第6章 船舶運動控制系統(tǒng)建模應(yīng)用

1、第6章 船舶運動控制系統(tǒng)建模應(yīng)用6.1 引 言數(shù)學(xué)模型化(mathematical modelling)是用數(shù)學(xué)語言(微分方程式)描述實際過程動態(tài)特性的方法。在船舶運動控制領(lǐng)域，建立船舶運動數(shù)學(xué)模型大體上有兩個目的：一個目的是建立船舶操縱模擬器(ship manoeuvring simulator)，為研究閉環(huán)系統(tǒng)性能提供一個基本的仿真平臺；另一個目的是直接為設(shè)計船舶運動控制器服務(wù)。船舶運動數(shù)學(xué)模型主要可分為非線性數(shù)學(xué)模型和線性數(shù)學(xué)模型，前者用于船舶操縱模擬器設(shè)計和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器、模糊控制器等非線性控制器的訓(xùn)練和優(yōu)化，后者則用于簡化的閉環(huán)性能仿真研究和線性控制器(PID, LQ, LQG, H

2、魯棒控制器)的設(shè)計。船舶的實際運動異常復(fù)雜，在一般情況下具有6個自由度。在附體坐標(biāo)系內(nèi)考察，這種運動包括跟隨3個附體坐標(biāo)軸的移動及圍繞3個附體坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，前者以前進(jìn)速度(surge velocity)u、橫漂速度(sway velocity)v、起伏速度(heave velocity)w表述，后者以艏搖角速度(yaw rate)r、橫搖角速度(rolling rate)p及縱搖角速度(pitching rate)q表述；在慣性坐標(biāo)系內(nèi)考察，船舶運動可以用它的3個空間位置(或3個空間運動速度)和3個姿態(tài)角即方位角(heading angle)、橫傾角(rolling angle)、縱傾角(pi

3、tching angle) (或3個角速度)來描述，稱為歐拉角4(見圖6.1.1)。顯然和以及和之間有確定關(guān)系4。但這并不等于說，我們要把這6個自由度上的運動全部加以考慮。數(shù)學(xué)模型是實際系統(tǒng)的簡化，如何簡化就有很大學(xué)問。太復(fù)雜和精細(xì)的模型可能包含難于估計的參數(shù)，也不便于分析。過于簡單的模型不能描述系統(tǒng)的重要性能。這就需要我們建模時在復(fù)雜和簡單之間做合理的折中。對于船舶運動控制來說，建立一個復(fù)雜程度適宜、精度滿足研究要求的數(shù)學(xué)模型是至關(guān)重要的。 圖6.1.1的坐標(biāo)定義如下：是慣性坐標(biāo)系(大地參考坐標(biāo)系)，為起始位置，指向正北，指向正東，指向地心；oxyz是附體坐標(biāo)系，為船首尾之間連線的中點，沿船

4、中線指向船首，指向右舷，指向地心；航向角以正北為零度，沿順時針方向取0360；舵角d以右舵為正。對于大多數(shù)船舶運動及其控制問題而言，可以忽略起伏運動、縱搖運動及橫搖運動，而只需討論前進(jìn)運動、橫漂運動和艏搖運動，這樣就簡化成一種只有3個自由度的平面運動問題。圖6.1.2給出圖6.1.1經(jīng)簡化后的船舶平面運動變量描述。 船舶平面運動模型對于像航向保持、航跡跟蹤、動力定位、自動避碰等問題，具有足夠的精度；但在研究像舵阻搖、大舵角操縱等問題時，則必須考慮橫搖運動。本章根據(jù)剛體動力學(xué)基本理論建立船舶平面運動基本方程，據(jù)此進(jìn)一步導(dǎo)出狀態(tài)空間型(線性和非線性)及傳遞函數(shù)型船舶運動數(shù)學(xué)模型，并考慮了操舵伺服系

5、統(tǒng)的動態(tài)特性和風(fēng)、浪、流干擾的處理方法。這些結(jié)果將作為設(shè)計各種船舶運動控制器的基礎(chǔ)。計及橫搖的四自由度船舶運動數(shù)學(xué)模型參見文獻(xiàn)5。慣性坐標(biāo)系附體坐標(biāo)系前進(jìn)橫搖橫漂縱搖艏搖起伏圖6.1.1 在慣性坐標(biāo)系和附體坐標(biāo)系中描述船舶的運動圖6.1.2 船舶平面運動變量描述6.2 船舶平面運動的運動學(xué) (1)坐標(biāo)系及運動學(xué)變量 1)慣性坐標(biāo)系及與之相關(guān)的速度分量 取為固定于地球的大地坐標(biāo)系，原點設(shè)為船舶運動始點或任取，地球的曲率在此可不考慮，不過在涉及大范圍航行的航線設(shè)計問題時，需單獨處理。設(shè)船舶運動速度向量在方向上的分量為，在方向上的分量為，船舶當(dāng)前的位置是，時間變量以t表示，顯有 (6-2-1)設(shè)船舶

6、的艏搖角速度r順時針方向為正，有 (6-2-2)2)附體坐標(biāo)系及與之相關(guān)的速度分量 取附體坐標(biāo)系oxy位于滿載水線面內(nèi)。船舶運動速度在ox方向上的分量為u，稱為前進(jìn)速度，在oy方向上的分量為v，叫做橫漂速度。同一速度向量在慣性坐標(biāo)系的分量及附體坐標(biāo)系的分量有下列明顯的關(guān)系 (6-2-3)3)兩種坐標(biāo)系內(nèi)運動學(xué)變量之間的關(guān)系 在慣性坐標(biāo)系內(nèi)船舶的位置和姿態(tài)由確定，在附體坐標(biāo)系內(nèi)船舶之運動速度和角速度由表示。由式(6-2-1)，式(6-2-2)和式(6-2-3)知 (6-2-4)可見，要確定船舶在任意時刻的位置和姿態(tài)，首先應(yīng)該求出在附體坐標(biāo)系內(nèi)u,v,r的變化規(guī)律，為此需要建立船舶運動的動力學(xué)方程

