浙江省歷年高考立體幾何大題總匯(題目及答案)

1、1.（本題滿分 15 分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角PACABCABCAC 三角形。分別為的中點，。,E F O,PA PB PC16,10ACPAPC （I） 設是的中點，證明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m COC/PCBOE （II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到,的距ABOMFMBOEMOA OB 離。 2.如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，P 是側棱 CC1上的一點，CP=m， （）試確定 m，使得直線 AP 與平面 BDB1D1所成角的正切值為；3 2 （）在線段 A1C1上是否存在一個定點 Q，使得對任意的 m，D1Q 在平面

2、 APD1上的射影 垂直于 AP，并證明你的結論。 3. 如圖甲，ABC 是邊長為 6 的等邊三角形，E，D 分別為 AB、AC 靠近 B、C 的三等分 點，點 G 為 BC 邊的中點線段 AG 交線段 ED 于 F 點，將AED 沿 ED 翻折，使平 面 AED平面 BCDE，連接 AB、AC、AG 形成如圖乙所示的幾何體。 （I）求證 BC平面 AFG； （II）求二面角 BAED 的余弦值 . x y z 4在如圖所示的幾何體中，平面 ABC，平面 ABC，EA DB ACBC ，M 是 AB 的中點2ACBCBDAE （1）求證：；CMEM （2）求 CM 與平面 CDE 所成的角 5

3、. 如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，ABCDBEFCBECF ， 90BCFCEF 3AD 2EF （）求證：平面；AEDCF （）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為？ABAEFC60 6. 如圖，在矩形 ABCD 中，點 E，F(xiàn) 分別在線段 AB，AD 上，AE=EB=AF=沿 . 4 3 2 FD 直線 EF 將翻折成使平面平面 BEF.AEF,EFAEFA （I）求二面角的余弦值；CFDA （II）點 M，N 分別在線段 FD，BC 上，若沿直線 MN 將四邊形 MNCD 向上翻折，使 C 與重合，求線段 FM 的長. A E M A C B D D A B E F C （第 18 題）

4、7. 如圖，在三棱錐 P-ABC 中，ABAC，D 為 BC 的中點，PO平面 ABC，垂足 O 落在 線段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2 （）證明：APBC； （）在線段 AP 上是否存在點 M，使得二面角 A-MC-B 為直二面角？若存在，求出 AM 的長；若不存在，請說明理由。 8. 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面是邊長為的菱形，2 3 BAD=120，且 PA平面 ABCD，PA=, M，N 分別為 PB,PD 的中點。2 6 （1）證明：MN平面 ABCD； （2）過點 A 作 AQPC，垂足為點 Q，求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。 9. 如圖，

5、在四面體中，平面，ABCDAD BCD ，是的中點，是的中BCCD2AD 2 2BD MADPBM 點，點在線段上，且 QAC3AQQC （）證明：平面；/ /PQBCD （）若二面角的大小為，求的大小CBMD60BDC 10. 如圖，在五面體中，已知平面，ABCDEFDE ABCD ，/ /ADBC o 60BAD2AB 1DEEF （1）求證：；/ /BCEF （2）求三棱錐的體積BDEF （第 16 題圖） F A C D E B 11. 如圖，在直三棱柱中，已知， 111 ABCABC1CACB 1 2AA o 90BCA （1）求異面直線與夾角的余弦值； 1 BA 1 CB （2）求

6、二面角平面角的余弦值 1 BABC 12(本小題 14 分)在等腰梯形中，是ABCD/ /ADBC 1 2 ADBC60ABC N 的中點將梯形繞旋轉，得到梯形（如圖） BCABCDAB90ABC D （1）求證：平面； ACABC （2）求證：平面；/ /C NADD （3）求二面角的余弦值AC NC 13. （本題滿分 14 分） 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為 直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 為 AD 的中點，M 是棱 PC 上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= 1 2 3 （I）求證：平面 PQB平面 PAD； （II

7、）若二面角 M-BQ-C 為 30，設 PM=tMC， （第 22 題圖） A B C A1 B1 C1 A C D BN D C P A B C D Q M 試確定 t 的值 14如圖，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BCD2 BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且 有EC=FD=2. ( I )求證：AD丄 BF : (II )若線段 EC 上一點 M 在平面 BDF 上的射影恰好是BF的中點N,試求二面角 B- MF-C 的余弦值. 1.證明：（I）如圖，連結 OP，以 O 為坐標原點，分別以 OB、OC、OP 所在直線為軸，x

