考點(diǎn)9正弦定理和余弦定理

1、圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌溫馨提示：此題庫為 Word版，請(qǐng)按住Ctrl, 滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn) 9正弦定理和余弦定理1. （ 2010天津高考理科7）在 ABC中，內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c ，若 a2b23bc ，sin C 2 3 sin B ，則 A=()（A）30（ B）60（C）120（D ）150【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化 .【規(guī)范解答】選 A. 根據(jù)正弦定理及 sin C 2 3 sin B 得： c 2 3b .，【方法技巧】根據(jù)

2、所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角.2. （ 2010北京高考文科 7）某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖） ，它由腰長(zhǎng)為 1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為()（ A） 2sin2cos2（ B） sin3 cos3（ C） 3sin3 cos1（ D） 2sincos1【命題立意】 本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，用到了面積公式、余弦定理等知識(shí).【思路點(diǎn)撥】 在等腰三角形中利用余弦定理求出底邊，從而班徽的面積等于四個(gè)等腰三角形的面積與正方形的面積之和 .【規(guī)范解答】 選 A. 等腰三角形的底邊長(zhǎng)為12122 1 1 cos22co

3、s . 所以班徽的面積為4 1 1 1sin(2 2cos )22sin22cos .2- 1 -圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌3.（2010湖南高考理科 4）在 ABC中，角 A，B，C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c ，若 C=120， c2a ,則（）(A)ab(B)ab(C)a=b(D)a與 b 的大小關(guān)系不能確定【命題立意】 以三角形為依托，以余弦定理為明線，以方程的解為暗線考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)和等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力 .【思路點(diǎn)撥】由余弦定理得到邊的二元等量關(guān)系，然后從方程的角度消元求解.【規(guī)范解答】 選 A. C=120， c2a ， 2a2=a2+b2bb-2abcos120 ， a2=b2+ab，（）

4、 2+ a -1=0 ，ab51 a =21， ba.【方法技巧】 三角形是最簡(jiǎn)單的平面圖形，是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)知識(shí)最多的圖形，在高考中是重點(diǎn). 常?？疾檫吔顷P(guān)系，余弦定理和正弦定理，常常結(jié)合不等式和方程來解, 尤其是均值不等式的考查 .4. （ 2010北京高考理科0）在 ABC中，若 b = 1， c =3，C2，則 a=.3【命題立意】 本題考查利用三角形中的余弦定理求解.【思路點(diǎn)撥】 對(duì) C 利用余弦定理，通過解方程可解出a .【規(guī)范解答】 由余弦定理得，2222，解得 a 1a 1 （舍）.a12 a 1 cos3，即aa 20或23B323C1A【答案】 1【方法技巧】已知兩邊及一角求

5、另一邊時(shí)，用余弦定理比較好.5. （ 2010廣東高考理科 11）已知 a,b,c 分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊，若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,則 sinC=.【命題立意】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.【思路點(diǎn)撥】 由已知條件求出B ， A 的大小，再求出C ，從而求出 sin C.【規(guī)范解答】 由 A+C=2B及 A BC 180o 得 B60o ，由正弦定理得13解 得 sin A1，sin Asin 60o ，2由 a b 知 A B60o ，所以 A30o ， C 180oA B 90 o ，所以 sin Csin 90 o1.【答案】 1- 2 -圓學(xué)

6、子夢(mèng)想鑄金字品牌6. （ 2010山東高考理科15）在ABC 中，角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 a2 ， b2 ，sin Bcos B2 ，則角 A 的大小為【命題立意】 本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力 .【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù) sin B cos B2 求出 B，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出 A.【規(guī)范解答】 由 sin B cos B2 ，得 1 2sin B cosB2 ，即 sin 2B1，因?yàn)?0B，所以 B=45 o ，又因?yàn)?a2 ， b2 ，所以在ABC 中，由正弦定理得：2 =2，解