7、。(2)平面運動中船舶各點上速度之間的關(guān)系1)剛體運動分解為移動和轉(zhuǎn)動 從運動控制角度將船舶視為剛體是足夠準(zhǔn)確的，因此其運動是由移動(translation)和轉(zhuǎn)動(rotation)疊加而成；可以取船上任意一點為參考點，船舶一方面整體地隨該參考點平行移動，另一方面繞該參考點同時發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動；移動速度即參考點的速度，故與參考點選擇有關(guān)，轉(zhuǎn)動角速度則與參考點無關(guān)，即對任意的參考點均為同值，對于船舶平面運動，該轉(zhuǎn)動角速度即為艏搖角速率r。2)船舶任意點P處的合速度 取o為參考點(圖6.2.1)，船上任一點P對o點向徑為為ox及oy軸上的單位向量。以向量形式表示旋轉(zhuǎn)角速度，有,為沿oz軸的單位向量，

8、即為艏搖角速度向量。由理論力學(xué)，因剛體轉(zhuǎn)動而造成的速度為，故P點的合速度是 (6-2-5)注意：單位向量乘所得向量滿足右手法則，如，右手從k的正方向逆時針握向i的正方向，大拇指所指方向即j的正方向，如果方向與j的正方向相反，結(jié)果加負(fù)號。.oCPxyhxr圖6.2.1 移動與轉(zhuǎn)動速度的合成考慮船舶質(zhì)心C，其對o點之向徑為，則C點之速度為 (6-2-6)上式最后一步是由于船舶配載對稱于縱舯剖面，。如果取質(zhì)心C為參考點，應(yīng)該從oxy坐標(biāo)系過渡到坐標(biāo)系，后者是前者沿ox方向平行移動距離而得。P對C的向徑為，于是有 (6-2-7)6.3 船舶平面運動的動力學(xué)在推導(dǎo)船舶運動方程時，做下列假設(shè)： 船舶是一個

9、剛體； 大地參照系是慣性參照系； 水動力與頻率無關(guān)，水的自由表面做剛性壁處理。有了第一個假設(shè)就不用考慮每個質(zhì)量元素之間的相互作用力的影響，而第二假設(shè)則可以消除由于地球相對于恒星參照系的運動所產(chǎn)生的力。 (1)平移運動方程的建立 1)剛體的動量 剛體被看做無數(shù)質(zhì)量微團(tuán)的集合體，各微團(tuán)保持其形狀及彼此之間的距離不變。剛體動量為各微團(tuán)動量的積分，即 上式最后一項按照質(zhì)心的定義應(yīng)為零，設(shè)是剛體的總質(zhì)量，則 (6-3-1)2)剛體動量定理 牛頓運動定律指明，剛體動量的變化率等于其所受外力之和。以代表合外力，其中，X是作用于方向上的外力，Y是作用于方向上的外力，有 (6-3-2)利用式(6-2-6)、式(

10、6-3-1)和式(6-3-2)，且注意到(因整個坐標(biāo)系是建立在附體坐標(biāo)系基礎(chǔ)上的，而附體坐標(biāo)系是隨著船舶的移動和轉(zhuǎn)動而移動和轉(zhuǎn)動的，故其導(dǎo)數(shù)存在。如果在慣性坐標(biāo)系，則其導(dǎo)數(shù)為0)，參見圖6.3.1，經(jīng)整理得 (6-3-3)O 圖6.3.1 單位向量微分關(guān)系式(6-3-3)即為船舶平移的動力學(xué)基本方程，注意其形狀與熟知的牛頓方程有所差異，這是由于建立船舶運動數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的oxy是非慣性坐標(biāo)系所致。式(6-3-3)左端附加項及是船舶宏觀旋轉(zhuǎn)中向心慣性力分量；附加項及分別是由于質(zhì)心C對原點o做旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生的向心慣性力及切向慣性力(離心慣性力)。 (2)旋轉(zhuǎn)運動方程的建立 1)剛體的動量矩 剛體對質(zhì)心

11、C的動量矩為各微團(tuán)對C動量矩的積分，即 (6-3-4)其中為船舶對過C點的垂直軸的慣性矩。2)對質(zhì)心C的動量矩定理 同樣由牛頓運動定律，運動著的剛體對質(zhì)心C的動量矩變化率等于其所受外力矩之和，以表示后者，為外力矩之代數(shù)和，于是 即 (6-3-5)3)對于坐標(biāo)系oxy原點o的動量矩定理 形式為式(6-3-5)的動量矩定理只適用于質(zhì)心C?，F(xiàn)由該式出發(fā)對力矩和動量矩進(jìn)行變換以導(dǎo)出適用于o點的動量矩定理表達(dá)式。以表示外力矩之和，其中N是作用于船舶的繞z軸的外力矩，以表示船舶對oz軸的慣性矩，由理論力學(xué)的力矩和慣性矩移軸公式，有及，這樣由式(6-3-4)和式(6-3-5)可推出 (6-3-6)式(6-3

12、-6)即為船舶轉(zhuǎn)動的動力學(xué)基本方程，其形狀與式(6-3-5)的區(qū)別在于，左端的附加項及分別代表由于質(zhì)心C對原點o做旋轉(zhuǎn)運動所產(chǎn)生的離心慣性力矩和向心慣性力矩。6.4 船舶平面運動的線性化數(shù)學(xué)模型綜合式(6-3-3)和式(6-3-6)，得下列形式的船舶平面運動基本方程 (6-4-1)當(dāng)附體坐標(biāo)系原點取在質(zhì)心C時，可得最簡形式的船舶平面運動基本方程 (6-4-2) 式(6-4-1)代表著3種力的平衡關(guān)系：左端是船體本身的慣性力和力矩，右端是流體對船體運動的反作用力，實際上包含了流體慣性力和力矩及黏性力和力矩。式(6-4-1)本質(zhì)是非線性的，其左端顯式地出現(xiàn)等非線性項，尤其右端的將是運動變量和控制變