8、 軸，軸，建立空間直角坐標系 O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yzxyz 則，由題意得，0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F 因，因此平面 BOE 的法0,4,0 ,G(8,0,0),(0, 4,3)OBOE 向量為，得，又直線不(0,3,4)n ( 4,4, 3FG 0n FG FG 在平面內，因此有平面BOE/ /FGBOE （II）設點 M 的坐標為，則，因為 00 ,0 xy 00 (4, 3)FMxy 平面 BOE，所以有，因此有，即點FM /FMn 00 9 4, 4 xy M 的

9、坐標為，在平面直角坐標系中，的內部區(qū)域滿足不等式組 9 4,0 4 xoyAOB ，經(jīng)檢驗，點 M 的坐標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使 0 0 8 x y xy ABOM 平面，由點 M 的坐標得點到，的距離為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FM BOEMOAOB 9 4, 4 x y z 2. 解法：（）,ACACBDO連設 1 .APBGOG 1 與面BD D交于點，連 1111 /,PCBDD BBDD BAPCOG因為面面面 故。所以。/OGPC 1 22 m OGPC 又. 111 ,AODB AOBBAOBDD B所以面 故 11 AGOAPBDD B即為與面所成

10、的角。 在，即.Rt 2 2 tan3 2 2 AOGAGO m 中， 1 3 m 故當時，直線。 1 3 m AP 11 與平面BD DB所成的角的正切值為2 （）依題意，要在上找一點，使得. 11 A CQ 1 D QAP 可推測的中點即為所求的點。 11 A C 1 OQ 因為，所以 1111. D OA C 111 D OAA 111. D QACC A 面 又,故。 11. APACC A 面 11 D OAP 從而 111 D OAD PAP在平面上的射影與垂直。 解法二：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),

11、D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 1 ( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由的一個法向量. 11 0,0AC BDAC BBACD D 1 知為平面BB 設與所成的角為，AP 11 BDD B面 則 2 |2 sincos() 2| | 22 AP AC APAC m 依題意有：，解得. 2 2 23 2 221 (3 2)m 1 3 m 故當時，直線。 1 3 m AP 11 與平面BD DB所成的角的正切值為2 （）若在上存在這樣的點，設此點的橫坐標為， 11 A CQx 則。 1 ( ,1,1),

12、( ,1,0)Q xxDQxx 依題意，對任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等價于 1 1 AP10(1)0 2 DQAP D Qxxx 即為的中點時，滿足題設的要求.Q 11 A C 3. () 在圖甲中，由ABC 是等邊三角形，E，D 分別為 AB，AC 的三等分點，點 G 為 BC 邊的中點，易知 DEAF，DEGF，DE/BC 2 分 在圖乙中，因為 DEAF，DEGF，AFFG=F，所以 DE平面 AFG 又 DE/BC，所以 BC平面 AFG 4 分 () 因為平面 AED平面 BCDE，平面 AED平面 BCDE=DE，DEAF，DEGF， 所以

13、FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G 兩兩垂直 以點 F 為坐標原點，分別以 FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A 所在的直線為軸，建立如圖所示zyx, 的空間直角坐標系則，所以xyzF )32 , 0 , 0(A)0 , 3, 3(B)0 , 2, 0( E ，0) 6 分)32, 3, 3(AB, 1 , 3(BE 設平面 ABE 的一個法向量為),(zyxn 則，即， 0 0 BEn ABn 03 03233 yx zyx 取，則，則 8 分1x3y1z) 1, 3, 1 (n 顯然為平面 ADE 的一個法向量，)0 , 0 , 1 (m 所以10 分 5 5 | ,cos nm nm nm 二面角為鈍角，所以二面角DAEB

14、的余弦值為12 分DAEB 5 5 4. 方法一： （1）證明：因為 AC=BC，M 是 AB 的中點，所以 CMAB 又 EA 平面 ABC，所以 CMEM （2）解：過點 M 作 MH平面 CDE，垂足是 H，連 結 CH 并延長交 ED 于點 F，連結 MF、MD，F(xiàn)CM 是直線 CM 和平面 CDE 所成的角 因為 MH平面 CDE，所以 MHED， 又因為 CM平面 EDM，所以 CMED， 則 ED平面 CMF，因此 EDMF 設 EAa，BDBCAC2a， 在直角梯形 ABDE 中，AB2a，M 是 AB 的2 中點， 所以 DE3a，EM，MD a，3a6 得EMD 是直角三角

