五年級奧數(shù)春季班第8講 完全平方數(shù)

1、第八講 完全平方數(shù)模塊一、認(rèn)識完全平方數(shù)和完全平方數(shù)的尾數(shù)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0、1、4、5、6、9；性質(zhì)2：如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)；例1（1）寫出12、22、32、202的得數(shù)，觀察這些得數(shù)的個(gè)位，并總結(jié)一下完全平方數(shù)的個(gè)位有什么規(guī)律？n12345678910n2n11121314151617181920n2（2）根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷20737是平方數(shù)嗎？為什么？（3）進(jìn)一步判斷1000是平方數(shù)嗎？呢？解：（1）n12345678910n2149162536496481100n11121314151617181920n2121144

2、169196225256289324361400（2）1000不是平方數(shù)，也不是平方數(shù)。 如果完全平方數(shù)末位是0，那么它從個(gè)位開始，連續(xù)的0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè)。例2（1）10001到11000之間存在哪些數(shù)的平方？寫出這些數(shù) ；（2）非零自然數(shù)的平方按大小排列成，則第92個(gè)位置的數(shù)字是 。解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之間存在101、102、103、104的平方。（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15個(gè)數(shù)字，100、121、直到312=961，一共有223=66個(gè)數(shù)字，前面共有66+15=81個(gè)數(shù)字，

3、從322=1024開始，每個(gè)平方數(shù)有4個(gè)數(shù)字，32、33、34、35，它們的平方都有4個(gè)數(shù)字，81+11=92，所以第92個(gè)位置上是342=1156的第三個(gè)數(shù)字5.模塊二、偶指奇因性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)；性質(zhì)4：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶次。特別地，因數(shù)個(gè)數(shù)為3的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方。例3240乘一個(gè)非零自然數(shù)a，或者除以一個(gè)非零自然數(shù)b，結(jié)果都是一個(gè)完全平方數(shù)，那么a的最小值是 ；b的最小值是 。解：240=2435，乘a是一個(gè)完全平方數(shù)，a的最小值是35=15， 同樣24015也是一個(gè)完全平方數(shù)，b的最小值是15.例4（

4、1）從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的自然數(shù)有 ；（2）從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，有且僅有3個(gè)因數(shù)的自然數(shù)有 ；解：（1）1到100有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10個(gè)；（2）1到100這100個(gè)自然數(shù)中，有且僅有3個(gè)因數(shù)的自然數(shù)有4、9、25、49，共4個(gè)。例5一個(gè)房間有100盞燈，用自然數(shù)1、2、3、100編號。每盞燈各有一個(gè)開關(guān)。開始時(shí)，所有的燈都不亮，有100個(gè)人依次進(jìn)入房間，第1個(gè)人進(jìn)入房間后，把編號是1的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開；第2個(gè)人進(jìn)入房間后，把編號是2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開；如此下去，直到第100

5、個(gè)人進(jìn)入房間后，把編號是100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開。問：第100個(gè)人離開房間后，房間里那些燈還亮著。解：第1盞燈被按了1下；第2盞燈被按了2下；第3盞燈被按了2下；第4盞燈被按了3下；，按這個(gè)規(guī)律排下去發(fā)現(xiàn)每盞燈被按的次數(shù)恰好是它們的因數(shù)的個(gè)數(shù)，平方數(shù)的因數(shù)有奇數(shù)個(gè)，其他的數(shù)的因數(shù)都有偶數(shù)個(gè)，在1100中，完全平方數(shù)有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10個(gè)數(shù)。所以最后又10盞燈亮著。模塊三、完全平方數(shù)的余數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5：完全平方數(shù)除以3只可能余0或1；完全平方數(shù)除以4只可能余0或1；完全平方數(shù)除以8只可能余0、1或4；完全平方數(shù)除以16只可能余0、1、4或9

6、；例6（1）1、11、111、1111、，這些數(shù)中有 個(gè)平方數(shù)；（2）1、14、144、1444、14444，這些數(shù)中有 個(gè)平方數(shù)。解：（1）由于奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)，而奇數(shù)的平方除以4 余1，偶數(shù)的平方能被4整除現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，除了1 以外，它們除以4的余數(shù)都是3，所以只有1個(gè)完全平方數(shù)（2）共有3個(gè)，分別是1，144，1444(38 的平方).14444=43611，14444除以16余12，后面的各數(shù)除以16都與12，因此不可能再有平方數(shù).隨 堂 練 習(xí)1判斷下面有沒有平方數(shù)？182、233、284、387、688解：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9，所

7、以182、233、387、688不是平方數(shù)；又162=256284289=172，所以284不是平方數(shù)；所以這五個(gè)數(shù)都不是完全平方數(shù)。 24106是不是平方數(shù)？如果是，它是誰的平方；如果不是，那么它介于哪兩個(gè)平方數(shù)之間？解：642=4096， 652=4225，所以4106不是平方數(shù)，它介于64的平方和65的平方之間。3360與正整數(shù)a相乘之積為完全平方數(shù)，a的最小值為 。解：360=6225，所以a的最小值是10.410000以內(nèi)的自然數(shù)中，有且僅有3個(gè)因數(shù)的自然數(shù)有 個(gè)。解：有且僅有3個(gè)因數(shù)的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方數(shù)，有22=4、32=9、52=25、72=49、972=9409， 這樣的數(shù)有25個(gè)。5少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著250個(gè)彩色燈泡，按1250編號。它們的亮暗規(guī)則是：第1秒，全部燈變亮；第2秒，凡是編號為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第3秒，凡是編號為3的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)；第n秒，