13、量的多元非線性函數(shù)，結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜。 (1)船舶平面運動的非線性模型和線性模型船舶運動數(shù)學(xué)模型分線性化數(shù)學(xué)模型和非線性數(shù)學(xué)模型兩大類。研究船舶數(shù)學(xué)模型通常有兩種目的：一種目的是建立精密程度不同的船舶運動仿真器(又稱船舶運動模擬器)，用于通過仿真對船舶操縱特性進(jìn)行研究，對船舶運動閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，對船舶運動控制器性能進(jìn)行評價。這種模型必須是非線性的，以包含盡可能多的機(jī)理細(xì)節(jié)；另一種模型目的是用于船舶運動控制器設(shè)計，這種模型主要是線性的，因為迄今為止，線性反饋控制理論仍是能夠提供各種控制器設(shè)計系統(tǒng)性方法的惟一控制論分支。當(dāng)引用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制或模糊控制時，非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型可以提供訓(xùn)練和學(xué)習(xí)的數(shù)

14、據(jù)。1)船舶平面運動非線性數(shù)學(xué)模型 為應(yīng)用方程式(6-4-1)求解船舶平面運動的基本變量，必須具體討論流體動力X,Y和力矩N的結(jié)構(gòu)形式。研究中把船體、螺旋槳和舵視為一個整體，此時X,Y,N將是移動速度、轉(zhuǎn)動角速度、它們的時間導(dǎo)數(shù)、舵角以及螺旋槳轉(zhuǎn)速的非線性函數(shù) (6-4-3)完全從理論上確定式(6-4-3)的函數(shù)關(guān)系極為困難，迫使研究者不得不轉(zhuǎn)向半理論半經(jīng)驗的方法或多元數(shù)據(jù)回歸方法。Abkowitz提出一種小擾動和Taylor展開研究X,Y,N的表示式的方法，其主要思路是，考慮船舶等速直線運動這一平衡狀態(tài)：，這時在式(6-4-3)中的自變量將不出現(xiàn)；從該點出發(fā)，研究偏離平衡狀態(tài)不遠(yuǎn)的運動：是小

15、量；將X,Y,N在平衡點附近展成Taylor級數(shù)時，在展開式中將僅出現(xiàn)和的一次項，因為流體對船舶的慣性反作用力只取決于平移加速度以及轉(zhuǎn)動角加速度本身，而與它們的各階導(dǎo)數(shù)無關(guān)；至于和有關(guān)的黏性力各項及與有關(guān)的舵力各項，則取至3階為止，更高階的項全部略去。將式(6-4-3)的展開式代回式(6-4-1)并進(jìn)行移項整理，可得到Abkowitz非線性船舶運動方程6。Norrbin發(fā)展一種非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型7，該模型有兩個特點，一是適用于運動變量的整個變化范圍；二是它不像Abkowitz模型那樣，完全按數(shù)學(xué)方式處理流體動力，以至其Taylor展開式的某些項缺乏物理意義，而是在更深的層次上依賴于流體動力

16、學(xué)的基本原理，構(gòu)成一種半理論半經(jīng)驗的模型格局。以上所述的Abkowitz和Norrbin船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型屬于“整體式”模型，本節(jié)將做較詳細(xì)的介紹。與此相對應(yīng)，日本船舶操縱數(shù)學(xué)模型小組(Manoeuvring Model Group, MMG)提出了一種分離式船舶運動數(shù)學(xué)模型8，后者是在單獨考慮船體、螺旋槳、舵的流體動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上再研究在它們構(gòu)成一個推進(jìn)和操縱系統(tǒng)時，各部分之間的相互干擾。這種分離式模型的優(yōu)勢是具有完整的理論支持，易于進(jìn)行實驗研究從而獲得較為通用的數(shù)據(jù)回歸結(jié)果，對于希望建立自己的復(fù)雜程度不同的船舶操縱模擬器的各類研究人員均有裨益。有關(guān)MMG模型的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)，有興趣的讀者

17、可參考文獻(xiàn)9。 2)船舶平面運動線性數(shù)學(xué)模型 沿用Abkowitz的研究方案，在把流體動力X,Y,N展開成Taylor級數(shù)時只保留一階小量6，同時在船舶運動基本方程左端也進(jìn)行線性化處理，從而得到平面運動線性數(shù)學(xué)模型，有 以矩陣形式表示之，有(6-4-4) 式(6-4-4)對研究平面運動穩(wěn)定性有用。 3)前進(jìn)運動與橫漂、轉(zhuǎn)首運動的解耦 式(6-4-4)表明，在線性化前提下，前進(jìn)運動與其他兩個自由度上的運動互相獨立，從航速控制的角度，該自由度的運動可以單獨考慮；橫漂及轉(zhuǎn)首運動之間存在著強(qiáng)耦合，這兩個自由度上的運動與船舶航向、航跡控制密切相關(guān)，是本章研究的重點，故而將式(6-4-4)重新寫為 (6-