15、形，其中EMD90 所以 MF2 EM MD a DE 在 RtCMF 中，tanFCM=1，所以FCM=45， M F M C 故 CM 與平面 CDE 所成的角是 45 方法二： 如圖，以點 C 為坐標原點，以 CA，CB 分別作為 x 軸和 y 軸， 過點 C 作與平面 ABC 垂直的直線為 z 軸，建立直角坐標系 C- xyz，設 EA=a，則 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（2 a，0，a） ， A（0，2 a，2 a） ，A（a，a，0）. （1）證明：因為=（-a，a，-a） ，=（a，a，0） ，EM C M 所以=0，EM C M 故.EMC M （2）解：設

16、向量 n=（1，）與平面 CDE 垂直， o y 0 x 則，nC E nC D 即 =0，=0.n C E n C D 因為=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),EC C D 所以 y =2，z =-2， 00 即 n=（1，2，-2） ， ， 2 cos, 2 C M n n C M M n A A 直線 CM 與平面 CDE 所稱的角是 45. 5. 方法一： （）證明：過點作交于，連結，EEGCFCFGDG 可得四邊形為矩形，BCGE 又為矩形，ABCD 所以，從而四邊形為平行四邊形，ADEG ADGE 故AEDG 因為平面，平面，AE DCFDG DCF 所以平面AEDCF （

17、）解：過點作交的延長線于，連結BBHEFFEHAH 由平面平面，得ABCD BEFCABBC 平面，AB BEFC 從而AHEF 所以為二面角的平面角AHBAEFC 在中，因為，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE 1FG 又因為，所以，CEEF4CF 從而3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEHA 因為，tanABBHAHBA 所以當為時，二面角的大小為AB 9 2 AEFC60 方法二：如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立CCBCF，CDxyz 空間直角坐標系Cxyz 設，ABaBEbCFc， 則，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，(

18、 30)Eb，(00)Fc， （）證明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ， 所以，從而，0CB CE A0CB BE ACBAECBBE 所以平面CB ABE 因為平面，CB DCF 所以平面平面ABEDCF 故平面AEDCF （）解：因為，(30)EFcb ，( 30)CEb ， D A B E F C H G D A B E F C y z x 所以，從而0EF CE A| 2EF 2 3()0 3()2 b cb cb ， ， 解得34bc， 所以，( 33 0)E，(0 4 0)F， 設與平面垂直，(1)nyz ，AEF 則，0n AE A0n EF A 解

19、得 3 3 (13)n a ， 又因為平面，BA BEFC(0 0)BAa ， 所以， 2 |3 31 |cos| 2| | 427 BA na n BA BAn aa A A ， 得到 9 2 a 所以當為時，二面角的大小為AB 9 2 AEFC60 6. 方法一： （）解：取線段 EF 的中點 H，連結A H 因為及 H 是 EF 的中點，A EA F 所以A HEF 又因為平面平面 BEF，及平面A EFA H.A EF 所以平面 BEF。A H 如圖建立空間直角坐標系.Axyz 則(2,2,2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD 故( 2,2,2 2),

20、(6,0,0)FNFD 設為平面的一個法向量( , , )nx y z A FD 所以 222 20 60 xyz x 取2,(0, 2,2)zn 則 又平面 BEF 的一個法向量(0,0,1)m 故 3 cos, 3| | n m n m nm 所以二面角的余弦值為 3 . 3 （）解：設(4,0,0)FMxMx則 因為翻折后，C 與 A 重合，所以 CM=A M 故， 222222 (6)80( 2)2(2 2)xx 得 21 4 x 經(jīng)檢驗，此時點 N 在線段 BG 上 所以 21. 4 FM 方法二： （）解：取截段 EF 的中點 H，AF 的中點 G，連結，NH，GHA G 因為及

21、H 是 EF 的中點，A EA F 所以H/EF。 A 又因為平面EF平面 BEF， A 所以H平面 BEF， A 又平面 BEF，AF 故，A HAF 又因為 G，H 是 AF，EF 的中點， 易知 GH/AB， 所以 GH，AF 于是面GHAF A 所以為二面角DFC 的平面角，A GH A 在中，Rt A GH2 2,2,2 3A HGHA G 所以 3 cos. 3 A GH 故二面角DFC 的余弦值為。 A 3 3 （）解：設，F(xiàn)Mx 因為翻折后，G 與重合， A 所以，CMA M 而 22222 8(6)CMDCDMx 222222222 (2 2)(2)2A MA HMHA HM