7、得sin A1，又ab，sin Asin 45o2所以 AB=45 o ，所以 A=30 o .【答案】 30（ 或）6a、b、c，若 ba7. （ 2010江蘇高考 13）在銳角三角形 ABC中，角 A、B、C的對(duì)邊分別為6cos C ，ab則 tan C tan C 的值是 _.tan Atan B【命題立意】 考查三角形中的正、余弦定理以及三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.【思路點(diǎn)撥】 對(duì)條件 ba6cos C 采用角化邊，對(duì)tan Ctan C 采用切化弦并結(jié)合正弦定理解決.abtan A tan B【規(guī)范解答】 ba6cos C 6ab cosC a2b2， 6ab a2 b2c2a

8、2b2 , a2b23c2ab2ab2 .tan Ctan Csin Ccos B sin A sin Bcos Asin Csin( AB)1sin2 C由正弦定理tan Atan BcosCsin Asin BcosCsin Asin BcosC sin Asin B ，得，上式.【答案】 4【方法技巧】 上述解法采用了解決三角形問題的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理靈活實(shí)現(xiàn)邊角互化.本題若考慮到已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B 和邊 a、b 具有輪換性， 可采用以下方法解決：當(dāng) A=B或 a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有： cosC1 ， tan 2C1cosC1 ， tan C2 ，321co

9、sC222- 3 -圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌tan A tan B1tan Ctan C2，= 4.Ctan Atan Btan28. （ 2010遼寧高考文科17）在 ABC中， a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，且2asin A=(2 b+c)sin B+(2 c+b)sin C.( ) 求 A 的大小 .（）若sin B +sin C=1, 試判斷 ABC的形狀 .【命題立意】本題考查了正弦定理、余弦定理和考生的運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】(I) 根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.(II) 利用（ I ）的結(jié)論，求出角 B( 或角 C)，判

10、斷三角形的形狀 .【規(guī)范解答】【方法技巧】(1) 利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a 替換 sinA ，用 b 替換 sinB, 用 c 替換sinC.sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分.(2) 以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用, 如本例中B+C 60.9. （ 2010浙江高考文科18）在 ABC中，角 A， B，C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè) S 為 ABC的面積，滿足 S3 (a2 b2 c2 ) .4- 4 -圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌（）求角C 的大小 .（）求 sin Asin B

11、的最大值 .【命題立意】 解析本題主要利用余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力 .【思路點(diǎn)撥】利用面積公式求角C，然后利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，求最值【規(guī)范解答】 ( ) 由題意可知1sinC 3， 所以因?yàn)?，所以abtan3 .242abcosCC0C C（ ) 由已知 sin A+sin B = sinA+sin(- C- A) sin A+sin(2- A)331sin A3 sin(0 A2) . sin A+cos A+A+) 33226當(dāng) A ，即 ABC為正三角形時(shí)取等號(hào)，所以sin A+sin B 的最大值是3 .3【方法

12、技巧】 求 sin A sin B 時(shí)，利用AB2轉(zhuǎn)化為求關(guān)于角A 的三角函數(shù) y3 sin( A3，最值問題 .10. （ 2010遼寧高考理科17）在 ABC中， a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且（）求A的大小 .（）求 sin Bsin C 的最大值 .【命題立意】考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的最值.【思路點(diǎn)撥】（ I ）根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.（ II ）由（ I ）知角 C 60-B ，代入 sinB+sinC中，看作關(guān)于角B 的函數(shù)，進(jìn)而求出最值.2【規(guī)范解答】（）由已知，根據(jù)正弦定理得2a(

13、2bc)b(2 cb)c ，.3) 的6即 a2b2c2bc ，由余弦定理得 a2b2c22bc cos A，1故 cos A，又 0A180 ， A=120.2（）由（）得：sin Bsin Csin Bsin(60B)- 5 -圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌故當(dāng) B 30時(shí)， sinB+sinC 取得最大值1.【方法技巧】(1) 利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a 替換 sinA ，用 b 替換 sinB, 用 c 替換 sinC.sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分.(2) 以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用，如本例中B+C 60.11. （ 2010浙江高考理科18）在 ABC中, 角 A， B，C 所對(duì)的邊分別為1a,b,c ，已知 cos 2C4 ，(I)求 sinC 的值( ) 當(dāng) a=2， 2sinA=sinC時(shí)，求 b 及 c 的長(zhǎng)【命題立意】本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力 .【思路點(diǎn)撥】 利用二倍角余弦公式求sin C 的值，再利用正弦定理求c ，