18、4-5) (6-4-6) 4)流體動力導(dǎo)數(shù)的無量綱化 船舶線性化數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步推演主要涉及10個流體動力導(dǎo)數(shù)，前4個稱為“速度導(dǎo)數(shù)”，第5第8個稱為“加速度導(dǎo)數(shù)”，最后兩個稱為“舵力和舵力矩導(dǎo)數(shù)”。由于船舶(包括槳、舵)幾何形狀的復(fù)雜性，應(yīng)用理論流體動力學(xué)方法計算這些流體動力導(dǎo)數(shù)是不可能的，因此它們的確定必須依賴于船模試驗。為了數(shù)據(jù)處理的科學(xué)性以及使用的方便性，根據(jù)相似原理和量綱分析方法，應(yīng)該采用無量綱的流體動力導(dǎo)數(shù)。為此選擇一些基本的度量單位：長度L(船長)，速度V(航速)，時間L/V，質(zhì)量，力，力矩，其中水密度。這樣將得到各量的無量綱值： 質(zhì)量： 長度： 速度： 轉(zhuǎn)首角速度： 力： 力矩

19、： 慣性矩： 以此為基礎(chǔ)，將得到無量綱速度導(dǎo)數(shù), ，以此類推。以上介紹的無量綱化流體動力導(dǎo)數(shù)稱為“一撇”系統(tǒng)(prime system)，由美國造船與輪機(jī)工程師協(xié)會(SNAME)于1950年提出；此后Norrbin又提出了“兩撇”(bis system)7，其獨到之處是采用與上述不同的基本度量單位，如：長度L，速度，時間，質(zhì)量為排水體積，力，力矩。由此得出的無量綱流體動力導(dǎo)數(shù)以表示。 5)線性流體動力導(dǎo)數(shù)的估算公式 Clarke整理大量船模試驗數(shù)據(jù)，給出關(guān)于10個線性流體動力導(dǎo)數(shù)的回歸公式10，匯集如下： (6-4-7) 上式中B,T,Ad分別指船寬、吃水、方形系數(shù)、舵葉面積。上式中的是船體本

20、身的流體動力導(dǎo)數(shù)，在實際應(yīng)用時應(yīng)考慮舵對船體流體動力的干擾，尚需對這些流體動力導(dǎo)數(shù)做一定的修正，需修改的增量按下式確定10 (6-4-8) (2)狀態(tài)空間型船舶平面運動數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間型的船舶運動數(shù)學(xué)模型是船舶運動控制器設(shè)計的基礎(chǔ)，它可以有多層次的模型化方案，不同維數(shù)的模型用于不同的設(shè)計目的和精度要求，詳見文獻(xiàn)9。 1)二自由度狀態(tài)空間型船舶線性數(shù)學(xué)模型 在式(6-4-6)的第一行兩端除以，第二行除以，并轉(zhuǎn)化成無量綱流體動力導(dǎo)數(shù)，則有 (6-4-9)上式可簡記為 (6-4-10)其中 分別是慣性力導(dǎo)數(shù)矩陣、黏性力導(dǎo)數(shù)矩陣及舵力導(dǎo)數(shù)矩陣，是狀態(tài)向量，是控制輸入。將式(6-4-10)化成標(biāo)準(zhǔn)的狀

21、態(tài)空間形式，得 (6-4-11)其中 并且 (6-4-12) 2)三自由度狀態(tài)空間型船舶線性數(shù)學(xué)模型 在式(6-4-11)的基礎(chǔ)上，增加一個便于研究問題的狀態(tài)變量(航向偏差)，且為設(shè)定航向，使?fàn)顟B(tài)向量成為。因，可得 (6-4-13)其中 3階模型是最基本的，由此可演化成其他更高階的模型形式，直接利用3階模型可進(jìn)行線性二次型(Linear Quadratic, LQ)最優(yōu)控制器設(shè)計。 3)四自由度狀態(tài)空間型船舶線性數(shù)學(xué)模型 在式(6-4-13)基礎(chǔ)上再疊加以舵機(jī)伺服系統(tǒng)的模型，后者一般被視為一個1階慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為Tr，則有 (6-4-14)其中：dr為命令舵角，則狀態(tài)變量成為，可得到 (

22、6-4-15)其中 4)考慮隨機(jī)干擾時的線性船舶數(shù)學(xué)模型 考慮海上環(huán)境干擾對船舶的影響，并把這種干擾簡化為一種白噪聲，則船舶運動數(shù)學(xué)模型將從確定性系統(tǒng)變?yōu)殡S機(jī)系統(tǒng)，這樣有 (6-4-16) (6-4-17) (6-4-18)其中白噪聲代表航向角受到的高頻噪聲，代表海浪對舵葉驅(qū)動伺服系統(tǒng)的干擾作用。 (3)傳遞函數(shù)型的船舶運動數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)型數(shù)學(xué)模型在經(jīng)典控制論以至智能控制范疇內(nèi)用于分析船舶運動的動態(tài)行為，并且可作為設(shè)計航向、航跡控制器的基礎(chǔ)。1)3階傳遞函數(shù)模型 對于船舶航向控制來說，采用3個自由度的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型式(6-4-12)，加上輸出方程 (6-4-19)其中為量測航向，將此狀態(tài)空

23、間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式為 (6-4-20)這是一個3階系統(tǒng)，具有兩個非零極點和一個零點，且有由此不難解得3個時間常數(shù)以及一個系統(tǒng)增益系數(shù)。 2)2階傳遞函數(shù)模型(Nomoto模型) 野本(Nomoto)對3階船舶模型式(6-4-20)做了一項出色的簡化工作，使之降為2階11。論證的出發(fā)點在于，對于船舶這種大慣性的運載工具來說，其動態(tài)特性只在低頻段是重要的，故在式(6-4-20)中令，且利用一個熟知的近似關(guān)系：當(dāng)時有，并忽略2階和3階小量，由此導(dǎo)出著名的Nomoto模型 (6-4-21)其中增益與3階模型相同，時間常數(shù)，或直接由下式求出 式(6-4-21)廣泛應(yīng)用于船舶自動舵的控制器設(shè)計中。用