22、GGHx 得 21 4 x 經(jīng)檢驗，此時點 N 在線段 BC 上， 所以 21. 4 FM 7. 解：（）證： ABAC，D 為 BC 的中點，BCAD PO平面 ABC POBC，而 POAD=OBC平面 ADP APBC （）當 CMAP 時，二面角 A-MC-B 為直二面角， ，2 5OBOC6PBPC41ABAC5AP AM平面 MBC平面 AMC平面PABPACAMCAMBAMMB MBC 2541 363 cos 2 54141 PAB 3 cos413 41 AMPAB AB 方法二： 8. （）因為，分別是，的中點，所以是的中位線，所以MNPBPDMNPBD / /MMBD 又

23、因為平面，所以MN ABCD 平面/ /MMABCD （）方法一： 連結交于，以為原點，所在直線為，軸，建立空ACBDOOOCODxy 間直角坐標系，如圖所示Oxyz 在菱形中，得ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因為平面，所以PA ABCD PAAC 在直角中，得PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 由此知各點坐標如下， ，(3 , 0, 0)A (0,3, 0)B ，( 3 , 0, 0)C(0,3, 0)D ，(3 , 0, 2 6)P 33 (,6) 22 M ， 33 (,6) 22 N 32 6 (, 0,) 33 Q 設為平面的法向量( ,

24、 )x y zmAMN 由，知 33 (,6) 22 AM 33 (,6) 22 AN 33 60 22 33 60 22 xyz xyz 取，得1x (2 2 , 0,1)m 設為平面的法向量( , )x y znQMN 由，知 5 336 (,) 623 QM 5 336 (,) 623 QN 5 336 0 623 5 336 0 623 xyz xyz 取，得5z (2 2 , 0,5)n 于是 33 cos, | |33 m n m n mn| 所以二面角的平面角的余弦值為AMNQ 33 33 方法二： 在菱形中，得ABCD120BAD ，ACABBCDA3BDAB 有因為平面，所以

25、PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而，分別是，的中點，所以MNPBPD ，且MQNQ 11 22 AMPBPDAN 取線段的中點，連結，則MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以為二面角的平面角AEQAMNQ 由，故2 3AB 2 6PA 在中，得AMN3AMAN 1 3 2 MNBD 3 3 2 AE 在直角中，得PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在中，得PBC 222 5 cos 26 PBPCBC BPC PB PC 22 2cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰中，得MQN5MQNQ3MN 22 11 2 QEMQME 在

26、中，得AEQ 3 3 2 AE 11 2 QE 2 2AQ 222 33 cos 233 AEQEAQ AEQ AE QE 所以二面角的平面角的余弦值為AMNQ 33 33 9. 方法一： （）取中點，在線段上取點，使得，連結，BDOCDF3DFFCOPOFFQ 因為，所以，且3AQQC/ /QFAD 1 4 QFAD 因為，分別為，的中點，所以是的中位線，OPBDSMOPBDM 所以，且/ /OPDM 1 2 OPDM 又點是的中點，所以，且MAD/ /OPAD 1 4 OPAD 從而，且/ /OPFQOPFQ 所以四邊形為平行四邊形，故OPQF/ /FQQF 又平面，平面，所以平面PQ B

27、CDOF BCD/ /PQBCD （）作于點，作于點，連結CGBDGGHBMHCH 因為平面，平面，所以，AD BCDCG BCDADCG 又，故平面，CGBDADBDDCG ABD 又平面，所以BM ABDCGBM 又，故平面，所以，GHBMCGGHGBM CGHGHBM CHBM 所以為二面角的平面角，即CHGCBMD60CHG 設BDC 在中，Rt BCDcos2 2cosCDBD ，cos2 2cos sinCGCD 2 sin2 2sinBGBC 在中，Rt BDM 2 2 3sin 3 BG DM HG BM 在中，Rt CHG 3cos tan3 sin CG CHG HG 所以

