函數(shù)微分的定義

1、.函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于x的常數(shù)，是x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應于自變量增量x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學習我們知道：微分是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy與y的差是關(guān)于x的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當x0時，ydy.導數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。導

2、數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi))時，相應地函數(shù)有增量，若y與x之比當x0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點x0處存在導數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導，否則不可導。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導函數(shù)。導數(shù)公式微分公式函數(shù)和、差、積、商的求導法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那

3、末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使 成立。 這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下： 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。 注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍 下面我們在學習一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。羅彼塔(LHospital)法則 當xa(或x)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的

4、某個去心鄰域內(nèi)(或當xN)時，與都存在，0，且存在 則：= 這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(LHospital)法則 注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。曲線凹向的判定定理 定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導，它對應曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： 導數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導，并且具有一階導數(shù)和二階導數(shù)；那末： 若

5、在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應的曲線是下凹的； 若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應的曲線是上凹的；不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即:=F(x)+C分部積分法 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導法則得來的。 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導公式為： (uv)=uv+uv，移項，得 uv=(uv)-uv，對其兩邊求不定積分得： ， 這就是分部積分公式例題：求 解答：這個積分用換元法不易得

6、出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得： 關(guān)于分部積分法的問題 在使用分部積分法時，應恰當?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點： (1)v要容易求得； (2)容易積出。有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式， 反之為真分式。 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？ 定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。 （2）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f(

7、x)在區(qū)間a,b上可積。定積分的性質(zhì) 性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）. 即： 性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面. 即： 性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間a,b上，f(x)g(x)，則 （aa.如果極限 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+）上的廣義積分， 記作：， 即：=. 此時也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，b上連續(xù)，取a0，如果極限 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分， 仍然記作：. 即：=， 這時也說廣義積分收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。