24、Nomoto模型進(jìn)行船舶運動控制器設(shè)計有兩個好處：一是在低頻范圍，其頻譜與高階模型的頻譜非常相近；二是設(shè)計出的控制器階次低，易于實現(xiàn)。求解本節(jié)所述船舶運動數(shù)學(xué)模型需要已知8個船舶參數(shù)，即航速，兩柱間長，船寬，滿載吃水，方形系數(shù)，排水量，重心距中心距離，舵葉面積。首先將這8個已知參數(shù)代入式(6-4-7)，求出10個流體動力導(dǎo)數(shù)，并用式(6-4-8)修正，然后代入式(6-4-12)，即可求出各種自由度的數(shù)學(xué)模型。6.5 船舶平面運動的一種簡潔非線性數(shù)學(xué)模型 (1)用于船舶運動閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真的六自由度非線性模型各種線性船舶數(shù)學(xué)模型只用于在不同情況下進(jìn)行控制器設(shè)計，當(dāng)用于船舶閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真研究時，

25、必須以非線性模型表述被控過程的動態(tài)特性，并且還需考慮風(fēng)、浪、流造成的環(huán)境干擾。從式(6-4-10)出發(fā)，在其右端加上非線性流體動力項、風(fēng)力項、浪力項，則無量綱的二自由度非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型將呈下列形式 (6-5-1)其中 ,及,分別是非線性力、風(fēng)力、浪力在y方向的合力及在繞z軸方向的合力矩。 由式(6-5-1)和式(6-4-14)不難看出在的4個自由度上有非線性狀態(tài)方程 (6-5-2)考慮到船舶位置的兩個自由度上的運動學(xué)關(guān)系 (6-5-3)則式(6-5-2)與式(6-5-3)構(gòu)成了六自由度的船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型的基本框架，狀態(tài)變量變?yōu)?各研究者關(guān)于式(6-5-2)中非線性流體動力的取法不同

26、是區(qū)別到目前為止形形色色的非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型的主要標(biāo)志。 (2)Norrbin關(guān)于非線性力的簡化表示式 Norrbin在研究船舶參數(shù)辨識問題時提出了一種關(guān)于非線性流體動力的簡潔表示式7,12，如下所示： (6-5-4)其中 (6-5-5) (6-5-6)式(6-5-4)中的比例系數(shù)C為無量綱橫流系數(shù)，其值通常在0.30.8范圍內(nèi)。Norrbin關(guān)于的橫流模型式(6-5-5)、式(6-5-6)的優(yōu)越之處在于其表示式在各類非線性模型中最為簡單，它的導(dǎo)出具有比較明確的理論基礎(chǔ)，并且公式中除了船舶吃水和船長之外，不需任何關(guān)于船體結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，應(yīng)用甚為方便。據(jù)筆者的經(jīng)驗，由式(6-5-2)式(6-5-

27、6)組成簡化的非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型用于在自動舵控制下的閉環(huán)系統(tǒng)的仿真研究，結(jié)果是可信的1315。應(yīng)指出，對式(6-5-5)和式(6-5-6)中同時出現(xiàn)和的情況應(yīng)做專門處理。 (3)風(fēng)力干擾 在式(6-5-2)中，風(fēng)力分成平均風(fēng)力及脈動風(fēng)力16。平均風(fēng)力計算見圖6.5.1。NN yxV-VO圖6.5.1 平均風(fēng)力計算 平均風(fēng)力的表示式如下： (6-5-7)式(6-5-7)中為無量綱的風(fēng)力和風(fēng)力矩系數(shù)，文獻(xiàn)17給出了這兩個系數(shù)的一系列圖譜可資利用，其估算公式參見文獻(xiàn)16；為船舶水線以上側(cè)投影面積，為空氣密度；為相對風(fēng)速，為相對風(fēng)速與首向間的夾角，稱為風(fēng)舷角，由絕對風(fēng)速、絕對風(fēng)向以及航速V(u,v

28、)按下式計算 (6-5-8) 上式中變動范圍為0360，變動范圍為0180，相對風(fēng)從右舷來時0。脈動風(fēng)力是由大氣的湍流所造成的，按文獻(xiàn)16，它們被認(rèn)為是某種白噪聲的實現(xiàn)，該白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差,與絕對風(fēng)速的平方成正比 (6-5-9) (4)浪力干擾 浪力分為兩個組成部分：高頻的一次力，它是與波浪宏觀振蕩運動同步的周期力，幅值可較船舶的推進(jìn)力或因運動而產(chǎn)生的流體動力高一個數(shù)量級，但由于大慣性船舶本體的濾波作用，一次力產(chǎn)生的振蕩運動(艏搖、橫蕩等)被限制在允許范圍之內(nèi)；低頻的二次力，數(shù)量級較小，數(shù)值變動緩慢，產(chǎn)生船位的漂移。1)一次力的計算 采用文獻(xiàn)16的結(jié)果，把波浪看成規(guī)則波，這種波浪只有一個頻率、一

29、個周期和一個波高；而把船舶看成一個簡單的六面體；在小擾動假設(shè)下壓力由波形抬高按Bernoulli公式求出，浪力是在船體水下表面上把壓力積分而得，并表成封閉的解析形式。更準(zhǔn)確地可采用不規(guī)則波概念，把不同風(fēng)力下的波譜分解成一系列波譜段(例如10段)，每一段波譜對應(yīng)著一定的頻率和波高，這樣不規(guī)則波就由一系列規(guī)則波疊加而成；船體也被分解成一系列六面體分段(例如20段)；分別計算各種波浪分量在每一分段上的力，最后按頻率和船長進(jìn)行二維求和可得到總的浪力，但計算量大為增加18，未予采用。規(guī)則波對于船的傳播方向稱為浪向角，以表之，參見圖6.5.2，有 (6-5-10)=0為順浪，p為頂浪，為橫浪(表示浪從右舷