28、tan3 從而，即6060BDC 方法二： （）如圖，取中點，以為原點，BDOOODOP 所在射線為，軸的正半軸，建立空間直角坐標系yzOxyz 由題意知，(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 設點的坐標為，因為，所C 00 (0)xy，3AQQC 以 00 3231 () 4442 Qxy， 因為是的中點，故又是的中點，故MAD(02 1)M，PBM 1 (0 0) 2 P， 所以 00 323 (0) 444 PQxy ， 又平面的一個法向量為，故BCD(0 0 1)a ，0PQ a 又平面，所以平面PQ BCD/ /PQBCD （）設為平面的一個法向量()mx y z ，BM

29、C 由，知 00 (21)CMxy ，(0 2 2 1)BM ， ， 00 ( 2)0 2 20 x xyyz yz 取，得1y 0 0 2 (1 2 2) y m x ， 又平面的一個法向量為，于是BDM(1 0 0)n ， ， 0 0 2 0 0 2 |1 |cos|= 2| 2 9 y x m n m n m n y x ， 即 （1） 2 0 0 2 3 y x 又，所以，故BCCD0CB CD ， 0000 (20) (20)0 xyxy ， 即 （2） 22 00 2xy 聯(lián)立（1） ， （2） ，解得（舍去）或 0 0 0 2 x y 0 0 6 2 2 2 x y 所以 0 0

30、 tan3 2 x BDC y 又是銳角，所以BDC60BDC 10（1）因為，平面，平面， / /ADBCAD ADEFBC ADEF 所以平面， 3 分/ /BCADEF 又平面，平面平面，BC BCEFBCEF ADEFEF 所以 6 分/ /BCEF （2）在平面內作于點，ABCDBHADH 因為平面，平面，所以，DE ABCDBH ABCDDEBH 又，平面，ADDE ADEFADDED 所以平面，BH ADEF 所以是三棱錐的高 9 分BHBDEF 在直角三角形中，所以，ABH o 60BAD2AB 3BH 因為平面，平面，所以，DE ABCDAD ABCDDEAD 又由（1）知，

31、且，所以，所以，12 分/ /BCEF/ /ADBC/ /ADEFDEEF 所以三棱錐的體積 14 分BDEF 1113 1 13 3326 DEF VSBH 11. 如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標系 1 ,CA CB CC Cxyz 則，所以，(1,0,0)A(0,1,0)B 1(1,0,2) A 1(0,1,2) B 1 (0,1,2)CB ( 1,1,0)AB ， 1 ( 1,1,2)AB 1 (1, 1,2)BA （1）因為， 11 11 11 330 cos, 1065 CBBA CB BA CB BA 所以異面直線與夾角的余弦值為 1 BA 1 CB 30 10 4 分 （2

32、）設平面的法向量為， 1 CAB( , , )x y zm 則 即 1 1 0, 0, AB CB m m 20, 20, xyz yz 取平面的一個法向量為； 1 CAB(0,2, 1)m 所以二面角平面角的余弦值為 10 分 1 BABC 10 5 H （第 16 題圖） F A C D E B x y z （第 22 題圖） A B C A1 B1 C1 12. （1）證明：因為，是的中點 1 2 ADBCNBC 所以，又ADNC/ /ADBC 所以四邊形是平行四邊形，所以ANCDANDC 又因為等腰梯形，60ABC 所以 ，所以四邊形是菱形，所以ABBNADANCD 1 30 2 AC

33、BDCB 所以，即90BAC ACAB 由已知可知 平面平面，C BAABC 因為 平面平面C BAABCAB 所以平面 4 分AC ABC （2）證明：因為， / /ADBC/ /ADBC ,ADADA BCBCB 所以平面平面/ /ADDBCC 又因為平面,所以 平面 8 分C NBCC/ /C NADD （3）因為平面,同理平面，建立如圖如示坐標系AC ABCAC ABC 設，1AB 則, ，9 分(1,0,0)B(0, 3,0)C(0,0, 3) C 13 ( ,0) 22 N 則，( 1,0, 3)BC (0,3, 3)CC 設平面的法向量為，有 ，得 C NC( , , )nx y z 0BC n 0C C n ( 3,1,1)n 設平面的法向量為，有ANC),(zyxm 0, 0mACmAN 得 12 分)0 , 1 , 3(m 所以 13 分 5 5 cos nm mn 由圖形可知二面角為鈍角AC NC 所以二面角的余弦值為 14 分AC NC 5 5 x z y A C D BN D C 13. （I）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點， 1 2 四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD 又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=