高中物理競賽全套講座——電路化簡

1、電路化簡241、 等效電源定理圖2-4-1 圖2-4-2實際的直流電源可以看作電動勢為，內(nèi)阻為零的恒壓源與內(nèi)阻r的串聯(lián)，如圖2-4-1所示，這部分電路被稱為電壓源。不論外電阻R如何，總是提供不變電流的理想電源為恒流源。實際電源、r對外電阻R提供電流I為 其中為電源短路電流，因而實際電源可看作是一定的內(nèi)阻與恒流并聯(lián)的電流源，如圖2-4-2所示。實際的電源既可看作電壓源，又可看作電流源，電流源與電壓源等效的條件是電流源中恒流源的電流等于電壓源的短路電流。利用電壓源與電流源的等效性可使某些電路的計算簡化。圖2-4-3圖2-4-4等效電壓源定理又叫戴維寧定理，內(nèi)容是：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個電壓源，其

2、電動勢等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源以外網(wǎng)絡(luò)的電阻。如圖2-4-3所示為兩端有源網(wǎng)絡(luò)A與電阻R的串聯(lián)，網(wǎng)絡(luò)A可視為一電壓源，等效電源電動勢等于a、b兩點開路時端電壓，等效內(nèi)阻等于網(wǎng)絡(luò)中除去電動勢的內(nèi)阻，如圖2-4-4所示。等效電流源定理 又叫諾爾頓定理，內(nèi)容是：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個電流源，電流源的等于網(wǎng)絡(luò)兩端短路時流經(jīng)兩端點的電流，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源外網(wǎng)絡(luò)的電阻。例4、如圖2-4-5所示的電路中，圖2-4-5 （1）試用等效電壓源定理計算從電源正極流出的電流；（2）試用等效電流源定理計算從結(jié)點B流向節(jié)點A的電流。分析： 根據(jù)題意，在求通過電源的電流時，可將ABCDE

3、部分電路等效為一個電壓源，求解通過的電流時，可將上下兩個有源支路等效為一個電流源。解： （1）設(shè)ABCDE等效電壓源電動勢，內(nèi)阻，如圖2-4-6所示，由等效電壓源定理，應(yīng)有圖2-4-6電源與電源串聯(lián)，故0，表明電流從負(fù)極流出。（2）將A、B兩個節(jié)點短接，構(gòu)成等效電流源（）如圖2-4-7所示，由等效電流源定理，為原電路流經(jīng)A、B短接后的支路電流。因為有兩電源，必須用線性疊加原理，所謂疊加原理與力學(xué)中“力的獨立作用原理”極為相似，其內(nèi)容為：若電路中有多個電源，則通過任一支路的電流等于各個電動勢單獨存在時該支路產(chǎn)生的電流之和。圖2-4-7由疊加原理 由和的分流關(guān)系242、 Y變換在某些復(fù)雜的電路中往

4、往會遇到電阻的Y型或，如圖2-4-8所示，有時把Y型聯(lián)接代換成等效的型聯(lián)接，或把型聯(lián)接代換成等效的Y型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡化計算，等效代換要求Y型聯(lián)接三個端紐的電壓及流過的電流與型聯(lián)接的三個端紐相同。圖2-4-8在Y型電路中有可解得 在型電路中等效即滿足：即 類似方法可得 、式是將Y型網(wǎng)絡(luò)變換到型電路中的一組變換。同樣將型電路變換到Y(jié)型電路，變換式可由、式求得：、 圖2-4-9例5、試求如圖2-4-9所示電路中的電流。分析： 這是包含一個Y型電路和一個型電路的網(wǎng)絡(luò)，解決問題的方向可將左邊Y型網(wǎng)絡(luò)元變換成型網(wǎng)絡(luò)元，或?qū)⒂覀?cè)型網(wǎng)絡(luò)元變換成Y型網(wǎng)絡(luò)元。圖2-4-10解： 將左側(cè)Y型網(wǎng)絡(luò)