30、來)；船對波浪的遭遇頻率是 (6-5-11)Nyxwind directionwave propagationdirectionuvO 圖6.5.2 浪向角 式(6-5-11)中w為規(guī)則波本身的圓頻率，為波數(shù)，有 (6-5-12)式中：為波長，Tw為波浪周期，與風(fēng)速有關(guān)，其具體的依存關(guān)系視考察的海區(qū)而有所不同。Kallstrom根據(jù)海上觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘回歸16，得到和波高公式如下： (6-5-13)注意式(6-5-13)只適用于對于的情況應(yīng)謹(jǐn)慎進(jìn)行外推處理；并且在0時仍給出1.5 m的波高和5.6 s的波浪周期，這對大西洋上的情況可能是合適的，但用于我國近海海域，可能稍有誤差。Kallst

31、rom還對Zuidweg的工作19略加修改，給出浪力表示式如下： (6-5-14)其中 (6-5-15)式(6-5-14)中代表在附體坐標(biāo)系原點處波面的振蕩，則表明沿波浪傳播方向上的波面的斜率在原點處的值。在進(jìn)行仿真時應(yīng)對式(6-5-15)的進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波16，濾波的方法如下： (6-5-16) (6-5-17)式(6-5-16)、式(6-5-17)表明所采用的是一個時變?yōu)V波器。為經(jīng)過濾波的遭遇頻率；為未經(jīng)濾波的遭遇頻率；A,B是兩個常數(shù)，取A=0.999，B=0.001(即A+B=1)；S(0)取為0.999，隨著遞推次數(shù)k的增加，由式(6-5-17)知S(k)下降，當(dāng)k時S(k)0，此時式

32、(6-5-16)趨于一個定常濾波器 (6-5-18)濾波的結(jié)果是：在連續(xù)的采樣周期也連續(xù)變化。2)二次力的計算 目前尚無簡捷而可靠的方法。海浪干擾的另一種簡單模擬方法是用白噪聲驅(qū)動一個典型的2階振蕩環(huán)節(jié)(相當(dāng)于2階低通濾波器)20。其中白噪聲的帶寬為0.5 Hz，2階濾波器具有低阻尼比，參數(shù)為0.05，自然頻率其中為海浪頻譜的峰值頻率，U為船速，為航向與海浪方向之間的夾角，為重力加速度。 例如，如果模擬的海況為5級風(fēng)，中浪，參數(shù)可取為0.15 rad/s，船速為7 m/s(約14 kn)，g為60。 (5)流干擾 仿真時通常假定流是恒定并且均勻的，它只改變船舶運動的位置和速度，而不改變船舶的航

33、向，有下列速度平衡方程： (6-5-19)NNyxO其中分別為流的絕對速度和絕對流向，見圖6.5.3。 圖6.5.3 流的干擾 (6)船舶運動數(shù)學(xué)模型的總體結(jié)構(gòu)Dy, d, d時間歷史曲線顯示Runge-Kutta積 分 算 法船 舶 運 動 數(shù) 學(xué) 模 型航 向 、航 跡 控 制 策 略浪力非線性力舵力風(fēng)力船型位置顯示 (風(fēng)速、風(fēng)向)流操舵伺服系統(tǒng)模型 圖6.5.4示出筆者所研制的船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型的總體框架，還包括了模型和控制器的連接，該圖表述了仿真研究的信號流程。圖6.5.4 船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型總體結(jié)構(gòu)6.6 操舵伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在式(6-4-14)中，把舵機(jī)伺服系統(tǒng)看成1階慣

34、性環(huán)節(jié)是一種較粗糙的近似。實際上，操舵伺服系統(tǒng)是一個具有純遲延、死區(qū)、滯環(huán)、飽和等非線性特性的電動液壓系統(tǒng)，這些因素在很大程度上影響到航向/航跡閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能；換言之，要獲得良好的航向和航跡控制質(zhì)量，除了要依賴各種“高級的”航向保持、航跡保持控制算法之外，還需十分注意操舵伺服系統(tǒng)這一舵角閉環(huán)的動態(tài)行為及其與自動舵(航向環(huán)和航跡環(huán))之間的匹配。這一點雖然近來已逐步為人們所認(rèn)識，但是單從自動舵設(shè)計者的角度進(jìn)行努力不可能根本解決問題，而必須從自動舵與操舵電液伺服系統(tǒng)的結(jié)合上進(jìn)行綜合考慮，在整個船舶運動控制的層次上，在設(shè)備的選型、安裝、管理以及控制方案的確定、控制算法的設(shè)計等諸多方面進(jìn)行細(xì)致的工作

35、，協(xié)調(diào)處理，方能收到良好效果。對于操舵伺服系統(tǒng)的分類以及性能比較、操舵伺服系統(tǒng)引起的船舶運動附加阻力等問題，Blanke曾進(jìn)行過相當(dāng)深入的研究21,22。按照Blanke的觀點，操舵電液伺服系統(tǒng)可概分為5類，其定義及模型化概述如下：第1類：單油路bang-bang控制伺服閥系統(tǒng) 由命令舵角和實際舵角所形成的誤差信號經(jīng)功率放大，引起三位四通電液伺服閥一側(cè)的電磁線圈(solenoid)通電，打開操舵主油缸(hydralic actuator)的通路，由定排量主油泵來的壓力油驅(qū)動舵葉回轉(zhuǎn)，直到實際舵角與命令舵角一致為止。其原理和仿真模型參見圖6.6.1，其中DB為死區(qū)寬度，H為滯環(huán)寬度，N為最高轉(zhuǎn)舵

