhì)，寫(xiě)出H的微分方程。對(duì)于良導(dǎo)體，例如銅，

7、比較在f=1GHz時(shí)的位移電流和傳導(dǎo)電流的幅度?？梢钥闯?，即使在微波頻率下，良導(dǎo)體中的位移電流也是可以忽略的。寫(xiě)出H的微分方程。解 對(duì)于海水，H的微分方程為即把海水視為等效介電常數(shù)為的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)，得對(duì)于銅，傳導(dǎo)電流的幅度為，位移電流的幅度。故位移電流與傳導(dǎo)電流的幅度之比為可見(jiàn)，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計(jì)的。故對(duì)于銅，H的微分方程為6.15 計(jì)算題6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解 瞬時(shí)能流密度矢量為為求平均能流密度矢量，先將電磁場(chǎng)各個(gè)分量寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式故平均能流密度矢量為6.16 寫(xiě)出存在電荷J的無(wú)損耗媒質(zhì)中E和H的波動(dòng)方程。解 存在外加源和J時(shí)，麥

8、克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4）對(duì)式（1）兩邊取旋度，得而故 （5）將式（2）和式（3）代入式（5），得這就是H的波動(dòng)方程，是二階非齊次方程。同樣，對(duì)式（2）兩邊取旋度，得即 （6）將式（1）和式（4）代入式（6），得此即E滿(mǎn)足的波動(dòng)方程。對(duì)于正弦時(shí)變場(chǎng)，可采用復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程表示 （7） （8） （9） （10）對(duì)式（7）兩邊取旋度，得利用矢量恒等式得 （11）將式（8）和式（9）代入式（11），得此即H滿(mǎn)足的微分方程，稱(chēng)為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對(duì)式（8）兩邊取旋度，得即 （12）將式（7）和式（10）代入式（12），得此即E滿(mǎn)足的微分方程，亦稱(chēng)非齊次亥姆霍茲方程。6

9、.17 在應(yīng)用電磁位時(shí)，如果不采用洛倫茲條件，而采用所謂的庫(kù)侖規(guī)范，令，試導(dǎo)出A和所滿(mǎn)足的微分方程。解 將電磁矢量位A的關(guān)系式和電磁標(biāo)量位的關(guān)系式代入麥克斯韋第一方程得利用矢量恒等式得 （1）又由得即 （2）按庫(kù)侖規(guī)范，令，將其代入式（1）和式（2）得 （3） （4）式（3）和式（4）就是采用庫(kù)侖規(guī)范時(shí)，電磁場(chǎng)A和所滿(mǎn)足的微分方程。6.18 設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為證明其坡印廷矢量的平均值為解 坡印廷矢量的瞬時(shí)值為故平均坡印廷矢量為6.19 證明在無(wú)源空間（），可以引入一個(gè)矢量位Am和標(biāo)量位，定義為試推導(dǎo)m和的微分方程。解 無(wú)源空間的麥克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4）據(jù)矢量恒等式和式（4），知D可表示為一個(gè)矢量的旋度，故令 （5）將式（5）代入式（1），得即 （6）根據(jù)矢量恒等式和式（6），知可表示為一個(gè)標(biāo)量的梯度，故令 （7）將式（5）和式（7）代入式（2），得 （8）而故式（8）變?yōu)?（