5、換成型，如圖2-4-10所示已知 則有 圖2-4-11 由圖2-4-10，可進(jìn)一步電路整理為圖2-4-11所示。將右側(cè)型網(wǎng)絡(luò)元換成Y型網(wǎng)絡(luò)元同樣可求得，這里不再敘述。243、 對稱性原理等勢節(jié)點的斷接法圖2-4-12ABDC在一個復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對稱的點，（以兩端連線為對稱軸），那么可以將接在等電勢節(jié)點間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢節(jié)點連接起來，且不影響電路的等效性。例6、用導(dǎo)線連接成如圖2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面體，每段導(dǎo)線的電阻都是1。求AB間的總電阻。解： 設(shè)想A、B兩點上存在電勢差，由于電路

6、的對稱性可以知道D、C、兩點的電勢都應(yīng)該介乎與的中間，即，所以兩點應(yīng)是等電勢的。這樣，去掉CD段導(dǎo)線，對A、B間的總電阻不會有影響。當(dāng)去掉CD段導(dǎo)線后，就成為三路并聯(lián)，即ADB，ACB，和AB。于是：電流分布法設(shè)有電流I從A點流入、B點流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點間不同路徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流I的關(guān)系，然后經(jīng)任一路徑計算A、B兩點間的電壓，再由即可求出等效電阻。例7、10根電阻均為r的電阻絲接成如圖2-4-13所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點之間的等效電阻。圖2-4-13由結(jié)構(gòu)對稱性，要求電流I從A點流入后在A點

7、的電流分布應(yīng)與電流I從B點流出前的電流分布相同，中間四方形必具有上、下電流分布對稱和左、右電流分布對稱，因此網(wǎng)絡(luò)內(nèi)電流分布應(yīng)如圖2-4-14所示。對圖中C點和D點，有電流關(guān)聯(lián)解得 圖2-4-14由A、E兩點間不同路線等電壓的要求，得即 解、兩式得選擇線路AEDB，可得 因此，A、B間等效電阻便為244、 無窮網(wǎng)絡(luò)等效變換法若 （a0）在求x值時，x注意到是由無限多個組成，所以去掉左邊第一個對x值毫無影響，即剩余部分仍為x，這樣，就可以將原式等效變換為，即。所以圖2-4-15這就是物理學(xué)中解決無限網(wǎng)絡(luò)問題的基本思路。例8、如圖2-4-15所示，框架是用同種金屬絲制成的，單位長度的電阻為，一連串內(nèi)

8、接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，取AB邊長為a，以下每個三角形的邊長依次減小一半，則框架上A、B兩點間的電阻為多大？從對稱性考慮原電路可以用如圖2-4-16所示的等效電路來代替，同時我們用電阻為的電阻器來代替由無數(shù)層“格子”所構(gòu)成的“內(nèi)”三角，并且電阻是這樣的，圖2-4-16，因此解此方程得到245、 電流疊加法解題步驟是：先考慮一支流入或流出系統(tǒng)的電流，把它看作在給系統(tǒng)充電或放電，利用對稱性求出系統(tǒng)中的電荷分布和電流場分布，求出每一支電流造成的分布后進(jìn)行疊加，使得電荷分布全部抵消，而電流場疊加作為所求的電流場。圖2-4-17例9、有一個無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖

9、2-4-17所示。所有六邊形每邊的電阻為，求：（1）結(jié)點a、b間的電阻。（2）如果有電流I由a點流入網(wǎng)絡(luò)，由g點流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過de段電阻的電流 Ide為多大。解： （1）設(shè)有電流I自a點流入，流到四面八方無窮遠(yuǎn)處，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。再假設(shè)有電流I 由四面八方匯集b點流出，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。將以上兩種情況綜合，即有電流I由a點流入，自b點流出，由電流疊加原理可知（由a流向c）（由c流向b）因此，a、b兩點間等效電阻（2）假如有電流I從a點流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，流向四面八方，根據(jù)對稱性，可以設(shè)應(yīng)該有 因為b、d兩點關(guān)于a點對稱，所以同理，假如有電流I從四面八方匯集到g點流出，應(yīng)該有最后，根據(jù)電流的疊加原理可知以上幾種方法可實現(xiàn)電路的化簡。其中，電流