36、角速率。對于一艘250 000 載重噸油船，典型數(shù)據(jù)為DB=2，H=1，N=2.3/s。1-1HDBsolenoidhydraulic actuator圖6.6.1 第1類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型第2類：雙油路bang-bang控制液壓操舵器系統(tǒng) 此系統(tǒng)中舵角誤差信號經(jīng)功率放大，引起三位四通電液伺服閥一側(cè)的電磁線圈通電，打開液壓操舵器(telemotor, TM)的油路，由定排量輔油泵來的壓力油使TM的拉桿移動，這是一級放大；TM拉桿因而拉動變排量主油泵的油量控制桿，使主油泵排出與控制桿移動距離成比例的油量，這個壓力油流被通至轉(zhuǎn)舵主油缸，驅(qū)動舵葉回轉(zhuǎn)，與此同時由舵柱帶動的機(jī)械式三點追隨機(jī)構(gòu)產(chǎn)生

37、位置反饋，把主油泵的油量控制桿拉回到零油量位置，此時d動態(tài)地停留在的位置上，這是二級放大。這類液壓操舵系統(tǒng)在海船上應(yīng)用相當(dāng)廣泛，其動態(tài)性能(操舵時間和舵角跟蹤精度)明顯優(yōu)于第1類電液操舵伺服系統(tǒng)。圖6.6.2(a)為系統(tǒng)框圖，圖6.6.2(b)為相應(yīng)的仿真模型。PB為主回路比例帶；K為一級放大系數(shù)，N為二級放大系數(shù)。典型的數(shù)據(jù)：DB=1，H=0.8，PB=7，K=4/s，N=2.3/s。第3類：單油路bang-bang控制主變量泵的主油路 本系統(tǒng)實際上是把第2類系統(tǒng)的三點式追隨機(jī)去除后形成的，因為沒有了舵角位移的二級反饋，所以變量油泵的油量控制拉桿只能有3個位置：左滿程、右滿程、零位。這和信號

38、的符號是一致的；換句話說，此時的變量油泵只作為定量油泵使用。因而此類系統(tǒng)的功能類似于第1類系統(tǒng)，但其性能要優(yōu)于后者，原因是在3個位置之間的轉(zhuǎn)換(即TM拉桿的移動)是逐步發(fā)生的，因而其動態(tài)過程自然比油路的突然開、斷控制的第1類要平滑，舵角超調(diào)也要小得多。圖6.6.3示出此系統(tǒng)的仿真模型，其中比圖6.6.1增加了一個積分環(huán)節(jié)。典型的數(shù)據(jù)為：DB=1，H=0.8，PB=7，K=4/s，N=2.3/s。功率放大+-+-三位四通電磁閥液壓操舵器輔泵主泵主操舵回路柱塞舵葉機(jī)械式舵角反饋電氣式舵角反饋反饋位移信號拉桿位移信號油量控制桿位移(a) 系統(tǒng)框圖1-1HDBNPBauxiliary loopmain

39、 loop(b) 仿真模型圖6.6.2 第2類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型solenoid1-1HDBtelemotormain pump圖6.6.3 第3類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型第4類：雙油路模擬控制操舵伺服器系統(tǒng) 本類系統(tǒng)的特點在于，對TM的油量控制采用一種比例伺服閥而不是像類型1系統(tǒng)中的那種位式伺服閥；至于對主油路的控制則與類型2系統(tǒng)中的形式全同；這樣本系統(tǒng)就存在著兩個串聯(lián)的連續(xù)運動環(huán)節(jié)，如圖6.6.4所示，其動態(tài)性能在各類中是最好的，但初置費明顯增加。典型數(shù)據(jù)為=1，K=4/s，=7，N=2.3/s。NPB2+-PB1N圖6.6.4 第4類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型第5類：單油路模擬控制變

40、量油泵的油流系統(tǒng) 此系統(tǒng)設(shè)計較為簡捷，因為只用了單油路；由于采用了比例控制的直線位移輸出的伺服機(jī)構(gòu)去拉動變量油泵的油量控制桿，使舵葉的運動快速，并且不會產(chǎn)生舵角的靜態(tài)誤差，其仿真模型見圖6.6.5。典型數(shù)據(jù)為：PB=7，N=2.3/s。NPB+-圖6.6.5 第5類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型 在船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型總體框架中可能包含上述某種線性或非線性的操舵伺服系統(tǒng)模型。6.7 非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型 當(dāng)船舶進(jìn)行大舵角回旋操縱時，之間的非線性耦合效應(yīng)將使航速明顯下降，此時上述的船舶運動數(shù)學(xué)模型已難于描述過程的動態(tài)，需要轉(zhuǎn)向更為精密的模型。Abkowitz非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型是這方面的一個突出

41、代表。(1)模型結(jié)構(gòu)形式的討論綜合船舶平面運動基本方程式(6-4-1)和作用于船舶上的流體動力式(6-4-3)，有 (6-7-1)1)船體慣性力 式(6-7-1)左端的船體慣性力各項不做任何簡化，其中與平移加速度及回轉(zhuǎn)角加速度成正比的項保留于方程左端，其他各耦合相乘項和平方項全部移到方程右端，與流體動力的有關(guān)項合并。2)流體慣性力 流體對船舶運動的慣性作用力只與的一次冪有關(guān)，且由于船體形狀的左右對稱性，展開式中不應(yīng)存在橫向加速度及轉(zhuǎn)首角加速度的項；類似地，在展開式中也不應(yīng)出現(xiàn)縱向加速度的項。故有。這些項將被移至式(6-7-1)左端，與船體慣性力合并。3)流體黏性力 這里既包含船體本身與周圍介質(zhì)

