高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5

1、第三講 柯西不等式與排序不等式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P37考情分析從近兩年高考來看，對(duì)本部分內(nèi)容還未單獨(dú)考查，可也不能忽視，利用柯西不等式構(gòu)造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對(duì)稱”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問題真題體驗(yàn)1(陜西高考)設(shè)a，b，m，nR ，且 a2b25，manb5，則 的最小值為_解析：由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，將已知代入得m2n25 ，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立答案：2(福建高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)

2、因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P37利用柯西不等式證明有關(guān)不等式問題柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式簡潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問題迎刃而解例1已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：.證明由柯西不等式()()()2，于是等號(hào)成立abcd.又已知a

3、，b，c，d不全相等，則中等號(hào)不成立即.利用排序不等式證明有關(guān)的不等式問題排序不等式具有自己獨(dú)特的體現(xiàn)：多個(gè)變量的排列與其大小順序有關(guān)，特別是與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷例2設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，求證：a10b10c10.證明由對(duì)稱性，不妨設(shè)abc，于是a12b12c12，.由排序不等式：順序和亂序和得.又因?yàn)閍11b11c11，再次由排序不等式：反序和亂序和得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值問題有關(guān)不等式問題往往要涉及到對(duì)式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往

4、往比較容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b即a，b時(shí)取等號(hào)(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.例4 已知正實(shí)數(shù)x1，x2，xn滿足x1x2xnP，P為定值，求F的最小值解不妨設(shè)00且00，f(x) .當(dāng)且僅當(dāng)3，即2(2x)3(x)即x時(shí)等號(hào)成立答案：C7設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A. B.C2 D.解析：1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23.即當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時(shí)等式成立，所求為.答案：B

5、8函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：由f(x)cos x，所以f(x) cos x .當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)取等號(hào)答案：A9已知abc1，且a，b，cR，則的最小值為()A1 B3C6 D9解析：abc1，2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29.答案：D10設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均為正數(shù))，則的最小值是()A. BnC1 D不能確定解析：不妨設(shè)0a1a2an，則，是，的一個(gè)排列，又反序和亂序和，所以n.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填寫在題中橫線上)11x，yR，若x

6、y1，則x2y2的最小值為_解析：令a(1,1)，b(x，y)，則abxy1，又|ab|a|b|，1()2()22(x2y2)當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)x2y2.答案：12已知A，B，C是三角形三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，當(dāng)且僅當(dāng)ABC時(shí)，等號(hào)成立答案：13函數(shù)y2的最大值是_解析：y .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)答案：14已知a，b，x，y均為正數(shù)，且，xy，則與的大小關(guān)系是_解析：，ba0.又xy0，由排序不等式知，bxay.又0，.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知實(shí)數(shù)

7、a，b，c滿足a2bc1，a2b2c21，求證：c1.證明：因?yàn)閍2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.c1.16(本小題滿分12分)求函數(shù)y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14)，即y，當(dāng)且僅當(dāng)4(1sin x)sin x即sin x時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)y的最大值為.17(本小題滿分12分)設(shè)a，b，cR，求證：.證明：(bc)(ca)(ab)2(abc)2，即2(abc)(abc)2.又a，b，cR，.18(本小題滿分12分)(1)已知：a，bR，ab4，證明：1；(2)已知： a，