42、的相對運動造成的升力和阻力，也包括各種控制面上產(chǎn)生的驅(qū)動力，如舵葉和槳葉上的推力和阻力。阻力直接與黏性有關(guān)；升力雖然數(shù)值上可用勢流理論計算，但是物理上它的起因卻是由于黏性造成初始的邊界層分離從而產(chǎn)生環(huán)流，因而把這一部分流體動力含蓄地統(tǒng)稱為黏性力還是適宜的。由于船形(包括置于正中位置的舵和槳)左右對稱，應(yīng)是及其交叉乘積的偶函數(shù)，因為不管為正或為負(fù)，引起的分力應(yīng)是同樣的；作為的函數(shù)，一方面應(yīng)包含類型的項，另一方面還應(yīng)出現(xiàn)與構(gòu)成的乘積的偶函數(shù)項。因此在3階精度范圍內(nèi)，的黏性力部分應(yīng)該包括下列各項, 。同樣由于船形的左右對稱性，應(yīng)是及其交叉乘積的奇函數(shù)，因為的每一個變動方向時產(chǎn)生的橫向流體動力及力矩也

43、要改變方向。同理還應(yīng)考慮到縱向速度的作用，一方面出現(xiàn)類型的項，另一方面應(yīng)出現(xiàn)與之間的奇函數(shù)耦合項。在3階精度范圍內(nèi)，有 。是平衡狀態(tài)下出現(xiàn)的不對稱不平衡流體動力，部分是由于螺旋槳單向轉(zhuǎn)動造成的。注意：在上述關(guān)于黏性力的Taylor展開式中，為簡便起見，已把各階次對應(yīng)的數(shù)字系數(shù)并入到相應(yīng)的流體動力導(dǎo)數(shù)中去，例如被寫為，等等。(2) Abkowitz非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型基于上述討論，有如下的Abkowitz的船舶平面運動非線性數(shù)學(xué)模型： (6-7-2)為將式(6-7-2)化成無量綱形式，在第1,2兩式兩端除以，在第3式兩端除以，最后解出，有 (6-7-3)其中(6-7-4)(6-7-5)(6-7

44、-6) (6-7-7)式(6-7-3)式(6-7-7)給出的船舶運動非線性數(shù)學(xué)模型中的流體動力導(dǎo)數(shù)需依賴于船模試驗或系統(tǒng)辨識技術(shù)求得。關(guān)于Abkowitz模型的進(jìn)一步細(xì)節(jié)及仿真應(yīng)用請參閱文獻(xiàn)9。(3) 一種響應(yīng)型非線性船舶運動數(shù)學(xué)模型 船舶運動可以用狀態(tài)空間模型描述，也可以用輸入-輸出模型描述。前一種描述能處理控制作用下船舶的多變量運動問題，對風(fēng)浪流干擾的引入也較為直接和準(zhǔn)確，但計算相當(dāng)復(fù)雜；后一種描述又稱為響應(yīng)模型法，它在略去橫漂速度后抓住了船舶動態(tài)從的主要脈絡(luò)，所獲的微分方程仍可保留非線性影響因素，甚至可以把風(fēng)浪干擾作用折合成為某一種干擾舵角構(gòu)成一種輸入信號與實際舵角d一道進(jìn)入船舶模型，見

45、圖6.7.1。在此方案中做得較好的有Van Amerongen的研究20。該模型實際上是線性的Nomoto模型的推廣。rudder servo modelnonlinear ship modelPB+-圖6.7.1 非線性的船舶運動數(shù)學(xué)模型(操舵伺服系統(tǒng)+船舶動力學(xué)) 已知2階Nomoto模型為 (6-7-8)對于某些靜態(tài)不穩(wěn)定船舶，式(6-7-8)左端第二項必須代之以一個非線性項，且 (6-7-9)于是非線性的2階船舶運動響應(yīng)模型成為 (6-7-10)顯然，在線性情形下，為使式(6-7-8)與式(6-7-10)一致，必須有。圖6.7.1中的為 (6-7-11)參數(shù)及指數(shù)均與航速有關(guān)。對于一艘

46、1.5萬噸油船23，增益取為K=0.16 ，時間常數(shù)取為T=104.55 s，當(dāng)航速為15 kn時，。圖6.7.1中風(fēng)浪引起的等效舵角可以計算得出23，也可簡單地用白噪聲模擬。綜上所述，船舶運動數(shù)學(xué)模型可以有多種形式，它們之間的主要區(qū)別有以下10個方面： 流體動力X,Y,N展開成Taylor級數(shù)時保留到1階或3階，分別構(gòu)成了線性模型和非線性模型的基礎(chǔ)； 模型參數(shù)無量綱化時采用的基準(zhǔn)單位不同； 基于不同的大型船舶試驗(美國、日本)擬合出不同的流體動力導(dǎo)數(shù)公式； 采用“整體式”模型或分離式船舶運動數(shù)學(xué)模型，后者是在單獨考慮船體、螺旋槳、舵的流體動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上再研究在它們構(gòu)成一個推進(jìn)和操縱系統(tǒng)時，各部分之間的相互干擾； 干擾種類不同，如用白噪聲模擬風(fēng)浪流干擾；風(fēng)浪流模型的復(fù)雜程度不同，如海浪采用單一頻率和幅值的正弦波或采用多種頻率和幅值的正弦波的合成； 采用不同的舵機(jī)模型； 采用不同自由度(橫搖、縱傾)的船舶運動數(shù)學(xué)模型； 將船舶根據(jù)其方形系數(shù)將擬合的參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)處理等； 采用響應(yīng)型非線性數(shù)學(xué)模型。根據(jù)已知的特定參數(shù)推導(dǎo)或在一定的條件下做實驗得出的數(shù)學(xué)模型稱為名義數(shù)學(xué)模型或標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，而實際的數(shù)學(xué)模型由于元件老化等原因其參數(shù)是變化的，可能是時變的，例如船舶的